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人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精品学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精品学案设计，共11页。学案主要包含了函数关系的判断，求函数的定义域，同一个函数的判定等内容，欢迎下载使用。
3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值．
知识点一 函数的有关概念
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b为实数，且a
2.其他区间的表示
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．定义域中的某一个x可以对应着不同的y.( × )
4．区间不可能是空集．( √ )
一、函数关系的判断
例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1)
答案 B
解析 对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
反思感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1 下列图象中，可作为函数图象的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 对于②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图象，①③④符合函数定义．
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)；
(2)y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；
(3)y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－7x≥0，))得0≤x≤eq \f(1,7)，
所以函数y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,7))).
(2)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－2且x≠－1)))).
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,x≠0))解得－2≤x<0或0
所以函数y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
反思感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；
(2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x≤1.))
所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x≥0，,\r(4－x)≠0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，
所以定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[2,4)．
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
反思感悟 求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练3 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，x≥0，,\f(1,x－1)，x<0，))则f(f(2))＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 f(2)＝－22＋1＝－3，
∴f(f(2))＝f(－3)＝－eq \f(1,4).
三、同一个函数的判定
例4 下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1)
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案 B
解析 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练4 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝eq \r(t2)；
(2)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)，y＝eq \r(1－x2)；
(3)y＝eq \r(3－x2)，y＝x－3.
解 (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝eq \r(t2)＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝eq \r(1－x2)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)＝eq \r(1－x2)，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)与y＝eq \r(1－x2)是同一函数．
(3)∵y＝eq \r(3－x2)＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝eq \r(3－x2)与y＝x－3不是同一函数．
1．下列四种说法中，不正确的一个是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
答案 B
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．若f(x)＝eq \r(x＋1)，则f(3)等于( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．10
答案 A
解析 f(3)＝eq \r(3＋1)＝2.
3．函数f(x)＝eq \f(x,\r(x)－1)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．[0,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,\r(x)－1≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x≠1，))
∴定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
4．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1} C．{－1,1} D．{－1,0}
答案 D
解析 因为当x＝0时，在集合B中没有值与之对应．
5．下列各组函数是同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)；②f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
答案 ②③
解析 ①f(x)＝－xeq \r(－2x)，g(x)＝xeq \r(－2x)，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝eq \f(1,x0)＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)求函数的定义域、函数值．
2．方法归纳：数学抽象．
3．常见误区：化简函数的对应关系时要注意定义域的变化
1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案 A
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．
2．函数f(x)＝eq \r(1＋x)＋eq \f(x,1－x)的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x≥0，,1－x≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x≠1.))
故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.
3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝eq \f(x2－1,x＋1)
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq \f(x,\r(x)2)
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；
B中的函数定义域不同；
C中两函数的对应关系不同，故选D.
5．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
6．若f(x)＝eq \f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 eq \f(1,2)或2
解析 f(a)＝eq \f(5a,a2＋1)＝2，
所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或eq \f(1,2).
7．下列对应关系是函数的为________．(填序号)
(1)x→x2，x∈R；
(2)x→y，其中y2＝x，x∈(0，＋∞)，y∈R；
(3)t→s，其中s＝eq \f(t2＋1,t－1)，t≠1，t∈R.
答案 (1)(3)
8．函数y＝eq \f(\r(6－x),|x|－4)的定义域用区间表示为________．
答案 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
解析 要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－x≥0，,|x|－4≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤6，,x≠±4，))
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
9．已知函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2).
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)使根式eq \r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式eq \f(1,x＋2)有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是
{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \r(\f(11,3))＋eq \f(3,8)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；
f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).
10．求函数y＝eq \f(\r(－x2＋4x＋5),\r(6－2x)－1)的定义域，并用区间表示．
解 要使函数有意义，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋5≥0，,6－2x≥0，,\r(6－2x)－1≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤5，,x≤3，,x≠\f(5,2).))
所以－1≤x≤3且x≠eq \f(5,2)，
所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3且x≠\f(5,2)))))，
用区间表示为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).
11．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
答案 A
解析 ∵f(x)＝ax2－1，
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
12．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C．[0,4] D．(0,1)
答案 B
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝f(2x)有意义，
需0≤2x≤2，即0≤x≤1.
13．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.
答案 2 0
解析 对∀x∈R，有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2.②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
15．已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)，则f(g(x))＝________.
