初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试同步训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试同步训练题，共11页。试卷主要包含了若关于x的方程，已知实数x满足，关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

满分：120分


姓名：___________班级：___________考号：___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．已知一元二次方程3x2﹣2x+1＝0，则它的二次项系数为（ ）


A．1B．﹣2C．3D．3x2


2．若关于x的方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）


A．m≠2B．m＝2C．m≥2D．m≠0


3．方程x2+6x+5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）


A．（x﹣3）2＝14B．（x+3）2＝14C．（x+6）2＝31D．（x+3）2＝4


4．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）


A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0


5．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m2﹣9＝0有一个根是0，则m的值为（ ）


A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．不等于3的任意实数


6．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则x2﹣x＝（ ）


A．﹣2B．6或﹣2C．6D．3


7．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）


A．m＞B．m＞，且m≠1C．m≥D．m≥，且m≠1


8．现有一块长方形绿地，它的边长为100m，现将长边缩小与短边相等（短边不变），使缩小后的绿地的形状是正方形，且缩小后的绿地面积比原来减少1200m2，设缩小后的正方形边长为xm，则下列方程正确的是（ ）





A．x（x﹣100）＝1200B．x（100﹣x）＝1200


C．100（x﹣100）＝1200D．100（100﹣x）＝1200


9．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则错误的结论是（ ）


A．m+n＝4B．m•n＝﹣3C．m2﹣4m﹣3＝0D．+＝


10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（ ）





A．2sB．3sC．4sD．5s


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．把一元二次方程3x（x+1）＝（x+2）2﹣3化成一般形式是 ．


12．方程4x2＝9的根为 ．


13．若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式a2﹣3a+7的值是 ．


14．代数式2x2﹣7x+2的最小值为 ．


15．已知等腰三角形的两边长恰好是方程x2﹣9x+18＝0的解，则此等腰三角形的三边长是 ．


16．对于实数m，n，定义一种运算*为：m*n＝mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，则a＝ ．


三．解答题（共8小题，满分66分）


17．（16分）用指定的方法解下列方程：


（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法 （2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）








（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法） （4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）





18．（6分）小明妈妈在春节期间以160元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以销售20件．为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经试销发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应打几折出售？











