2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．命题：点的直角坐标是；命题：点的极坐标是；则命题是命题的 （   ）条件

A．充分不必要 B．充要

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】

点的直角坐标是化为极坐标.

所以命题是命题的必要不充分条件，故选C.

2．已知不等式对于任意正实数x、y恒成立.则正实数a的最小值为（）.

A．2    B．4    C．6    D．8

【答案】B

【解析】

解析：因为，所以，由题设可知，所以，即，应选答案B。

点睛：本题旨在考查基本不等式的灵活运用及运用逆向思维分析问题解决问题的能力。解答时巧妙地借助题设条件，灵活运用了基本不等式，将问题进行等价转化与化归，从而将问题转化为求不等式的解的问题。求解的过程体现了转化与化归的数学思想与方法的灵活综合运用

3．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题是“第一次投中”，是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答

详解：命题是“第一次投中”，则命题是“第一次没投中”

同理可得命题是“第二次没投中”

则命题“两次都没有投中目标”可表示为

故选

点睛：本题主要考查了，以及的概念，并理解为真时，，中至少有一个为真。

4．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

依题意，，故.

点睛：本题主要考查集合交集的概念，考查一元二次不等式的解法. 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.

5．下列说法错误的是（ ）

A．若，，且，则，至少有一个大于

B．“，”的否定是“，”

C．，是的必要条件

D．中，是最大角，则是为钝角三角形的充要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：易知A正确；由特称命题的否定为全称命题知B正确；C中，当时，，所以，不是的必要条件，故C错；D中，若是最大角，由，得，所以，所以为钝角三角形；若为钝角三角形，是最大角，则，所以，所以，所以中，是最大角，则是为钝角三角形的充要条件，故D正确，故选C．

考点：1、命题真假的判定；2、充分条件与必要条件；3、特称命题的否定；4、正余弦定理．

【易错点睛】对含有存在（全称）量词的命题进行否定需两步操作：（1）将存在（全称）量词改写成全称（存在）量词；（2）将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．

6．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中的元素，最后求得结果.

【详解】

详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.

点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.

7．设，满足约束条件，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

作出不等式所对应的可行域，如图所示，

由，得，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线的纵截距最大，此时取得最小值，所以，故选A.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

8．已知，则下列不等式成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

分析：利用不等式的基本性质即可判断出正误．

详解：∵a＜b＜0，

∴a2＞b2，，．

因此A，B，D不正确，C正确．

故选：C．
点睛：本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题

9．已知平面上的满足，，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意画出图形，设，，把转化为关于的三角函数，然后借助于基本不等式求得最值.

【详解】

解：如图，AB是以O为圆心，半径为2的圆的动弦，

由，得，可得点C为以AB为直径的圆上的动点（记圆心为D，半径为r），可得的最大值为，

以O点为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系，可得,

设，则，

，

当且仅当，即，即时取最大值，

故答案：

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的运算及三角函数、不等式的相关知识，把转化为关于的三角函数是解题的关键.

10．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________.

【答案】3

【解析】

∵，且，∴或，即或或，当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当时，满足题意，∴，故答案是3.

11．已知集合，集合，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

先解方程，确定集合，再与集合，求交集，即可.

【详解】

方程的两根为，.

又

.

故答案为：

【点睛】

本题考查集合的运算中的交集，属于容易题.

12．已知全集，集合，则______.

【答案】.

【解析】

【分析】

利用补集的概念得答案.

【详解】

因为全集，集合，所以，

故答案是：.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.

13．命题“的否定是              

【答案】

【解析】

【分析】

根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，一是要将存在量词改写为全称量词，所以命题 的否定为 ，故答案为.

【点睛】

本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

14．命题“、都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）．

A．、都不是奇数．则是偶数

B．是偶数．则、都是奇数

C．不是偶数，则、都不是奇数

D．不是偶数，则、不都是奇数

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用逆否命题的定义得到答案.

【详解】

题“、都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：

不是偶数，则、不都是奇数

故答案选D

【点睛】

本题考查了逆否命题，意在考查学生的逻辑推理能力.

15．（2015•成都校级模拟）已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是     ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，可求Z的最大值与最小值，即可求解a

解：由题意可得，B（1，1）

∴a＜1，不等式组表示的 平面区域如图所示的△ABC

由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大

作直线L：y=﹣2x，把直线向可行域平移，当直线经过C时z最小，当直线经过点B时，z最大

由可得C（a，a），此时Z=3a

由可得B（1，1），此时z=3

∴3=4×3a

∴

故答案：

考点：简单线性规划．

16．若命题“对任意实数x，”是真命题，则实数m的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

将问题转化为含参不等式的恒成立问题，讨论二次项的系数是否等于零，列出对应不等式求解出参数范围.

