苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷（困难）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷

考试范围：第二章  考试时间 ：120分钟 总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.如图，在网格每个小正方形的边长均为中选取个格点格线的交点称为格点若以点为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.如图，，是的弦，延长，相交于点已知，，则所对的圆心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.在中，斜边，点为动点，以为边长作等边，连接，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，内接于，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，在直角坐标系中，等边的边在轴的正半轴上，点，点，分别从、出发，以相同的速度，沿，向、运动，连接、交于点，点是轴上一点，则当最小时，点的坐标是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.如图，在圆的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定

10.如图，正五边形内接于，点在弧上若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

11.如图，已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

12.如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗，则圆锥的底面周长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，在中，：：：：，在内自由移动，若的半径为，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为______．

 

14.如图，在中，，，，是边上的一个动点，连接，作于点，连接，则长的最小值为          ．
 

15.如图，正六边形内接于，其半径为，则这个正六边形的边心距的长为        ．

16.有一直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，的半径为，若点在射线上，满足，则称点是点关于的“美好点”如图，的半径为，点在上，，，若点、分别是点，关于的美好点，求的长．

18.本小题分

如图，是的直径，弦，垂足为，已知，．
求的半径；
若是弦上的一点，且，求线段的长．

19.本小题分

如图，在中，，，连接，，过点作，交的延长线于点，与的延长线相交于点，与相交于点．
求证：四边形是菱形；
若的半径为，求线段的长．

20.本小题分
如图，在中，，点在上，连接，利用尺规作图法求作，使经过点、、不写作法，保留作图痕迹

21.本小题分
如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
 

求证：≌；

若，求的长．

22.本小题分

如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于．
若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论；
在的条件不变的情况下，若，求．

23.本小题分
阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：

任务：材料中划横线部分应填写的内容为______．
如图，正五边形内接于，，求对角线的长．

24.本小题分

如图，是的弦，经过圆心，交于点，直线与相切，．
求证：．
若半径为，求阴影部分的周长．

25.本小题分

如图，一个圆锥的高为，侧面展开图恰好是半圆．求：

    圆锥的母线长与底面半径之比；

    圆锥的侧面积结果保留．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，点为坐标平面内一点，，
在以为圆心，为半径的圆上，在轴负半轴上取一点，使得，连接，

，，
是的中位线，
，当的长最大时，的长也最大，即在的延长线上时，的长最大，
，，
，
，
 ，
即长的最大值为．
故选 B．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】
解：给各点标上字母，如图所示．

，，，，．
时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内．
故选B．

3.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，，
，
所对的圆心角的度数的度数．
故选：．
根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】本题主要考查圆的弦长与全等三角形的综合应用，解题的关键是准确作出辅助线，根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定，结合垂径定理即可求出。本题过点分别作弦和的垂线，由“三线合一”及同角的余角相等即可证明，进而证得，由全等三角形的性质可得，根据题意，由勾股定理求出，再根据垂径定理即可求出．
【解答】

解：如图，过点作于点，于点，

．
，，
，．
，
，
又，
．
又，
，
．
在中，，，
，
，
．
故选A．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查三角形的外接圆，等边三角形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识．
作的外接圆，连接，，当，，三点在一条直线时，最大，最大值是，求出，即可解答．
【解答】
解：如图：作的外接圆，连接，，当，，三点在一条直线时，最大，最大值是

，为中点
是等边三角形，
，
的最大值是

6.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得，，
，
故选：．
根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点；找出点的运动轨迹是解本题的关键也是难点．解此类题目的方法是判断出动点的轨迹所在的圆的圆心和确定出半径．
先判断出≌，即可判断出，即可判断出点是在以为圆心的圆上的一段弧上劣弧，然后确定出圆心的位置及坐标，设出点的坐标，得到，进而可得答案．
【解答】
解：如图，

是等边三角形，
，，
点、分别从、以相同的速度向、运动，
，
在和中，
≌，
，
，
点是经过点，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，
，
连接，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，，
过点作，
，
在中，，，
，
，
设，
，
当在上时，最小，
，
只有时，最小为，即最小为．
当时，即：时，最小．
点的坐标是

8.【答案】 

【解析】【分析】将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得出，，，推出、、三点共线，利用勾股定理求出即可．

【解答】
解：、、、四点共圆，，

，

，点为弧的中点，

，

如图，

将绕点逆时针旋转得，

则，，，
，
，

，

、、三点共线，

过作于，

，

，

在中，
设，则，，
，解得，
；

故选：．

9.【答案】 

【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，，
直线与相离．
故选：．
设圆的半径为，点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
正五边形内接于，
，
，
，
故选：．
连接，，，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解．
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：如图，当与重合时，点关于的对称点为，
当与重合时，点关于的对称点为，
点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，
在中，，，，
，
，
，
为等边三角形，
，

