苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷（标准困难）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷

考试范围：第二章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为：，则圆的面积约为正方形面积的(    )

A. 倍
B. 倍
C. 倍
D. 倍

2.已知的直径为，点不在外，则的长
(    )

A. 小于 B. 不大于 C. 小于 D. 不大于

3.已知的半径为，是的弦，点在弦上，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，、是的两条弦，，，垂足为点，点为的中点，延长交于点，若，的面积为，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，是的外接圆，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，点，，在上，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

9.已知的半径为，直线若与相切，与的距离为，则与的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相离或相切

10.如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为的正六边形的顶点处两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向秒钟一次跳个顶点，黑跳棋按逆时针方向秒钟一次跳个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

11.如图，内接，，，则的长是
(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥接缝处忽略不计，若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，的半径为，则点与的位置关系是______ ．

14.如图，内接于，，是的中点，且，，分别是，边上的高，则的大小______度．

15.如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为          ．
 

16.如图是学校艺术馆中的柱子，高为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带至少需要______

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，求：
圆锥母线长与底面半径的比；
圆锥的全面积．

18.本小题分
某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
求这种加工材料的顶角的度数；
若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分图中阴影部分的面积结果保留

 

19.本小题分

如图，在中，，点在边上，过，，三点的交于点，作直径，连结并延长交于点，连结，，此时．
求证：；
当为的中点且时，求的直径长．

20.本小题分
如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点．
求的半径；
点为中点，作，垂足为，求的长．

21.本小题分
如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点是延长线上的一点，且．
求证：为的切线；
连接，取的中点，连接若，，求的长．

 

22.本小题分
如图，在的正方形网格中，的顶点都在正方形网格的格点上请你在图和图中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：

以点为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
与全等，且不与重合．

23.本小题分

如图，在的正方形网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的；
求出点旋转到点所经过的路线长结果保留．

24.本小题分
如图，为的直径，，为弦，，为延长线上的点，．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．

25.本小题分
在扇形中，是弧上一点，延长到，且．
求的度数；
扇形是某圆锥的侧面展开图，若，求该圆锥的底面半径．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
根据圆的直径与正方形的对角线之比为：，设圆的直径，表示出正方形的对角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可．
本题考查圆的有关计算，正方形的性质，掌握圆的面积和正方形面积的计算方法是得出正确答案的前提．
【解答】
解：设，因为：：，
所以，，
因此正方形的面积为，
圆的面积为，
所以圆的面积是正方形面积的倍，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：的直径为，
的半径为．
点不在外，
点在圆上或圆内，
．
故选B．
先求出圆的半径，再根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，连接，
则，

，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
故选：．
过点作于点，连接，根据垂径定理可得，所以，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．

4.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，
，
，，
，
即，
设，则，，
，即，
或，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，利用圆周角定理以及三角形内角和可得，再根据三角形面积公式可求出，进而得出即可．
本题考查直角三角形斜边中线，圆周角定理以及三角形内角和定理，掌握三角形面积计算方法，直角三角形的性质是正确解答的前提．

5.【答案】 

【解析】解：如图，

点是的外心，，
，，
，
故选：．
根据点是的外心，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解．
本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆的性质、圆周角定理．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出即可．
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．直接由圆周角定理求解即可．
【解答】
解：，
，
故选B．

8.【答案】 

【解析】解：切圆于，
于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
连接，由切线的性质推出，又，得到，于是推出，因此，由，，求出，即可得到的长．
本题考查切线的性质，含角的直角三角形，关键是由含角的直角三角形的性质，得到．

9.【答案】 

【解析】解：的半径为，
的直径为，
与的距离为，
的直径等于与的距离，
与相切，
圆心到直线的距离等于，
当与位于的两侧时，圆心到直线的距离等于，
与相切；
当与位于的同侧时，圆心到直线的距离等于，
与相离，
与的位置关系是相离或相切．
故选：．
分两种情况：当与位于的两侧时，当与位于的同侧时，即可求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：红跳棋从点按顺时针方向秒钟跳个顶点，
红跳棋每过秒返回到点，
，
经过秒钟后，红跳棋跳回到点，
黑跳棋从点按逆时针方向秒钟跳个顶点，
黑跳棋每过秒返回到点，
，
经过秒钟后，黑跳棋跳到点，
连接，过点作，

