苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.3 函数的单调性教案设计
展开为了帮助学生体会函数是刻画现实世界中变量之间依赖关系的数学模型，充分利用现代信息技术体现数学的应用功能，教学中，教师应有意识地利用适当的信息技术辅助教学．为了说明函数f(x)在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上，找到两个值x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)≥f(x2)(或f(x1)≤f(x2) )成立，这是对例证法的把握．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在定义域上也单调．
1.教学重点：会用定义证明函数的单调性．
2.教学难点：函数的单调区间、单调性等概念的理解.
1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0，))则f(f(0))等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
答案 C
2．已知函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))则使函数值为5的x的值是( )
A．－2或2 B．2或－eq \f(5,2)
C．－2 D．2或－2或－eq \f(5,2)
答案 C
3．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(g(π))的值为________．
答案 0
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4，x>0，,－x－3，x<0，))则f(f(－4))＝________.
答案 －2
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
总结 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二 证明单调性
例2 证明f(x)＝eq \r(x)在其定义域上是增函数．
证明 f(x)＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1
＝eq \f(\r(x1)－\r(x2)\r(x1)＋\r(x2),\r(x1)＋\r(x2))＝eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2)) .
∵0≤x1
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
总结 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1
证明 设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x1
＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x1x2)))＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1x2－1,x1x2))).
∵1≤x1
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例3 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,8)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
答案 A
解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1<0，,－a<0，,3a－1·1＋4a≥－a·1.))
解得eq \f(1,8)≤a＜eq \f(1,3).
总结 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2 用单调性解不等式
例4 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)
跟踪训练4 在例4中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)
又f(1－a)
∴所求a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
在说明单调增函数时，符号语言“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”是对自然语言“随着x的增大，f(x)也增大”的精确刻画．这样，学生在说明函数的单调性时，就有了一个形式化的模式，便于书写说明．教学时应将这两种描述方式进行对比，使学生体会到使用符号语言的优点和美感，养成运用符号语言的习惯．
课程目标
学科素养
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
a数学抽象:函数单调性等概念
b逻辑推理: 会划分函数的单调区间，判断单调性.
c数学运算: 用定义证明函数的单调性
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