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2019届二轮复习圆锥曲线综合应用学案（全国通用）
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一、考纲要求：
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；
2.了解圆锥曲线的简单应用；
3.理解数形结合的思想．
二、概念掌握和解题上注意点：
1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：
(1）.消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0.
(2）.重视“判别式Δ”起的限制作用.
2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.
3.处理中点弦问题的常用方法
(1）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.
(2）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
三、高考考题题例分析
例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率，
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】(1)1；(2) y＝x＋7.
(2)由 y＝，得y′＝.
例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)－
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
【答案】(1) (－1,1)；(2)
【解析】(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，
|PA|·|PQ|取得最大值.学
例3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2
C．2 D．3
【答案】C
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．
例4．(2016全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
【答案】(1) ；(2) (，2)．
【解析】设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
(2)由题意t＞3，k＞0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得
(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t＞3等价于＝＜0，
即＜0.
由此得或解得＜k＜2.
因此k的取值范围是(，2)．
例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】见解析
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
圆锥曲线综合应用练习题
一、选择题
1．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．∪
【答案】C
【解析】 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝ ( )
A． B．
C． D．0
3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 ( )
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
【答案】D
【解析】由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，
即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个共公点时，k＝0或1.
4．方程x＝所表示的曲线是 ( )
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分 D．直线的一部分
【答案】B
【解析】x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．
5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是 ( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
【答案】D
【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
6．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹C的方程为 ( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝2y D．x2＝4y
【答案】B
7．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 ( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
【答案】D
【解析】因为M为AQ垂直平分线上一点，
则|AM|＝|MQ|，
所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的方程为＋＝1. 学
8．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是 ( )
A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
【答案】A
9．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有 ( )
①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】A
【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，
所以E的方程为＋＝1.
11．已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为 ( )
A．－12 B．12
C．－9 D．9
【答案】D
12.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为 ( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.
二、填空题
13．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为 ．
【答案】16
【解析】直线l的方程为y＝x＋1，
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
14．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是 ．
【答案】x＋2y－8＝0
15．已知椭圆＋＝1(0
【解析】不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 ．
【答案】2＋
【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，
化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)．
故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程得－b＝(2a－c)，
化简可得离心率e＝＝2＋.学
三、解答题
17．已知椭圆与抛物线y2＝4x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．
【答案】(1) ＋＝1；(2)
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．
【答案】(1) y2＝8x；(2) (1，－1)．
【解析】 (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
19．已知定点F(0,1)，定直线l：y＝－1，动圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值.
【答案】(1) x2＝4y；(2) 4π.
【解析】 (1)法一：设圆心M到直线l的距离为d，
由题意|MF|＝d.
设圆心M(x，y)，则有＝|y＋1|.
化简得x2＝4y.
所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.
法二：设圆心M到直线l的距离为d，
由题意|MF|＝d.
根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线，
焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.
所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.
法二：设lAB：y＝kx＋1，
代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)．
因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.
所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.①
同理可得直线l2的方程为y＝x－.②
联立①②，解得即P(2k，－1)．
因为·＝(x1－2k，y1＋1)·(x2－2k，y2＋1)
＝x1x2－2k(x1＋x2)＋4k2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径．
因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
因为AB的中点M的坐标为(2k,2k2＋1)，
所以AB的中垂线方程为y－(2k2＋1)＝－(x－2k)，
因为PA的中垂线方程为y－(k2－k)＝(k＋)[x－(2k－)]，
联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k,2k2＋1)．
因为点M，N的坐标相同，
所以AB的中点M为△PAB的外接圆的圆心．
所以△PAB是直角三角形，且PA⊥PB，
所以线段AB是△PAB外接圆的直径．学
因为|AB|＝4(k2＋1)，
所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
20．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．
【答案】(1) ＋y2＝1；(2)见解析
由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，
即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，
由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，
故直线AB过定点(－1，－1)．
综上，直线AB过定点(－1，－1)．
21．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点．直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N.
(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；
(2)若直线MN过焦点F，＝λ(λ∈R)，求实数λ的值.
【答案】(1)见解析；(2) λ＝.
(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(－c,0)，直线AP的方程为y＝k1(x＋a)，
直线l的方程为x＝a，则M(a,2ak1)．
∵MN⊥BP，∴kMN·k2＝－1.
由(1)知k1·k2＝－，∴kMN＝·k1.
又F，N，M三点共线，得kMF＝kMN，
即＝k1，得2b2＝a(a＋c)．
∵b2＝a2－c2，
∴2(a2－c2)＝a2＋ac，化简整理得2c2＋ac－a2＝0，
即2＋－1＝0，
解得＝或＝－1(舍去)．
∴a＝2c.
由＝λ，得(a－c,0)＝λ(a＋c,0)，
将a＝2c代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c＝3λc，
∴λ＝.
22．已知抛物线C1的方程为y2＝4x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点．
(1)若＝，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点，求椭圆C2的长轴长的最小值.
【答案】(1) y＝x－4或y＝－x＋4；
(2)
(2)设P(m，n)，则OP的中点为.
因为O，P两点关于直线y＝k(x－4)对称，
所以
解得
将其代入抛物线方程，得2＝4·.
