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2019届二轮复习 圆锥曲线学案（全国通用）
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第2讲 圆锥曲线
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案 C
解析 由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
解得a＝，则M，N(，0)．
设点A(x0，y0)(x0≠±)，
由直线AM与AN的斜率之积为－，
可得·＝－，
即y＝－(x－3)，①
又＋＝1，所以y＝b2，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程为＋＝1.
(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．8
答案 A
解析 因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，
所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2＝4x，
由解得A(1,2)．
抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 ∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上，
∴c＝5，可得a2＋b2＝25.①
又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝.②
①②联立，解得a＝3且b＝4，
可得双曲线的方程为－＝1.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
答案 C
解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.
设＝a，则由已知得＝2a，
由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，
∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，|AC|＝2|AE|，
∴3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，
因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设|F1B|＝k，
依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
∵cos∠AF2B＝，
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，
∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，
∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．
∴c＝a，椭圆的离心率e＝＝.
(2)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A. B.
C．(1,2) D.
答案 A
解析 根据正弦定理可知＝，
所以＝，即|PF2|＝|PF1|，
＝2a，
所以＝2a，解得＝，
而>a＋c，即>a＋c，
整理得3e2－4e－1<0，解得
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，
所以e＝＝.
故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±4x
答案 B
解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x，
则直线l的斜率kl＝－，
直线l的方程为y＝－，
整理可得ax＋by－a2＝0.
焦点(c,0)到直线l的距离d＝＝，
则弦长为2＝2＝c，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，
即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得＝0.
又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，
所以＝ ＝ ＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
方法二 圆心到直线l的距离为＝，
∴＝，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴c＝2a，b＝a，
∴渐近线方程为y＝±x.
热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直，|AB|＝a，求椭圆的离心率；
(2)若直线AB的斜率为1，|AB|＝，求椭圆的短轴与长轴的比值．
解 (1)由题意可知，直线AB的方程为x＝－c，
∴|AB|＝＝a，
即a2＝4b2，
故e＝＝＝＝.
(2)设F1(－c,0)，则直线AB的方程为y＝x＋c，
联立消去y，
得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0，
Δ＝4a4c2－4a2(a2＋b2)(c2－b2)＝8a2b4.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·
＝＝，
∴a2＝2b2，∴＝，
∴＝，即椭圆的短轴与长轴之比为.
思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．
跟踪演练3 如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.设点A(x0，x)(x0≠0)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求的值．
解 (1)因为y′＝2x，
所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0.
所以直线AB的方程y－x＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
即直线AB的方程为2x0x－y－x＝0.
(2)由题意得，点B的纵坐标yB＝－x，
所以AB的中点坐标为.
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，
直线CG的方程为x＝my＋x0.
由
联立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.
Δ＝(mx0－1)2－4×m2×＝1－2mx0>0，
即mx0<.
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝4y2＝，
y1y2＝3y＝.
所以＝，
解得mx0＝－3±2，满足Δ>0.
所以点D的纵坐标yD＝－＝，
故＝＝4±6.
真题体验
1．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
答案 2
解析 由双曲线的标准方程知，
a＝1，b2＝m，c＝，
故双曲线的离心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．
答案 2
解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为＝.
由点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝3a2.所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝2.
3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．
答案 2
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．
∵MN⊥l，∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
押题预测
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．
答案 A
解析 由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即||＝b，则||＝3b.
在△AF2O中，||＝a , ||＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故选A.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．
解 (1)由题意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因为椭圆C经过点，
所以＋＝1，
解得a2＝4，所以b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，
由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|
＝＝，
化简得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)．
又圆O的半径r＝＝，
所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.
A组 专题通关
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
故选B.
2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或
不妨设点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为(4,4)．
又∵抛物线的焦点为F(1,0)，
∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
故选D.
3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
A. B．3 C．2 D．4
答案 B
解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，
所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.
故选B.
4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，根据正弦定理＝＝2R，
∴R＝c，
∵R＝4r，∴r＝c，
由余弦定理，
2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，
可得|PF1||PF2|＝，
则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，
可得·c＝·，
∴e＝＝.
5．(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，
∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，
|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
6．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 －1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.
由得x2＝.
如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－－2＝0，解得＝2－3.
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.
∴e2＝－1.
方法二 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，
则＝tan 60°＝.
又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.
如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，
设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋＝2a，
∴a＝.
∴椭圆M的离心率为＝＝－1.
7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．
答案 ±
解析 由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，
所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，
若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
化为x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，
可得k2＝，所以k＝±.
