高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优质第二课时学案

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

第2课时函数的表示方法

【课程标准】

1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.

2.掌握求函数解析式的常见方法.

3.会用解析法及图象法表示分段函数．

4．给出分段函数，能研究有关性质．

【知识要点归纳】

1.函数的三种表示方法

注意：同一个函数可以用不同的方法表示．

2.分段函数

（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的        的函数．

（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的     ；各段函数的定义域的交集是      ．

注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．

3.求函数解析式的方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.

②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.

(3)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

【经典例题】

（一）注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．

例1 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

(1)f(g(3))＝__________；    (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.

（二） 图象法

作函数图象的步骤及注意点

(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.

例2 作出下列函数的图象并求出其值域．

(1)y＝，x∈[2，＋∞)；

(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]

（3）y＝x＋1(x≤0)

（三） 分段函数

注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．

（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．

（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。

例3　已知函数f(x)＝

(1)求f(f(f(－2)))的值；

(2)若f(a)＝，求a.

注意：根据自变量取值范围代入对应解析式求值．

[跟踪训练]  已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)若f(x)≥，求x的取值范围；

(3)求f(x)的值域．

例4.求下列函数解析式

[跟踪训练]

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．已知函数满足，则　　

A． B． 

C． D．

2．如图是某公司2018年1月至12月冰箱销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如7月份销售任务是700台，完成率为，则下列叙述不正确的是　　

A．2018年5月的销售任务是800台 

B．2018年第一季度总销售量为830台 

C．2018年3月份销售量比9月份低 

D．2018年月销售量最大的是5月份

3．若，则的解析式为　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

5．已知函数，分别由如表给出：

则当时，　　．

6．若是上单调递减的一次函数，若，则　　．

7．设函数，若，则　　．

三．解答题（共1小题）

8．画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）比较、（1）、（3）的大小；

（2）若，比较与的大小；

（3）求函数的值域．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．已知函数满足，则　　

A． B． 

C． D．

【分析】把看作一个整体，令，则，故，化简整理，即可得的解析式．

【解答】解：令，则，

故；

．

故选：．

【点评】本题考查了函数解析式的求法，用换元法求函数解析式，属于基础题．

2．如图是某公司2018年1月至12月冰箱销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如7月份销售任务是700台，完成率为，则下列叙述不正确的是　　

A．2018年5月的销售任务是800台 

B．2018年第一季度总销售量为830台 

C．2018年3月份销售量比9月份低 

D．2018年月销售量最大的是5月份

【分析】观察图表销售任务和完成情况的气泡图以及：每月销售量每月销售任务每月完成率，可得答案．

【解答】解：由图表数据分析选项正确，

由每月销售量每月销售任务每月完成率可得：、选项正确．

2018年3月份销售量为：台，2018年9月份销售量为：台，选项错误．

故选：．

【点评】本题考查图表数据分析，每月销售量每月销售任务每月完成率，属于基础题．

3．若，则的解析式为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】采用换元法，令，则，化简后，用替换即可．

【解答】解：令，则，

，，

，．

故选：．

【点评】本题考查函数解析式的求法，熟练掌握换元法是解题的关键，属于基础题．

4．已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为　　

A． B． C． D．

【分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．

【解答】解：函数对任意的都满足，①，

则，②，

①②可得：，

可得．

的解析式为．

故选：．

【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．

二．填空题（共3小题）

5．已知函数，分别由如表给出：

则当时，　3　．

【分析】利用函数的定义即可得出．

【解答】解：由表格可知：（1），，，而（3），．

故答案为3．

【点评】本题考查了函数的定义，属于基础题．

6．若是上单调递减的一次函数，若，则　　．

【分析】设，得出解析式，根据多项式相等得出，的值．

【解答】解：由于是单调递减的一次函数，故可设，

于是，

又，

，又，

，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．

7．设函数，若，则　或3　．

【分析】根据分段函数的解析式，结合，即可求得的值．

【解答】解：由题意可得或

或

故答案为：或3

【点评】本题考查分段函数，解题的关键是正确理解分段函数的意义，正确列出等式．

三．解答题（共1小题）

8．画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）比较、（1）、（3）的大小；

（2）若，比较与的大小；

（3）求函数的值域．

【分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．

【解答】解：图象如图所示：

（1）由图象可得（1）（3），

（2），函数在上为增函数，

，

（3）由函数图象可得函数的值域为，．

【点评】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．