初一数学上册秋季班培优讲义 第8讲 方程中的设元 学生版

                  多大酒量？

⑴ 打折，就是商品以原价为基础，按一定的比例降价出售，如一件衣服原价元，若以折销售，则实际售价为元，打折销售实际上是利润率问题．

⑵ 打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价元，售价元，利润元，利润率，这些量之间的关系为：，，等，根据这些公式列出等量关系，就可以解决此类问题.

⑶ 商品打折，是按指定价的销售，而不是把定价减少销售，另要注意，打折后用参与计算，而不是用参与计算．

【例1】         ⑴ 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利

”．你认为售货员应标在标签上的价格为　　　元．

⑵ 五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共节省元，则用贵宾卡又享受了   折优惠．

【备选】已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率为．那么，当每件甲种商品的进价为元，求每件乙种商品的进价为多少元？    提示：

【拓展1】某商店销售一种运动衣，每套的进价为元，按进价的标价，再打八折销售；

（1）用含的代数式表示销售一套这种运动衣的利润

（2）当这种运动衣每套的进价为元时，销售一套可获得利润多少元？

（3）如果销售一套这种运动衣获利元，这种运动衣每套的进价是多少元？

【拓展2】某种商品的进价是每件1000元，标价是每件1500元，

（1）商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折售出此商品？

（2）为了在十一黄金周获取更多利润，老板决定写上“大酬宾，8折优惠”进行广告促销，为了使利润仍不低于5%，最低需多少元标价？

工程问题中涉及的基本量有：工作总量，工作效率，工作时间．他们之间的关系为：全部工作量=各部分工作量之和=1；工作量=工作效率工作时间，所以一般来说，工作效率是工作时间的倒数，如果某人完成某项任务需要h，那么他的工作效率为．

行程问题基本公式：路程速度时间

                    总路程平均速度总时间；

行程问题的基本类型：相遇追及、火车问题、流水行船等.

相遇追及问题：相遇路程 ＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间

＝速度和×相遇时间.

              追及路程 ＝甲走的路程乙走的路程＝甲的速度×追及时间乙的速度×追及时间

＝（甲的速度乙的速度）×追及时间

＝速度差×追及时间.

流水行船问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速水速.

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；

水速=(顺水速度逆水速度)÷2.

【引例】       某项工作，甲单独干需用小时完成，乙单独干需要小时完成，若甲先单独干小时，乙又单独干小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可以完成全部任务？

【例2】         ⑴ 某船顺水航行小时，逆水航行小时，已知轮船在静水中的速度为千米/时，水流速度

为千米/时，轮船共航行        千米.

（北京西城期末）

⑵ 一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位．他如果每小时行千米，

可以早到分钟，如果每小时行千米，就要迟到分钟，问规定的时间是多少小时？他去的单位有多远？

（北京崇文期末）

⑶ 一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是     千米．

（北京西城期末）

【拓展】在某学校的“小红帽周”中，初一三班全体同学老师组队进行野外拓展，前往目的地的路上，队伍以1.4米/秒的速度前行，队尾班长因事要通知领队的班主任，于是以2.6米/秒的速度从队尾赶到队头并立即返回队尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？

储蓄问题与我们日常生活密切相关，在这类问题中有本金、利息、利率、本息和、存款期限等基本量，顾客存入银行的钱称为本金，银行付给顾客的酬金称为利息，存入的时间称为期数，每个期数后利息与本金的比称为利率，通常用百分数表示．

储蓄问题中基本量之间的关系．

利息=本金利率期数

利率=

我国从1999年11月1起开始对储蓄存款利息征收个人所得税，即征收存款所产生利息的％，但教育储蓄和购买国库券不需缴纳利息税．

【例3】         ⑴妈妈用10000元钱为小彬存了6年期的教育储蓄，6年后能取得11728元，这种储蓄的年利率为         .

⑵某银行设有年利率为的助学贷款（助学贷款利息的由国家财政补贴），预计年后   

大学生小王能一次性偿还万元，问小王现在可向银行贷款多少万元？（精确到万元）

在日历同月份中，左右相邻的两个数字相差，上下相邻的两个数字相差7．

【例4】         如图所示是2013年6月的日历表．

请回答下列问题：

⑴ 若一竖列的三个数的和为，这三个数分别是多少？若和为，能求出这三天是几号

吗？为什么？

⑵ 若的矩形块的四个数的和为，求出这四个数．

⑶ 如果是的矩形块，九个数的和是，你能说出这九个数吗？你能发现九个数的和与中间的数的关系吗？为什么？

很多应用题通过图形或表格来表达题意，同时也有很多题目可以通过画图或列表来找出题中的等量关系．解决这类题的关键是仔细观察，然后结合信息灵活地进行联系、探索、发现和综合处理，结合相应的数学知识和模型加以解决．

【引例】       如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是               ．

【例5】         ⑴ 2004年4月我国铁路第5次大提速，假设K120次空调快速列车的平均速度提速后比提速前提高了44km/h，提速前的列车时刻表如下所示：