由题意可得：，，
，
在中，，
，
经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是．
故选：．
分别计算红跳棋和黑跳棋过秒钟后的位置，红跳棋跳回到点，黑跳棋跳到点，可得结论．
本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长计算公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数连接、，根据圆周角定理求出圆心角，求出，然后根据弧长公式求解即可．
【解答】
解：连接、，

，
，
，
，
，
故选C．

12.【答案】 

【解析】解：设这个扇形的圆心角为．
圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面扇形的弧长为，
，
解得：
故选：．
利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角．

13.【答案】点在上 

【解析】解：圆心的坐标为，
．
的半径为，
点在上．
故答案为：点在上．
先根据勾股定理求出的长，再与的半径为相比较即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：连接，，如图所示：
，
，
，是的中点，
，，
，
，，
，分别是，边上的高，
，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理得到，求得，根据吹径定理得到，求得，根据平行线的性质得到，求出，即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
连接，，根据圆周角定理得到，于是得到结论．
【解答】
解：连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查平面展开---最短路径问题，勾股定理的应用，关键是先展开成为平面内的问题，根据勾股定理即可解答．
【解答】
解：柱子为圆柱体，若将侧面展开，
则以柱子高为一条直角边长，另一条直角边长，
此时花带的长为斜边长，
所以这条花带至少．
故答案为．

17.【答案】解：设圆锥母线长为，底面圆的半径为，
根据题意得，
所以，
即圆锥母线长与底面半径的比为：；
因为，
即，解得，
所以，
所以圆锥的全面积 

【解析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥母线长为，底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后计算出与的比值；
先根据勾股定理计算出底面圆的半径，得到母线长，然后计算底面积与侧面积的和．

18.【答案】解：设．
由题意得，
，
，
，
；
由知，
，，
是等腰直角三角形．
，
，
，
，
 ，
． 

【解析】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质，以及展开图折叠成几何体．
设根据弧的两种求法，构建方程，可得结论；
根据求解即可．

19.【答案】证明：如图，连接，

是的直径，
，
，
，
，
是的直径，
垂直平分，
；
解：当为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
的直径长为． 

【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据，推出垂直平分，于是得到；
根据直角三角形的性质得到，求得，得到，求得，，于是得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．

20.【答案】解：作于．

在中，，，，
，
，
，
．
如图中，连接，设交于．

，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】作于解直角三角形求出，利用垂径定理求出即可解决问题．
如图中，连接，设交于证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.【答案】解：证明：如图，连接，．
，
，
，
，
，
，
是直径，是的中点，
，
，
，即，
是半径，
是的切线．
解：过点作于点．
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
为的中点，即，，，
，
． 

【解析】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
如图，连接，证明即可；
设，则，在中，，可得，证明，可得，，由此即可解决问题．

22.【答案】解：如图所示，和即为所求．
 

【解析】本题主要考查作图应用与设计作图，正确结合勾股定理得出相等线段与轴对称和中心对称的性质是解题关键．可以为对称轴，作出原三角形的轴对称图形；可以的中点为对称中心，作原图形的中心对称图形．

23.【答案】解：如图所示：，即为所求；

，
点旋转到点所经过的路线长为： 

【解析】根据题意得出旋转后对应顶点位置，进而得出答案；
利用弧长公式求出答案即可．
此题主要考查了图形的旋转以及弧长公式应用，得出旋转后对应点位置是解题关键．

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：在中，，，
，，
图中阴影部分的面积． 

【解析】直接利用已知得出，进而得出答案；
直接利用的面积减去扇形的面积进而得出答案．
本题主要考查了切线的性质与判定以及扇形面积求法，正确掌握切线的性质与判定方法是解题关键．

25.【答案】解：作出所对的圆周角，
，，
，
；
设该圆锥的底面半径为，
根据题意得，解得，
该圆锥的底面半径为． 

【解析】作出所对的圆周角，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数；
设该圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．