2020届二轮复习三角恒等变换教案(全国通用)
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例1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【思路点拨】注意到(2)中可以转换为的函数值,从(2)计算入手.
【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下
Ⅱ.证明:
【总结升华】例1是对公式的正用.本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.
举一反三:
【变式1】若tan+ =4,则sin2=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以.
【变式2】已知,求的值。
【答案】
【解析】
例2.不查表求的值.
【思路点拨】用二倍角公式进行降次后出现,,再将,,运用三角函数的和差公式变形.
【解析】
【总结升华】化简求值问题,要注意条件和所求式子之间的相互关系,常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析,找到已知和未知之间的联系.
举一反三:
【变式】已知为第二象限的角,且,则的值为.
【答案】
【解析】
又为第二象限的角,且,所以所以原式
类型二:角的变换与求值
例3.已知
(1)求的值;(2)求的值.
【思路点拨】(1)已知倍角的余弦值,求该角的余弦值,可以选用降幂扩角公式,但应注意角的范围;(2)使用配角技巧.
【解析】(1),又,所以.
(2)由(1)知
所以
所以
【总结升华】1、给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,例2中应用了的变换 ,体现了灵活解决问题的能力,应着重体会,常见的变换技巧还有,,, 等.
2、已知某一个(或两个)角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余(或互补)关系,和差(为特殊角)关系,倍半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的混合运用.
举一反三:
【变式1】已知,,,求的值.
【答案】
【解析】,,
,
,
【变式2】函数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C;
【解析】∵,
.
所以其最大值为2,故选C.
【变式3】已知
【答案】
【解析】角的关系式:(和差与倍半的综合关系)
∵,∴
∴
∴=
【变式4】已知,,,,求的值。
【答案】
【解析】∵ , ∴,
∵ , ∴。
∴
例4. 求值:
(1);(2)
【思路点拨】要使能利用公式化简,分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
(1)原式=;
(2)原式=
【总结升华】此种类型题比较特殊,特殊在:①余弦相乘;②后一个角是前一个角的2倍;③最大角的2倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题,若通过恰当的转化,转化成具有这种特征的结构,则可考虑采用这个方法。
举一反三:
【变式】求值:
(1);(2).
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)原式=
=
=
(2)
类型三:三角恒等变换的综合
例5.已知,,且,求的值.
【思路点拨】题设中给出是角的正切值,故考虑正切值的计算,同时通过估算的区间求出正确的值.
【解析】,
而,故,
又,,故,
从而,
而,,而,
,
又,
【总结升华】对给值求角问题,一般是通过求三角函数值实现的,先求出某一种三角函数值,再考虑角的范围,然后得出满足条件的角.本例就是给值求角,关键是估算的区间,给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内,这是关键点也是难点.在本例中使用了配角技巧,,,这些都要予以注意.
举一反三:
【变式1】已知,为锐角,则的值是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【变式2】已知,,求。
【解析】∵,
,
解得, ,
∴.
例6.已知是的三个内角,向量且
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
【思路点拨】(1)先利用向量的数量积公式转化为三角方程再求角;(2)先解方程求出,再利用内角和定理及正切公式求得的值.
【解析】(1)因为
所以即
又,所以故
(2)因为,所以即
所以
【总结升华】三角问题常和向量知识综合在一起,求解的关键是“脱去”向量包装,将其转化为相应的三角问题进行求解;倍角公式及其变形课实现三角函数的升、降幂变化,也可以实现角的形式的转化;关于正余弦的齐次式,一般化为正切来处理.
举一反三:
【高清课堂:三角恒等变换397881例2】
【变式】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.
【答案】(I) (Ⅱ)