请你根据题目提供的信息填写提速后的列车时刻表，并写出计算过程．

⑵ 某工厂计划招聘、两个工种的工人共人，、两个工种的工人月工资分别为元和元．若某工厂每月支付的工人工资为元，那么、两个工种的工人各招聘多少人?设招聘工种的工人人．根据题意完成下列表格，并列方程求解．

面积问题，通常会给出图形，观察图形找到等量关系，列出方程，进行求解．

【引例】       如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为，求这个长方形色块图的面积．

【例6】         如图，在长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，试根据图中所给数据求出阴影部分面积的和．

（北京西城期末）

【拓展1】（第4届希望杯）如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母）．试求满足上述条件的矩形的面积的最小值．

【拓展2】图中的三角形都是等边三角形，三角形的边长是，三角形的边长是．问：所夹三角形的边长是多少?

表示一个多位数，它可以表示为：

数字型应用题的常见解题思路是抓住数字间或新数、原数间的关系列方程，多以间接设元求解为宜．解题时要注意区分数字与数之间的区别．

【引例】       一个两位数，十位数字与个位数字的和是．这个两位数除以十位数字与个位数字的差，

所得的商是，余数是．求这个两位数．

【例7】         一个六位数的倍等于，求这个六位数．

对于方案选择问题，通常根据具体情况，列出方程，进行求解，最后进行最优方案的选择．

【例8】         某商场计划拨款千元从厂家购进台随身听，已知该厂家生产三种不同型号的随身

听，出厂价和商场的销售利润如下表：（单位：元/台）

        ⑴ 若商场用千元同时购进两种不同型号的随身听台，请你研究一下商场的进货方案；

        ⑵ 在同时购进两种不同型号随身听的进货方案中，为使销售利润最多，选择哪种进货方案？

【备选题】

【备选1】调配问题：油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的的圆形铁片和长     方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套. 生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？

【备选2】配套问题：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，已知1立方米木料可以制作方桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，多少木料做桌腿才能使桌面与桌腿恰好配套？配套成功的方桌是多少张？

【备选3】图形问题：有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．

（1）直接写出其余四个圆的直径长；
（2）求相邻两圆的间距．

【备选4】行程问题：、两地相距31千米，甲从地骑自行车去地，1小时后乙骑摩托车也从 地去地.已知甲每小时12千米，乙每小时行28千米，（1）问乙出发后多少小时追上甲；（2）若乙到达地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间？

【备选5】某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？

【备选6】某学校在援助边远山区学校活动中，原计划赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了30%，高中部比原计划多赠了20%，问该校初、高中部原计划各赠书多少册？

（北京丰台期末）

【备选7】方案问题：某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机，已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台1500元，种每台2100元，种每台2500元.

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.

（2）若商场销售一台种电视机可获利150元，销售一台种电视机可获利200元，销售一台种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视方案中，为了使销售获利最多，你选择哪种方案？

训练1.“福兴100型逐行扫描”DVD机的进价是1100元，“千佳”商场的标价能使其利润率高达30%，在一年一度的新年让利促销活动期间，“千佳”将DVD机的利润率下调至10%，请问在宣传广告上应注明对原标价打多少折？（结果保留两个有效数字）

（首师大附中期中）

训练2. 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，比百位上的数字小1，且三个数字之和的50倍比这个三位数小2，求这个三位数.

训练3. 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

① 西装和领带都按定价的90％付款；

② 买一套西装送一条领带.

现某客户要到该服装厂购买套西装()，领带条数是西装套数的4倍多5．

⑴若该客户按方案①购买，需付款________________元. (用含的代数式表示)

⑵若该客户按方案②购买，需付款____________元．(用含的代数式表示)

若=10，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?

（实验中学期中）

训练4. 有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲支蜡烛可使用小时，乙支蜡烛可使用小时．两支蜡烛同时开点，问几小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半？

题型一  打折销售问题 巩固练习

【练习1】   天虹商场将某种商品按成本价提高50%后标价出售，元旦期间，为答谢新老顾客对商场的光顾，商场打八折销售，售价为336元，试问这种商品的成本是多少元？

题型二  工程与行程问题 巩固练习

【练习2】   京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，当时预计高速列车在北京、天津间单程直达运

行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

（北京中考）

题型三  储蓄问题 巩固练习

【练习3】   某企业存入银行甲、乙两种不同性质和用途的款项共万元，甲种存款的年利率为%，

乙种存款的年利率为%，上缴国家的利息税率为%，该企业一年共获利息元，求甲、乙两种存款各为多少万元．

题型四  日历方程问题 巩固练习

【练习4】   如图，在日历中用十字形框圈的5个数中，若中间一个数为，则等于（    ）

A．   

B．   

C．   

D．

题型六  面积问题 巩固练习

【练习5】   三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形，其中，，设   

．

（1）用含的代数式表示　　　　，　　　　．

（2）若，求的值．

（3）求长方形的面积．

题型七  数字问题 巩固练习

【练习6】   一个四位数的首位数字是，如果将首位上的数字移到个位数字的右边，变成一个新的四

位数，那么所得到的新四位数比原四位数的一半多，求原四位数．