作于，
为等边三角形，
，
，
，
线段扫过的区域的面积为：．
故选：．
由临界状态确定出的运动路径，明确点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，再分别计算量部分面积即可．
本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段扫过的图形．

12.【答案】 

【解析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为、，
则由题意得，由，
得．
故选：．
由圆锥的几何特征，我们可得用半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长．

13.【答案】 

【解析】解：如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于．

，，，
，，
∽，
：：：：：：，
设，，
，
或舍弃，
，
四边形是矩形，
，
设，，，
在和中
≌，
，，，设，
在中，则有，
，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长，
故答案为．
如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出，再证明≌，推出，，，设，在中，则有，推出，由，推出，推出，可得，求出即可解决问题．
本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、圆周角定理，确定动点的运动路径是关键．
根据可得点在以为直径的圆上，当、、共线时，的长最小，据此解答即可．
【解答】
解：，
，
点在以为直径的圆上，
取的中点，以为直径作，
当、、共线时，的长最小．

在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
的最小值，
则的最小值为，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接、，
多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
连接、，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：连接，作于点．

则，，
则，
．
则扇形的弧长是：，
根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
连接，作于点，利用三角函数以及垂径定理即可求得的长，然后利用扇形的弧长公式即可求得弧长，然后利用圆的周长公式即可求得半径．
本题考查了扇形的弧长公式，垂径定理，正确求得的长是关键．

17.【答案】解：设交于，连接，如图，
，
而，，
，
，
，即点和重合，
，，
为等边三角形，
而点为的中点，
，
在中，，
． 

【解析】设交于，连接，如图，根据新定义计算出，，则点为的中点，点和重合，再证明为等边三角形，则，然后在中，利用正弦的定义可求的长．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．

18.【答案】解：连接，
是的直径，弦，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则的半径为；
，，
设，
在中，，，
根据勾股定理得：，
解得，
则的长为． 

【解析】连接，由为直径，为弦，且垂直于，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为圆的半径；
由已知的两个角相等，利用等角对等边得到，在直角三角形中，设，则有，，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长．
此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

19.【答案】解：如图，连接，

，
，
又，，
≌，
，
、是等边三角形，
，
四边形是菱形；
由得，，
四边形是菱形，
，而，
，
，
在中，，，
，，
在中，由勾股定理得，，
，
∽，
，
又，，
，
，
即． 

【解析】如图，连接，证明≌，可得，可得、是等边三角形，可得，从而可得结论；
由得，，，可得，，，再求解，证明∽，可得，从而可得答案．
本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练的利用基础的几何知识进行边角之间的转化是解本题的关键．

20.【答案】解：如下图：即为所求．
 

【解析】根据直角三角形的外心在斜边的中点，先找圆心，再作圆．
本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的外心位置是解题的关键．

21.【答案】证明：是的中点，
，
是的直径，且，
，
，
，
在和中，
≌；

如图，连接，交于，

点是的中点，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
． 

【解析】此题考查了勾股定理，圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理，三角形全等的性质和判定．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法．
先证，然后根据证明≌；
连接，交于，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得，证明≌，得到，则，再利用勾股定理求得，进而可得结论．

22.【答案】解：结论：与相切．理由如下：
连接．
点、在圆上，
．
四边形是平行四边形，
．
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
与相切，
．
．
．
与相切．

，四边形是平行四边形，
，，．
，
．
．
．
．
． 

【解析】连接，由角的等量关系可以证出，然后证明≌得到，
由知，根据角间的等量关系，解出，继而求出的值．
本题考查了切线的判定，全等三角形判定和平行四边形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．

23.【答案】解：  ；
如图，连接、．

五边形是正五边形，
≌≌，
设．
在圆内接四边形中，由托勒密定理可得：，
即，
解得：，舍去．
对角线的长为． 

【解析】解：根据托勒密定理可得：，
故答案为：；
见答案；
【分析】
根据题意即可得到结论．
连接、，根据正多边形的性质可得出≌≌，根据全等三角形的性质可设，在圆内接四边形中，利用托勒密定理可得关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了命题、正多边形的性质、全等三角形的性质以及解一元二次方程，利用托勒密定理找出关于的一元二次方程是解决问题的关键．

24.【答案】解：连接

切于点，
，为半径．
．
，
．
．
．
．
，，
．
在中，由勾股定理得：，，
．
阴影部分的周长为：． 

【解析】连接，由切线的性质可知，从而可知为直角三角形，由圆周角定理可求得，从而可求得，利用含直角三角形的性质可求得，从而可求得；
由可知，可求得，然后利用扇形的弧长公式可求得弧的长度即可．
本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形的弧长公式的应用，求得、是解题的关键．

25.【答案】解：设圆锥底面半径为，母线为，
由题知 
解得：：
答：圆锥母线与底面半径之比为：；
由题知  ，
把代入，解得舍去，，
，
圆锥的侧面积 

【解析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．
设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；
首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．