高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.1 函数的概念和图象优秀第1课时导学案

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5.1 函数的概念和图象


第1课时 函数的概念








(1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示：


如果用y表示年度值，I表示中国创新指数的取值，则I是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？


(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．





如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？





1．函数的概念


2．两个函数是同一函数


(1)定义域和对应关系都相同的两个函数．


(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．


(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．


思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？


[提示] 不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )


(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )


(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y．


( )


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．(1)函数f(x)＝eq \r(x－10)的定义域为 ．


(2)函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－2))的定义域为 ．


(3)函数f(x)＝eq \r(4,9－x)(x∈N)的定义域为 ．


(1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．


(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．


(3)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9－x≥0，,x∈N))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤9，,x∈N，))∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]


3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝ ．


0 [f(1)＝12－3×1＋2＝0．]


4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为 ．


{－3，－2，－1,0} [f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0．]








【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．


(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±eq \r(x)；


(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；


(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→eq \f(1,x2)；


(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；


(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0．


[思路点拨] 求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．


[解] (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±eq \r(9)＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．


(2)对于A中的元素x＝2eq \r(2)，在f作用下，|2eq \r(2)－2|B，故不能构成函数．


(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数．


(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．


(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．





1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．


2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．





eq \([跟进训练])


1．下列对应关系式中是A到B的函数的有 ．(填序号)





①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；


②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；


③A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)；


④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1)．


② [对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]





【例2】 求下列函数的定义域．


(1)f(x)＝eq \f(\r(3,x－8),\r(3x－2))；


(2)f(x)＝eq \r(x＋1)＋eq \f(1,2－x)；


(3)f(x)＝eq \r(x＋4)＋x0＋eq \f(1,x＋2)；


(4)f(x)＝eq \r(x2－2x－3)；


(5)f(x)＝ln(x＋1)＋eq \f(1,x2－x)；


(6)f(x)＝(x＋1)－eq \f(4,3)＋lg(－x)．


[思路点拨] 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．


[解] (1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>eq \f(2,3)，


即f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))．


(2)要使f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,2－x≠0))⇒x≥－1且x≠2，


即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．


(3)要使f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4≥0，,x≠0，,x＋2≠0，))


解得x≥－4且x≠0，x≠－2，


即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．


(4)要使f(x)有意义，则x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，


即f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．


(5)要使f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x2－x≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x≠0且x≠1，))


解得x>－1且x≠0且x≠1，


即f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)∪(1，＋∞)．


(6)要使f(x)＝eq \f(1,\r(3,x＋14))＋lg(－x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,－x>0，))


解得x<0且x≠－1，


即f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．





1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．


2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．





eq \([跟进训练])


2．求下列函数的定义域．


(1)f(x)＝eq \f(1,\r(1－3x))＋eq \f(1,x)；


(2)f(x)＝eq \r(3－x)＋ln(x＋1)且 x∈Z．


[解] (1)要使函数有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3x＞0，,x≠0，))所以x＜eq \f(1,3)且x≠0，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)且x≠0))))．


(2)要使函数有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,1＋x>0，))所以－1≤x≤3．


又x∈Z，所以x＝0,1,2,3．


所以函数的定义域为{0,1,2,3}．





【例3】 已知f(x)＝x2－4x＋2．


(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；


(2)求f(x)的值域；


(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．


[思路点拨] (1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．


[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，


f(a)＝a2－4a＋2，


f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1．


(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，


∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．


(3)g(3)＝3＋1＝4，


∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2．





在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．


[解] f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，


g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3．





1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．


2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．


3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．








[探究问题]


1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？


[提示] f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．


2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？


[提示] y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．


3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？


[提示] 由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．


【例4】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为 ．


(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为 ．


(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为 ．


[思路点拨] 找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．


(1)[－1,2] (2)[3,6] (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))) [(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，


故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．


(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．


(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2)))，


即f(2x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2)))．]





抽象函数的定义域


1已知fx的定义域，求fgx的定义域：若fx的定义域为[a，b]，则fgx中a≤gx≤b，从中解得x的取值范围即为fgx的定义域.


2已知fgx的定义域，求fx的定义域：若fgx的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得gx的取值范围，gx的取值范围即为fx的定义域.


用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：


①定义域指自变量的取值范围.告诉我们已知什么，求什么


②括号内范围相同.告诉我们如何将条件与结论联系起来





eq \([跟进训练])


3．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为 ．


[－5,0] [对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]








理解函数的概念应关注五点


(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．


(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．


(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的实数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．


(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)表示以x为自变量的函数，f是确定函数的对应关系．


(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．





1．下列图象表示函数图象的是( )





C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]


2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )


A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)


B．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2


C．f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1


D．f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1)


A [A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]


3．函数y＝eq \r(x＋1)＋ln|2－x|的定义域是 ．


{x|x≥－1且x≠2} [要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,|2－x|≠0，))解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]


4．求下列函数的值域：


(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；


(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；


(3)y＝eq \f(2x＋1,x－3)．


[解] (1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．


(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．





(3)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq \f(7,x－3)，


显然eq \f(7,x－3)≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)


2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养．
年度
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
中国创新指数
116.5
125.5
131.8
139.6
148.2
152.6
158.2
171.5
函数的定义
一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A
函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
函数的概念
求函数的定义域
求函数的值域或函数值
抽象函数求定义域