8．(2018·百校联盟联考)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案
解析 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B，
所以＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，
所以＝－，
所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为＋≥2＝，
由题意得≤1，
所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，
所以e2≥，
又因为0
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)
＝.
由题意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为x－y－1＝0.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有 ＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b，
由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．
由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.
又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，
所以|AQ|＝y2.
由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程组消去x，可得y1＝ .
由题意求得直线AB的方程为x＋y－2＝0，
由方程组消去x，可得y2＝.
由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，
整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.
所以k的值为或.
B组 能力提高
11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
答案 D
解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
12．(2018·河南省名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．
答案 (1，)∪(，＋∞)
解析 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，
令x＝－c，可得y＝±b＝±，
设A，B，D(0，b)，
可得＝，
＝，＝，
若∠DAB为钝角，则·<0，
即0－·<0，
化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2，
可得c2<2a2，即e＝<，
又e>1，可得1
即c2－<0，
化为c4－4a2c2＋2a4>0，
由e＝，可得e4－4e2＋2>0，
又e>1，可得e>；
又·＝>0，
∴∠DBA不可能为钝角．
综上可得，e的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
13．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
答案 2
解析 方法一 特殊化，设MN⊥x轴，
则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.
方法二 由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，
则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝8k2＋8>0.
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝
＝.
直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则解得x2＝，y2＝，
则|OP|2＝x＋y＝，
又|PQ|＝2|OP|，
所以|PQ|2＝4|OP|2＝，
所以＝2.
综上，＝2.
14．(2017·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率；
②求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆的离心率为e.
由已知可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.
又因为0
(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)，
则直线FP的斜率为.
由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，
即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，
可得x＝，y＝，
即点Q的坐标为.
由已知|FQ|＝，
有2＋2＝2，
整理得3m2－4m＝0，所以m＝(m＝0舍去)，
即直线FP的斜率为.
②由a＝2c，可得b＝c，
故椭圆方程可以表示为＋＝1.
由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立得
消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x＝－(舍去)或x＝c.因此可得点P，
进而可得|FP|＝ ＝，
所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.
由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP，
所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，
所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝.
同理△FPM的面积等于.
由四边形PQNM的面积为3c，得－＝3c，
整理得c2＝2c.又由c>0，得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案 C
解析 由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
解得a＝，则M，N(，0)．
设点A(x0，y0)(x0≠±)，
由直线AM与AN的斜率之积为－，
可得·＝－，
即y＝－(x－3)，①
又＋＝1，所以y＝b2，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程为＋＝1.
(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．8
答案 A
解析 因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，
所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2＝4x，
由解得A(1,2)．
抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 ∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上，
∴c＝5，可得a2＋b2＝25.①
又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝.②
①②联立，解得a＝3且b＝4，
可得双曲线的方程为－＝1.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
答案 C
解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.
设＝a，则由已知得＝2a，
由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，
∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，|AC|＝2|AE|，
∴3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，
因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设|F1B|＝k，
依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
∵cos∠AF2B＝，
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，
∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，
∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．
∴c＝a，椭圆的离心率e＝＝.
(2)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A. B.
C．(1,2) D.
答案 A
解析 根据正弦定理可知＝，
所以＝，即|PF2|＝|PF1|，
＝2a，
所以＝2a，解得＝，
而>a＋c，即>a＋c，
整理得3e2－4e－1<0，解得
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，
所以e＝＝.
故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±4x
答案 B
解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x，
则直线l的斜率kl＝－，
直线l的方程为y＝－，
整理可得ax＋by－a2＝0.
焦点(c,0)到直线l的距离d＝＝，
则弦长为2＝2＝c，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，
即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得＝0.
又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，
所以＝ ＝ ＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
方法二 圆心到直线l的距离为＝，
∴＝，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴c＝2a，b＝a，
∴渐近线方程为y＝±x.
热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直，|AB|＝a，求椭圆的离心率；
(2)若直线AB的斜率为1，|AB|＝，求椭圆的短轴与长轴的比值．
解 (1)由题意可知，直线AB的方程为x＝－c，
∴|AB|＝＝a，
即a2＝4b2，
故e＝＝＝＝.
(2)设F1(－c,0)，则直线AB的方程为y＝x＋c，
联立消去y，
得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0，
Δ＝4a4c2－4a2(a2＋b2)(c2－b2)＝8a2b4.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·
＝＝，
∴a2＝2b2，∴＝，
∴＝，即椭圆的短轴与长轴之比为.
