2019届二轮复习集合命题与不等式学案（全国通用）
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2018二模汇编高考最后冲刺讲义——集合命题与不等式
一、考纲解读：
内容 | 要求 | |||
记忆水平 | 解释性理解水平 | 探究性理解水平 | ||
一、 集 合 与 命 题 | 集合 及其表示 | 知道集合的意义；认识一些特殊集合的记号 | 懂得元素及其与集合的关系符号；初步掌握基本的集合语言 | 会用“列举法”和“描述法”表示集合；掌握用区间表示数集的方法 |
子集 |
| 理解集合之间的包含关系 | 掌握子集的概念； | |
交集、并 集、补集 | 知道有关的基本运算性质 |
| 掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算 | |
命题的 四种形式 | 了解一些基本的逻辑关系及其运用；了解集合与命题之间的联系 | 理解否命题、逆否命题；初步掌握命题的四种形式及其相互关系 |
| |
充分条件、必要条件、充分必要条件 |
| 理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义；能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、充分必要性 |
| |
子集与 推出关系 | 知道子集与推出关系之间的联系 | 理解集合知识与逻辑关系之间的联系 | 能用集合思想、集合语言表述与解决一些简单的实际问题 | |
二、不等式 | 不等式的 基本性质 及其证明 |
| 理解用两个实数差的符号规定两个实数大小的意义；理解不等式的基本性质，并能加以证明 | 会用不等式基本性质判断不等关系；会用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式；掌握比较法、综合法和分析法的基本思路及其表达 |
基本不等式 |
|
| 掌握基本不等式并会用于解决简单的问题 | |
一元二次 不等式（组）的解法 |
| 理解不等式、方程和函数之间的联系；初步会用不等式解决一些简单的实际问题； | 掌握一元二次不等式的解法 | |
分式不等式 的解法 |
| 理解不等式、方程和函数之间的联系；初步会用不等式解决一些简单的实际问题。 | 掌握分式不等式的解法 | |
含有绝对值的不等式的解法 |
| 理解不等式、方程和函数之间的联系；初步会用不等式解决一些简单的实际问题；
| 掌握可化为形如：或的绝对值不等式的解法，其中、、是一次多项式 | |
二、知识梳理：
1、 读懂描述法，关键是看竖线前面的字母或符合
【例1】若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q
【答案】A
【分析】有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
2、 “子集”包含“真子集”“相等”两种情况；空集是任何子集的子集，任何非空集合的真子集。
【例2】已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．
【答案】p≤3．
【分析】由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
3、 通过画数轴或韦恩图求集合的运算
【例3】设，，已知，，求、的值．
【答案】，．
【分析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}．
根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，
∴ =－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．
点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．
4、 原命题与逆否命题同真假。
【例4】判断“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假.
【答案】假
【分析】直接不好判断，写出它的逆否命题，与逆否命题同真假。
5、充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题. 充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若，则是的充分条件；若，则必要条件；若且即，则是的充要条件.
【例5】设有集合，，则点的＿＿＿＿＿＿＿条件是点；点是点的＿＿＿＿＿＿＿条件.
【答案】充分不必要、必要不充分
【分析】：集合M是圆外的所有点的集合，N是直线上方的点的集合.显然有
6、基本不等式，要记住等号成立的条件与的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.
【例6】（2014徐汇、松江、金山二模文4）函数（）的值域为____________．
【答案】
（2014徐汇、松江、金山二模理4）函数（）的值域是____________．
【答案】
【分析】如果基本不等式取不到等号，就利用耐克函数的性质。
7、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.
【例7】解关于的不等式：（）
【答案】（1）当时，不等式的解集为；（2）当时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根，，而，此时不等式的解集为；（3）当时，同样可得不等式的解集为.
【分析】原不等式化为：.注意到此不等式二次项系数含有变量，故要讨论.
8、函数观点看不等式。
【例8】（09静安一模）(理)已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合是_________.
【答案】或
【分析】看成3个函数的交集。
三、2018二模汇编：
四、直击高考：
1、填空题
1.（09上海高考理 2文2 ）已知集合,,且,则实数a的取值范围是_______.
答案：
- （10上海高考理 1文2 ）不等式的解集为_____________.
答案：
- （10上海高考文1 ）已知集合，，则_________.
答案：2
- （11上海高考理2 ）若全集，集合，则 .
答案：
5.（11上海高考文1 ）若全集，集合，则 .
答案：
6.（11上海高考理4）不等式的解为 .
答案：或
- （11上海高考文6）不等式的解为 .
答案：或
8.（12上海高考理2）若集合，，则 .
答案：
9.（12上海高考文2）若集合，，则= .
答案：
10.（14上海高考理5）．若实数满足，则的最小值为 ．
答案：
11.（12上海高考理9）．若，则满足的的取值范围是 ．
答案：
12.（12上海高考理11）．已知互异的复数满足，集合，则 ．
答案：
13.（15上海高考文理2）．设全集．若集合，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以
【考点定位】集合运算
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素之间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合。本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥。
14.（16上海高考文理1）设全集．若集合，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以
【考点定位】集合运算
2、选择题
1.（11上海高考理15文16）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A B C D
答案：
2.（13上海高考理15文16）设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：B
3.（14上海高考理15）．设，则“”是“且”的（ ）
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
答案：
4.（15上海高考理17）记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根
【考点定位】不等式性质
【名师点睛】不等式的基本性质：同向可乘性，可推出，一元二次方程有解的充要性：；一元二次方程有解的充要性：。利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围。解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体之间的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围。
4.（15上海高考理15）下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。
答案：
