2020届二轮复习圆锥曲线综合学案（全国通用）

培优点十九  圆锥曲线综合

1．直线过定点

例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．

（1）求的方程；

（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】（1）；（2）证明见解析，．

【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，

因为，不妨设点，代入椭圆方程得，

又因为，所以，，所以，，

所以的方程为．

（2）依题设，得直线的方程为，即，

设，，，

由切线的斜率存在，设其方程为，

联立得，，

由相切得，

化简得，即，

因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为，

即，同理，切线的方程为，

又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，

又，所以直线的方程可化为，

即，令，得，

所以直线恒过定点．

2．面积问题

例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，

则，又，得，，

，

解得，，所以椭圆方程为．

（2）设直线方程：，、，

由，得，所以，

由（1）知直线：，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，

，

而与，知，，

由，得，所以，

四边形面积的取值范围．

3．参数的值与范围

例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．

（1）求抛物线的方程以及的值；

（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）抛物线的焦点，

，则，抛物线方程为；

点在抛物线上，．

（2）依题意，，设，设、，

联立方程，消去，得．

所以   ①，且，

又，则，即，

代入①得，消去得，

，则，，

则

，

当，解得，故．

4．弦长类问题

例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意可知：，又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：，

由点到直线的距离公式有：，∴椭圆方程．

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

，

要与相交于两点，则应有：，

设，，

则有：，．

又．

又：，所以有：，

，②

将，代入，消去并整理得：，

要有两交点，则．③

由①②③有．

设、．有，，

．

将代入有．

，令，，

令，．

所以在内恒成立，故函数在内单调递增，

故．

5．存在性问题

例5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在，见解析．

【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，

∵在椭圆上，∴，

∴，，故椭圆的方程为．

（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，

设，，，，的中点为，

由，消去，得，

∴，且，故且，

由，知四边形为平行四边形，

而为线段的中点，因此为线段的中点，

∴，得，

又，可得，∴点不在椭圆上，

故不存在满足题意的直线．

一、解答题

1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）由已知，，

轨迹为双曲线的右支，，，，

曲线标准方程．

（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，

当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，

当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，

直线，当时，，，

得，，，

下面证明直线经过点，即证，即，

即，由，，

整理得，，即

即证经过点，直线过定点．

2．已知点在椭圆上，设，分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆在第一象限内一点，直线，分别交轴、轴于，两点，求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为椭圆经过点，有，

由等面积法，可得原点到直线的距离为，

联立两方程解得，，所以椭圆的方程为．

（2）设点，则，即．

直线，令，得．

从而有，同理，可得．

所以四边形的面积为

．

所以四边形的面积为．

3．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，．

（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；

（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围．

【答案】（1）是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，；（2）．

【解析】（1）由题意是线段的垂直平分线，

所以，

所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

∴，，，

故点的轨迹方程是．

（2）设直线：，，，

直线与圆相切，得，即，

联立，消去得：，

，得，

，，

∴

，

所以，得，

∴，解得或，

故所求范围为．

4．已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设点到轴距离为，则，易知当线段在轴时，，，

，，，，，

所以椭圆方程为，圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时；

设直线方程为：，直线为圆的切线，，，

直线与椭圆联立，，得，

判别式，由韦达定理得：，

所以弦长，令，

所以；

综上，，

5．如图，己知、是椭圆的左、右焦点，直线经过左焦点，且与椭圆交，两点，的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在，见解析．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为，因为直线与轴的交点为，故．

又的周长为，即，故，所以，．

因此，椭圆的标准方程为．

（2）不存在．理由如下：

先用反证法证明不可能为底边，即．

由题意知，设，，假设，则，

又，，代入上式，消去，得：．

因为直线斜率存在，所以直线不垂直于轴，所以，故．

(与，，矛盾）

联立方程，得：，所以矛盾．

故．

再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰．

假设为等腰直角三角形，不妨设为直角顶点．

设，则，在中，由勾股定理得：，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．