思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．
跟踪演练3 如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.设点A(x0，x)(x0≠0)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求的值．
解 (1)因为y′＝2x，
所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0.
所以直线AB的方程y－x＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
即直线AB的方程为2x0x－y－x＝0.
(2)由题意得，点B的纵坐标yB＝－x，
所以AB的中点坐标为.
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，
直线CG的方程为x＝my＋x0.
由
联立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.
Δ＝(mx0－1)2－4×m2×＝1－2mx0>0，
即mx0<.
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝4y2＝，
y1y2＝3y＝.
所以＝，
解得mx0＝－3±2，满足Δ>0.
所以点D的纵坐标yD＝－＝，
故＝＝4±6.
真题体验
1．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
答案 2
解析 由双曲线的标准方程知，
a＝1，b2＝m，c＝，
故双曲线的离心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．
答案 2
解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为＝.
由点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝3a2.所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝2.
3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．
答案 2
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．
∵MN⊥l，∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
押题预测
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．
答案 A
解析 由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即||＝b，则||＝3b.
在△AF2O中，||＝a , ||＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故选A.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．
解 (1)由题意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因为椭圆C经过点，
所以＋＝1，
解得a2＝4，所以b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，
由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|
＝＝，
化简得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)．
又圆O的半径r＝＝，
所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.
A组 专题通关
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
故选B.
2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或
不妨设点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为(4,4)．
又∵抛物线的焦点为F(1,0)，
∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
故选D.
3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
A. B．3 C．2 D．4
答案 B
解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，
所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.
故选B.
4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，根据正弦定理＝＝2R，
∴R＝c，
∵R＝4r，∴r＝c，
由余弦定理，
2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，
可得|PF1||PF2|＝，
则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，
可得·c＝·，
∴e＝＝.
5．(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，
∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，
|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
6．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 －1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.
由得x2＝.
如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－－2＝0，解得＝2－3.
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.
∴e2＝－1.
方法二 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，
则＝tan 60°＝.
又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.
如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，
设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋＝2a，
∴a＝.
∴椭圆M的离心率为＝＝－1.
7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．
答案 ±
解析 由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，
所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，
若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
化为x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，
可得k2＝，所以k＝±.
8．(2018·百校联盟联考)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案
解析 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B，
所以＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，
所以＝－，
所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为＋≥2＝，
由题意得≤1，
所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，
所以e2≥，
又因为0
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)
＝.
由题意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为x－y－1＝0.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有 ＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b，
由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．
由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.
又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，
所以|AQ|＝y2.
由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程组消去x，可得y1＝ .
由题意求得直线AB的方程为x＋y－2＝0，
由方程组消去x，可得y2＝.
由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，
整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.
所以k的值为或.
B组 能力提高
11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
答案 D
解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
12．(2018·河南省名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．
答案 (1，)∪(，＋∞)
解析 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，
令x＝－c，可得y＝±b＝±，
设A，B，D(0，b)，
可得＝，
＝，＝，
若∠DAB为钝角，则·<0，
即0－·<0，
化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2，
可得c2<2a2，即e＝<，
又e>1，可得1
即c2－<0，
化为c4－4a2c2＋2a4>0，
由e＝，可得e4－4e2＋2>0，
又e>1，可得e>；
又·＝>0，
∴∠DBA不可能为钝角．
综上可得，e的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
13．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
答案 2
解析 方法一 特殊化，设MN⊥x轴，
则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.
方法二 由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，
则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝8k2＋8>0.
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝
＝.
直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则解得x2＝，y2＝，
则|OP|2＝x＋y＝，
又|PQ|＝2|OP|，
所以|PQ|2＝4|OP|2＝，
所以＝2.
综上，＝2.
14．(2017·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率；
②求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆的离心率为e.
由已知可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.
又因为0
(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)，
则直线FP的斜率为.
由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，
即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，
可得x＝，y＝，
即点Q的坐标为.
由已知|FQ|＝，
有2＋2＝2，
整理得3m2－4m＝0，所以m＝(m＝0舍去)，
即直线FP的斜率为.
②由a＝2c，可得b＝c，
故椭圆方程可以表示为＋＝1.
由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立得
消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x＝－(舍去)或x＝c.因此可得点P，
进而可得|FP|＝ ＝，
所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.
由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP，
所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，
所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝.
同理△FPM的面积等于.
由四边形PQNM的面积为3c，得－＝3c，
整理得c2＝2c.又由c>0，得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
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