2020届二轮复习二项式定理的应用证明整除或求余数教案（全国通用）
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1．二项式定理
⑴二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
二项式定理的应用1证明整除或者求余数
【例1】 利用二项式定理证明：是64的倍数．
【考点】证明整除或求余数
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，
为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来．
∵
是64的倍数．
【例2】 若，证明：能被整除．
【考点】证明整除或求余数
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】考虑先将拆成与的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．
，
∵，，，…均为自然数，
∴上式各项均为的整数倍．
∴原式能被整除．
点评：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．
【例3】 证明：能被整除．
【考点】证明整除或求余数
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】∵，
∴只需证能被2整除．
而能被2整除，
因此能被整除．
【例4】 证明：能被整除．
【考点】证明整除或求余数
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】．
利用上一个变式的结论，只需证也能被整除．
一样的道理，该式子可化为：
，所以也只需证能被2整除即可．
易知
综上可知原命题结论成立．
【例5】 ⑴除以的余数________；
⑵除以的余数是__________；
⑶除以的余数是 ．
【考点】证明整除或求余数
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴将分解成含的因数，然后用二项式定理展开，不含的项就是余数．
又∵余数不能为负数，需转化为正数
∴除以的余数为
∴应填：
⑵将写成，然后利用二项式定理展开．
容易看出该式只有不能被整除，因此除以的余数，即除以的余数，故余数为．∴应填：．
⑶，用二项式定理展开后，易知除了最后一项，其它都能被整除．
因此只需考虑除以的余数．
只需考虑最后3项，不难算出余数为1
【例6】 的末尾连续零的个数是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【考点】证明整除或求余数
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】
上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以的末尾连续零的个数是3．故选C．
【答案】C