所以k2＝1.
一、考纲要求：
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；
2.了解圆锥曲线的简单应用；
3.理解数形结合的思想．
二、概念掌握和解题上注意点：
1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：
(1）.消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0.
(2）.重视“判别式Δ”起的限制作用.
2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.
3.处理中点弦问题的常用方法
(1）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.
(2）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
三、高考考题题例分析
例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率，
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】(1)1；(2) y＝x＋7.
(2)由 y＝，得y′＝.
例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)－
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
【答案】(1) (－1,1)；(2)
【解析】(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，
|PA|·|PQ|取得最大值.学
例3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2
C．2 D．3
【答案】C
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．
例4．(2016全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
【答案】(1) ；(2) (，2)．
【解析】设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
(2)由题意t＞3，k＞0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得
(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t＞3等价于＝＜0，
即＜0.
由此得或解得＜k＜2.
因此k的取值范围是(，2)．
例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】见解析
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值
圆锥曲线综合应用练习题
一、选择题
1．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．∪
【答案】C
【解析】 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝ ( )
A． B．
C． D．0
3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 ( )
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
【答案】D
【解析】由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，
即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个共公点时，k＝0或1.
4．方程x＝所表示的曲线是 ( )
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分 D．直线的一部分
【答案】B
【解析】x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．
5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是 ( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
【答案】D
【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
6．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹C的方程为 ( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝2y D．x2＝4y
【答案】B
7．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 ( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
【答案】D
【解析】因为M为AQ垂直平分线上一点，
则|AM|＝|MQ|，
所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的方程为＋＝1. 学
8．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是 ( )
A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
【答案】A
9．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有 ( )
①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【答案】A
【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，
所以E的方程为＋＝1.
11．已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为 ( )
A．－12 B．12
C．－9 D．9
【答案】D
12.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为 ( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.
二、填空题
13．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为 ．
【答案】16
【解析】直线l的方程为y＝x＋1，
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
14．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是 ．
【答案】x＋2y－8＝0
15．已知椭圆＋＝1(0
【解析】不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 ．
【答案】2＋
【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，
化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)．
故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程得－b＝(2a－c)，
化简可得离心率e＝＝2＋.学
三、解答题
17．已知椭圆与抛物线y2＝4x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．
【答案】(1) ＋＝1；(2)
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．
【答案】(1) y2＝8x；(2) (1，－1)．
【解析】 (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
19．已知定点F(0,1)，定直线l：y＝－1，动圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值.
【答案】(1) x2＝4y；(2) 4π.
【解析】 (1)法一：设圆心M到直线l的距离为d，
由题意|MF|＝d.
设圆心M(x，y)，则有＝|y＋1|.
化简得x2＝4y.
所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.
法二：设圆心M到直线l的距离为d，
由题意|MF|＝d.
根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线，
焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.
所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.
法二：设lAB：y＝kx＋1，
代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)．
因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.
所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.①
同理可得直线l2的方程为y＝x－.②
联立①②，解得即P(2k，－1)．
因为·＝(x1－2k，y1＋1)·(x2－2k，y2＋1)
＝x1x2－2k(x1＋x2)＋4k2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径．
因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
因为AB的中点M的坐标为(2k,2k2＋1)，
所以AB的中垂线方程为y－(2k2＋1)＝－(x－2k)，
因为PA的中垂线方程为y－(k2－k)＝(k＋)[x－(2k－)]，
联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k,2k2＋1)．
因为点M，N的坐标相同，
所以AB的中点M为△PAB的外接圆的圆心．
所以△PAB是直角三角形，且PA⊥PB，
所以线段AB是△PAB外接圆的直径．学
因为|AB|＝4(k2＋1)，
所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
20．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．
【答案】(1) ＋y2＝1；(2)见解析
由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，
即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，
由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，
故直线AB过定点(－1，－1)．
综上，直线AB过定点(－1，－1)．
21．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点．直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N.
(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；
(2)若直线MN过焦点F，＝λ(λ∈R)，求实数λ的值.
【答案】(1)见解析；(2) λ＝.
(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(－c,0)，直线AP的方程为y＝k1(x＋a)，
直线l的方程为x＝a，则M(a,2ak1)．
∵MN⊥BP，∴kMN·k2＝－1.
由(1)知k1·k2＝－，∴kMN＝·k1.
又F，N，M三点共线，得kMF＝kMN，
即＝k1，得2b2＝a(a＋c)．
∵b2＝a2－c2，
∴2(a2－c2)＝a2＋ac，化简整理得2c2＋ac－a2＝0，
即2＋－1＝0，
解得＝或＝－1(舍去)．
∴a＝2c.
由＝λ，得(a－c,0)＝λ(a＋c,0)，
将a＝2c代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c＝3λc，
∴λ＝.
22．已知抛物线C1的方程为y2＝4x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点．
(1)若＝，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点，求椭圆C2的长轴长的最小值.
【答案】(1) y＝x－4或y＝－x＋4；
(2)
(2)设P(m，n)，则OP的中点为.
因为O，P两点关于直线y＝k(x－4)对称，
所以
解得
将其代入抛物线方程，得2＝4·.
所以k2＝1.
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