【详解】

由题意知，不等式恒成立，即不等式恒成立．

①当时，不等式可化为，显然不恒成立，不合题意；

②当时，要使不等式恒成立，则解得．

综上，所求实数m的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】

本题考查已知全称命题的真假求解参数范围，难度一般.形如的不等式恒成立求解参数范围问题，首先要分析二次项的系数是否为零，若为零，则需要按一次函数来处理问题，若不为零，可利用对应一元二次方程的以及二次函数的开口方向列出不等式求解参数范围.

17．已知集合，，则=______.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用并集的定义求解.

【详解】

由题得=

故答案为：

【点睛】

本题主要考查并集的运算，意在考查学生对该知识的理解能力掌握水平.

18．已知全集，若集合，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出集合A，即可求解∁UA

【详解】

全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}

则＝

故答案为

【点睛】

本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．

19．已知点满足，过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为           ．

【答案】

【解析】

试题分析：不等式组所表示的平面区域为如下图所示的，且在圆的内部，在区域内，其中点到圆心的距离最远，所以过点且垂直于的弦最短，

考点：1．线性规划;2．直线和圆的位置关系．

【名师点睛】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误．

20．为了保护环境，发展低碳经济，2010年全国“两会”

使用的记录纸、笔记本、环保袋、手提袋等均是以石

灰石为原料生产的石头纸用品，已知某单位每月石头

纸用品的产量最少为300吨，最多为500吨，每月成

本（元）与每月产量（吨）之间的函数关系可近似

的表示为：若要使每吨的平

均成本最低，则该单位每月产量应为____________吨.

【答案】400

【解析】

【分析】

每吨的平均成本为 ，利用基本不等式可得结果.

【详解】

因为每月成本（元）与每月产量（吨）之间的函数关系为：，

所以每吨的平均成本为 ，当时等号成立，此时，所以要使每吨的平均成本最低，则该单位每月产量应为400吨.故答案为400.

【点睛】

本题主要考查阅读能力及建模能力、基本不等式求最值，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

三、解答题

21．已知命题恒成立，命题在区间上是增函数．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

【答案】．

【解析】

试题分析：根据函数恒成立问题，求出为真时的a的范围，根据二次函数的性质求出为真时的的范围，从而判断出、一真一假时的的范围即可,最后求两范围的并集即可．

试题解析：若为真命题，则，若为真命题，则

由题意知、一真一假，

当真假时，；当假真时，，

所以的取值范围为．

考点：复合命题的真假．

22．已知全集，集合，集合.

（1）求，；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

(1)先求出集合和，即可求出，；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可。

【详解】

（1）由，解得或，故，

则，,.

（2）因为，所以

若，即，即，符合题意；

若，即，因为，所以，所以

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了集合的交集、并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题。

23．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅.

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

【答案】（1）≤a≤2.（2）0＜a≤或a≥4.

【解析】

【分析】

（1）根据条件可知，，列不等式求参数的取值范围；（2）根据，且，可知或，求的取值范围.

【详解】

解:(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，

∴A⊆B.,

解得a的取值范围为≤a≤2.

(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，

∴a＞0.

若A∩B＝∅，∴a≥4或，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4.

【点睛】

本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，属于简单题型，一般涉及子集问题时，需考虑集合是空集或非空集两种情况，分析问题时还需借助数轴分析问题.

24．设命题“关于的不等式对任意恒成立”，命题“函数在区间上是增函数”.

(1)若为真，求实数的取值范围；

(2)若为假，为真，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据为真时函数在区间[1，2]上是增函数，得到在时恒成立，分离m，求得不等式右边的最大值即可.

(2)先求出组成复合命题的简单命题分别为真时m的取值范围，再分别求出当p真q假时和当q真p假时m的取值范围，再求并集可得答案．

【详解】

（1）若为真，则函数在区间[1，2]上是增函数，

所以在时恒成立

∴恒成立，

设.则.

令，解得，所以在递减，在递增，

因为，所以，

又当m≥6时，在区上是增函数

所以当为真时，m≥6

（2）因为关于x的不等式对任意恒成立

∴，即m≥1，当命题p为真时，

为假，为真

∴一真一假，

①当p真q假时，解得1≤m<6；

②当p假q真时，解得；

综上：实数的取值范围为.

【点睛】

本题借助考查复合命题的真假判断，考查了函数的单调性问题及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题为真时参数的取值范围，属于中档题.

25．已知关于的不等式的解集为

（1）求的值；

（2）解不关于的不等式

【答案】(1)a=-6,c=-1;(2)详见解析.

【解析】

【详解】

试题分析：试题分析：(1)利用二次不等式的解的端点即相应的二次方程的根，易得的值;(2)分类讨论解二次不等式.

试题解析：

（1）由题得且是方程的两个实数根

则，解得

（2）

原不等式化为，即，

即.

①当即时，原不等式的解集为；

②当即时，原不等式的解集为；

③当即时，原不等式的解集为.

综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.