初二数学上册秋季班培优讲义 第2讲 三角形的两大模型 教师版
展开模块一 两大模型与角度关系
“飞镖”模型
| “8”字模型
|
飞镖模型结论的常用证明方法：
| |
模块二 两大模型与边长关系
“飞镖”模型
| “8”字模型
|
模块三 多边形
1．多边形的基本概念： （1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）要素：顶点、边、内角、外角、对角线 内角：、、、、…… 外角： 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD. n边形对角线条数：条 （3）分类：凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） （4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形）
| 多边形
凸多边形 凹多边形 正六边形 |
2．多边形的内角和： （1）结论：n边形内角和等于． （2）证明： ①过n边形一个顶点，连对角线，可以得条对角线，并且将n边形分成个三角形，这个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． ②在n边形边上取一点与各顶点相连，得个三角形，n边形内角和等于这个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即． ③在n边形内部取一点与n边形各顶点相连，得n个三角形，这n个三角形所有内角之和为，故n边形内角和等于． | |
3．多边形的外角和： （1）结论：多边形外角和等于360°． （2）证明： 如图：，， ，…… 等式右边共有n个相加，代表n边形的内角和，即． |
（1）如图1-1，中，点D在BC的延长线上，过D作于E，交AC于F．已知，，则的度数为___________．
（2）如图1-2，，则 ．
（3）如图1-3，则___________．
图1-1 图1-2 图1-3
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查三角形两大模型的基础倒角问题——找模型．
（1）飞镖模型：找燕尾；（2）“8”字模型：找×字．
（1）如图2-1，则 ．
（2）如图2-2，则 ．
图2-1 图2-2
（1）本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照飞镖模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用．
①如图1，连接，应用“8字模型”
，.
②如图2，应用飞镖模型，∵
∵，∴
③如图3，应用外角定理，∵
又∵，∴
图1 图2 图3
（2）法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6 ①
∠C+∠D=∠4+∠6 ②
∠E+∠F=∠4+∠5 ③
①+②+③=2（∠4+∠5+∠6），∵．
∴．
法二：∵， ①
， ②
． ③
而，，，且． ④
∴①+②+③④得，
法三：连接，
∴
【教师备课提示】这道题相对复杂，锻炼孩子们找模型的能力和倒角能力，一题多解．
（1）如图3-1，已知，，则 ．
（2）如图3-2，则 ．
图3-1 图3-2
（1）；利用两次“8”字模型．
（2）；连接BD，利用两次飞镖模型．
【教师备课提示】这道题主要需要孩子们自己连接辅助线，锻炼倒角能力．
如图，已知，BO平分，DO平分， ．
．
已知：如图，，AM，CM分别平分和．
（1）求的大小；
（2）当，为任意角时，探索与，间的数量关系，并对你的结论加以证明．
（1）根据三角形内角和定理，在和中，
，
，
∴ ①
同理 ②
∵，，
∴①+②得，
即
（2）当、为任意角时，，
证明：根据三角形外角性质，可得：
，
，
∴，
∴
又∵、分别平分、
∴，， ∴
∴，即
【教师备课提示】例4—例5主要考查两大模型的拓展，自己拓展出结论．
如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证：（1）；
（2）．
（1）在中，，
在中，，
两不等式相加得，∴
即
（2）应用上题的结论：，，
∴．
三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．
（1）说明为什么．
（2）说明为什么．
（3）与，哪一个更大？证明你的答案；
（4）与，哪一个更大？证明你的答案．
（1）由三角形三边关系，．
（2）由三角形三边关系，．
因此， ．
（3）由三角形三边关系，，，以及，
将三个不等式相加，得．
（4）由（2）可知．
类似可得，以及．
将这三个不等式相加，可得，
即．
【教师备课提示】例6—例7主要考查两大模型和边长的关系．
（1）下列平面图形 不具有稳定性．（黑点表示连接点）
A． B． C． D．
（2）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．6米 B．8米
C．12米 D．不确定
（3）m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则
．
（1）C．提示：三角形具有稳定性．
（2）B．多边形的外角和为，每个外角为，则，
故多边形边数为，则周长为．
（3）m边形的一个顶点有7条对角线，所以，则；
没有对角线的多边形显然是三角形，则；
k边形条数与其边数相等，即，所以．故．
（1）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
（3）一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（ ）边形.
A．10 B．22 C．15 D．8
（4）如果一个五边形的4个内角都是，则第5个内角的度数是 ．
（5）一个凸多边形的每一个内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 ．
（1）B；（2）B.
（3）A．设多边形的边数为，由题意得，解得．
（4）.
（5）6．每个外角为，边数为，
则每个顶点出发得到对角线的条数：．
（1）一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．
（2）一个凸n边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则n的值为 ．
（1）3．
（2）由凸边形的内角得，，
解不等式的，故．
如图，求六个角的和.
连接DE、EF，BE与DG的交点为O
∵三角形内角和等于，
∴，
∵，∴
同理
∴
．
如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证．
作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接．
由轴对称图形的性质可得，．
在中，，在中，．
因此，所以．
如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D.
求证：（1）；
（2）.
（1）∵，∴
∵，∴，∴
∵，∴
（2）过点作，交、于、，则，
由（1）知
∵，
∴
即
几何证明中后一问常常要用到前一问的结论.
（1）如图1-1，已知，，，则__________．
（2）如图1-2，，，则___________．
图1-1 图1-2
（1）130°；（2）10°．
（1）如图2-1，__________．
（2）如图2-2，__________．
图2-1 图2-2
（1）；（2）连接BC，∵（对顶角相等）
∴（等量减等量差相等）
∴（等量代换），
∵（三角形内角和定义），
∴（等量代换）．
将图3-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图3-2、图3-3、图3-4．分别探究图3-2、图3-3、图3-4中、、、、（）之间有什么关系？
图3-1 图3-2 图3-3 图3-4
探究图3-2、图3-3、图3-4可得：（或）
图3-2中：证明：
，．
∵，∴
即
图3-3中：同上可证
图3-4中：同上可证
（1）已知如图4-1所示，在图形ABCDEFG中，若BC//FG，则 ．
（2）如图4-2所示， 的值等于 ．
（3）如图4-3所示， 的度数为 ．
图4-1 图4-2 图4-3
（1），
，
．
（2）连接、，设与交于，与交于.
由，
，
而，所以，
原式
.
（3）
所以．
已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．
求证：．
作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N
由三角形的三边关系可得
①+②+③得
∴，即．
（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是 ．
（2）一凸n边形最小的内角为，其它内角依次增加，则_________．
（3）在凸多边形中，小于的角最多可以有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（1）七．
（2）这个凸n边形的内角由小到大依次为，
它的外角依次为
而这六个外角之和为
∴．
（3）设凸边形中，小于的角有个．
当多边形的一个内角小于，则它的外角大于，而任意多边形的外角和等于，故有
解得，故小于的角可以有4个，故选B
如图，图中的5个圆都是半径为1的圆，求图中五个扇形（阴影部分）的面积．
.