19．（6分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．


（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？


（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？











20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣3m2+8m﹣4＝0．


（1）求证：原方程恒有两个实数根；


（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．











21．（7分）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．


（1）求这个增长率；


（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．





22．（8分）已知关于x的一元二次方程a（2x+a）＝x（1﹣x），总有两个不相等的实数根为x1，x2，设


（1）求a的取值范围；


（2）当a＝﹣2时，求S的值；


（3）当a取什么整数时，S的值为1；











23．（8分）已知△ABC的一边为5，另两边是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解


（1）如果△ABC是直角三角形，求k的值；


（2）如果△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积．











24．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．


（1）求AB与BC的长；


（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．























参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：一元二次方程3x2﹣2x+1＝0的二次项系数是3，


故选：C．


2．解：依题意得：m﹣2≠0，


解得m≠2．


故选：A．


3．解：x2+6x+5＝0，


x2+6x＝﹣5，


x2+6x+9＝﹣5+9，


（x+3）2＝4，


故选：D．


4．解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选A．


5．解：把x＝0代入2x2﹣x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，


所以m＝3或﹣3．


故选：B．


6．解：设t＝x2﹣x，则原方程可化为：t2﹣4t﹣12＝0，


即（t﹣6）（t+2）＝0，


∴t＝﹣2或6，即x2﹣x＝﹣2或6，


当x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0方程无解．


∴x2﹣x＝6，


故选：C．


7．解：由题意可知：△＝1+4（m﹣1）＝4m﹣3＞0，


∴m＞，


∵m﹣1≠0，


∴m＞且m≠1，


故选：B．


8．解：设缩小后的正方形绿地边长为xm，


根据题意得：x（100﹣x）＝1200．


故选：B．


9．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，


∴m+n＝4，mn＝﹣3，m2﹣4m﹣3＝0，+＝＝﹣．


故选：D．


10．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，


则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，


（4﹣t）×t＝，


解得t1＝3，t2＝5（舍去，不合题意）．


∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为cm2．


故选：B．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．解：由3x（x+1）＝（x+2）2﹣3，得


3x2+3x＝x2+4x+4﹣3，


∴2x2﹣x﹣1＝0．


故答案是：2x2﹣x﹣1＝0．


12．解：4x2＝9


x2＝，


解得：x1＝，x2＝﹣．


故答案为：x1＝，x2＝﹣．


13．解：∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，


∴a2﹣3a＝6，


∴a2﹣3a+7


＝6+7


＝13，


故答案为：13．


14．解：2x2﹣7x+2＝2（x2﹣x）+2＝2（x2﹣x+﹣）+2＝2[（x﹣）2﹣]+2＝2（x﹣）2﹣


∵（x﹣）2≥0


∴代数式2x2﹣7x+2的最小值为﹣．


15．解：x2﹣9x+18＝0，


（x﹣3）（x﹣6）＝0，


所以x1＝3，x2＝6，


因为3+3＝6，所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3，


故答案为：3，6，6．


16．解：由x*（a*x）＝﹣得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，


依题意有a+1≠0，


△＝（a+1）2﹣（a+1）＝0，


解得，a＝0，或a＝﹣1（舍去）．


故答案为：0．


三．解答题（共8小题，满分66分）


17．解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，


开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，


解得：x1＝4，x2＝﹣2；


（2）方程变形得：x2﹣x＝﹣，


配方得：x2﹣x+＝（x﹣）2＝，


开方得：x﹣＝±，


则x1＝，x2＝；


（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，


这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，


∵△＝1+24＝25，


∴x＝，


则x1＝3，x2＝﹣2；


（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，


解得：x1＝﹣1，x2＝2．


18．解：设每件商品降价x元，则平均每天可以销售（20+2x）件，


依题意，得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200，


整理，得：x2﹣30x+200＝0，


解得：x1＝10，x2＝20，


又∵尽快减少库存，


∴x＝20，


∴×10＝9．


答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应打9折出售．


19．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，


依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，


解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．


答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．


（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．


答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．


20．（1）证明：∵x2﹣2mx﹣3m2+8m﹣4＝0，


∴△＝（﹣2m）2﹣4（﹣3m2+8m﹣4）


＝4m2+12m2﹣32m+16


＝16m2﹣32m+16


＝16（m﹣1）2≥0，


∴原方程恒有两个实数根；


（2）∵x2﹣2mx﹣3m2+8m﹣4＝0，


∴[x﹣（3m﹣2）][x+（m﹣2）]＝0，


∴x﹣（3m﹣2）＝0或x+（m﹣2）＝0，


解得，x1＝3m﹣2，x2＝2﹣m，


∵方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，


∴或


解得，m＜0或m＞


即m的取值范围是m＜0或m＞．


21．解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得


2（1+x）2＝2.42，


解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．


答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．


（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．


根据题意，得


．


解方程组，得


a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．


答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．


22．解：（1）∵a（2x+a）＝x（1﹣x），


∴x2+（2a﹣1）x+a2＝0，


∵方程总有两个不相等的实数根，


∴△＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1＞0，


∴a＜，


∴a的取值范围为a＜；


（2）当a＝﹣2时，原方程化为x2﹣5x+4＝0．


解得x1＝4，x2＝1．


∴S＝2+1＝3．


（3）∵，


∴S2＝x1+x2+2，


∵x1+x2＝1﹣2a，x1x2＝a2．


S2＝x1+x2+2＝1﹣2a+2|a|＝1．


当0≤a＜时，1﹣2a+2a＝1，有1＝1．


当a＜0时，1﹣2a﹣2a＝1，有a＝0（不合设定，舍去）．


即当0≤a＜时，S的值为1．


∵a为整数，


∴a＝0时，S的值为1．


23．解：（1）∵x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0


∴[x﹣（k﹣1）][x﹣（k﹣2）]＝0，


解得，x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，


∵△ABC的一边为5，另两边是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解，


∴k﹣1＞0，k﹣2＞0，k﹣1＞k﹣2，


∵△ABC是直角三角形，


∴当斜边的长是5时，（k﹣1）2+（k﹣2）2＝52，解得，k1＝5，k2＝﹣2（舍去），


当斜边的长是k﹣1时，（k﹣2）2+52＝（k﹣1）2，解得，k3＝14，


即如果△ABC是直角三角形，k的值是5或14；


（2））∵x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0


∴[x﹣（k﹣1）][x﹣（k﹣2）]＝0，


解得，x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，


∵△ABC是等腰三角形，


∴当k﹣2＝5时，k＝7，则k﹣1＝6，此时△ABC的面积是：，


当k﹣1＝5时，k＝6，则k﹣2＝4，此时△ABC的面积是：＝2．


24．解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，


则（x﹣3）（x﹣4）＝0，


∴x1＝3，x2＝4．


∵AB＜BC，


∴AB＝3，BC＝4；


（2）如图，在Rt△ABP中，


∵AP＝，AB＝3，


∴BP＝＝＝1．


∴t＝＝4．


答：t的值是4秒．








题号
一
二
三
总分
得分