答案 eq \f(2－x2,x2)(x≠0)
解析 f(g(x))＝eq \f(1－gx,1＋gx)＝eq \f(1－x2－1,1＋x2－1)
＝eq \f(2－x2,x2)(x≠0)．
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))的值．
解 (1)由f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)，
所以f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5).
f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明如下：f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝2 018.函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(fx|x∈A))叫做函数的值域
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
(a，b)
{x|a≤x
[a，b)
{x|a
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值．
知识点一 函数的有关概念
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
知识点三 区间
1．区间概念(a，b为实数，且a
2.其他区间的表示
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．定义域中的某一个x可以对应着不同的y.( × )
4．区间不可能是空集．( √ )
一、函数关系的判断
例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1)
答案 B
解析 对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
反思感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1 下列图象中，可作为函数图象的是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 对于②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图象，①③④符合函数定义．
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)；
(2)y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；
(3)y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－7x≥0，))得0≤x≤eq \f(1,7)，
所以函数y＝2eq \r(x)－eq \r(1－7x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,7))).
(2)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－2且x≠－1)))).
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,x≠0))解得－2≤x<0或0
所以函数y＝eq \r(4－x2)＋eq \f(1,x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
反思感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；
(2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x≤1.))
所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x≥0，,\r(4－x)≠0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，
所以定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[2,4)．
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
反思感悟 求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练3 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，x≥0，,\f(1,x－1)，x<0，))则f(f(2))＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 f(2)＝－22＋1＝－3，
∴f(f(2))＝f(－3)＝－eq \f(1,4).
三、同一个函数的判定
例4 下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1)
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案 B
解析 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练4 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝eq \r(t2)；
(2)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)，y＝eq \r(1－x2)；
(3)y＝eq \r(3－x2)，y＝x－3.
解 (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝eq \r(t2)＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝eq \r(1－x2)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)＝eq \r(1－x2)，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)与y＝eq \r(1－x2)是同一函数．
(3)∵y＝eq \r(3－x2)＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝eq \r(3－x2)与y＝x－3不是同一函数．
1．下列四种说法中，不正确的一个是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
答案 B
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．若f(x)＝eq \r(x＋1)，则f(3)等于( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．10
答案 A
解析 f(3)＝eq \r(3＋1)＝2.
3．函数f(x)＝eq \f(x,\r(x)－1)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．[0,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,\r(x)－1≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x≠1，))
∴定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
4．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1} C．{－1,1} D．{－1,0}
答案 D
解析 因为当x＝0时，在集合B中没有值与之对应．
5．下列各组函数是同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)；②f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
答案 ②③
解析 ①f(x)＝－xeq \r(－2x)，g(x)＝xeq \r(－2x)，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝eq \f(1,x0)＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)求函数的定义域、函数值．
2．方法归纳：数学抽象．
3．常见误区：化简函数的对应关系时要注意定义域的变化
1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案 A
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A符合函数定义．
2．函数f(x)＝eq \r(1＋x)＋eq \f(x,1－x)的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x≥0，,1－x≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x≠1.))
故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.
3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝eq \f(x2－1,x＋1)
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq \f(x,\r(x)2)
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；
B中的函数定义域不同；
C中两函数的对应关系不同，故选D.
5．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
6．若f(x)＝eq \f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 eq \f(1,2)或2
解析 f(a)＝eq \f(5a,a2＋1)＝2，
所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或eq \f(1,2).
7．下列对应关系是函数的为________．(填序号)
(1)x→x2，x∈R；
(2)x→y，其中y2＝x，x∈(0，＋∞)，y∈R；
(3)t→s，其中s＝eq \f(t2＋1,t－1)，t≠1，t∈R.
答案 (1)(3)
8．函数y＝eq \f(\r(6－x),|x|－4)的定义域用区间表示为________．
答案 (－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
解析 要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－x≥0，,|x|－4≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤6，,x≠±4，))
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
9．已知函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2).
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)使根式eq \r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式eq \f(1,x＋2)有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是
{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \r(\f(11,3))＋eq \f(3,8)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；
f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).
10．求函数y＝eq \f(\r(－x2＋4x＋5),\r(6－2x)－1)的定义域，并用区间表示．
解 要使函数有意义，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋5≥0，,6－2x≥0，,\r(6－2x)－1≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤5，,x≤3，,x≠\f(5,2).))
所以－1≤x≤3且x≠eq \f(5,2)，
所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3且x≠\f(5,2)))))，
用区间表示为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).
11．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
答案 A
解析 ∵f(x)＝ax2－1，
∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
12．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)的定义域是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C．[0,4] D．(0,1)
答案 B
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝f(2x)有意义，
需0≤2x≤2，即0≤x≤1.
13．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.
答案 2 0
解析 对∀x∈R，有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2.②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
15．已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)，则f(g(x))＝________.
答案 eq \f(2－x2,x2)(x≠0)
解析 f(g(x))＝eq \f(1－gx,1＋gx)＝eq \f(1－x2－1,1＋x2－1)
＝eq \f(2－x2,x2)(x≠0)．
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))的值．
解 (1)由f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)，
所以f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5).
f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明如下：f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝2 018.函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(fx|x∈A))叫做函数的值域
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
(a，b)
{x|a≤x
[a，b)
{x|a
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
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