山东省潍坊市临朐县2020届高三下学期综合模拟考试数学试题（一）

绝密★启用

高三数学试题（一）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合B＝{x|2x-2＞0}，则集合子集个数是

A．2         B．4          C．8         D．16

2．己知z为复数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则  

A．2         B．        C．1         D．

3. 设是正实数，,则   

A. 是的充分条件但不是必要条件

B. 是的必要条件但不是充分条件

C. 是的充要条件

D. 既不是的充分条件，也不是必要条件

4. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1 -15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为

A.             B.              C.          D.

5. 已知是两个相互垂直的单位向量，且，，则 

A.            B.          C.            D.

6. 在的展开式中，含项的系数为  

A．           B．           C．           D．

7. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为  

A．           B．         C．            D．

8. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为

A．                            B.   

C．                   D.

二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论错误的是  

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B．月跑步平均里程逐月增加

C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 

A.在上的最小值为        B.在上的最小值为

C.在上的最大值为    D.在上的最大值1 

11.实数满足，则下列关于的判断正确的是  

A. 的最大值为           B. 的最小值为

C. 的最大值为           D. 的最小值为

12. 如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是  

A．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为

B．无论点在上怎么移动，都有

C．当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且

D．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．已知，则=________. 

14．已知定义在上的奇函数满足，且时，，则_______.  

15．已知点在抛物线上，则____________；点到抛物线的焦点的距离是____________.       

16．若三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为____________.  

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由.

已知数列为等比数列，数列的首项其前项和为，            ，是否存在，使得对任意恒成立？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18．（12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，且

.

（1）求的值；

（2）若，且的面积，求的值.

19.（12分）

已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足＝，D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2))．

(1)求证：A1D⊥平面BCED；

(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

20.（12分）

“过元宵节，吃元宵”是我国过元宵节的一大习俗.2019年过元宵节前夕，北方一城市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的元宵，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

(1)求所抽取的100包元宵该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)①由直方图可以认为，元宵的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45]内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和均值．

附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；

若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.

21.（12分）

已知椭圆：过点，且离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．

22.（12分）

已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

高三数学试题（一）参考答案

一、单项选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1-5：BCDDA          6-8:  BCA

二、多项选择题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. ABC      10. AD     11.CD      12.BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.     14.       15. 2 , 2  （本题第一空2分，第二空3分.）   16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解：设等比数列的公比为,因为，所以

故                                    ……….........…………3分

①两式相减整理得

所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以………….........…………6分

所以                    ………….........…………8分

由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，

所以不存在，使得对任意恒成立.  …………........……10分

②知数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以                               ………….........…………6分

所以         ………….........…………8分

因为

所以存在，使得对任意恒成立.    …………........……10分

③

                          ………….........…………6分

                        ………….........…………7分

     ………….........…………9分

所以存在，使得对任意恒成立.    …………........……10分

18.解：（1）因为，

所以，                      …………………………2分

则，， …………4分

因此，.              …………………………6分

（2）因为，所以，即，……………………9分

因为，

所以，故，解得.   …………………………12分

19.（12分）(1)证明　由图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.

从而DE＝＝           …………………………2分

故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.

∴A1D⊥DE，BD⊥DE，                     

∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角，               ………………………4分

又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，

∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，

∴A1D⊥平面BCED.                                       …………………6分

(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.

以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，

过P作PH∥DE交BD于点H，

设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，

易知A1(0，0，1)，P(2－a，a，0)，E(0，，0)，所以＝(a－2，－a，1)．

因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0)．………8分

因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin 60°＝＝＝，解得a＝.                          ……………………………………10分

∴PB＝2a＝，满足0≤2a≤3，符合题意．

所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝.12分

20. 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.                                      .....................2分

(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，

∴P(14.55<Z≤38.45)＝P(26.5－11.95<Z≤26.5＋11.95)＝0.682 6，

∴Z落在(14.55,38.45]内的概率是0.682 6.                           .....................4分

②根据题意得X～B，

P(X＝0)＝C4＝；P(X＝1)＝C4＝；

P(X＝2)＝C4＝；P(X＝3)＝C4＝；

P(X＝4)＝C4＝.                                           .....................10分

∴X的分布列为

∴E(X)＝4×＝2.                                             .....................12分

21.解：（1）由题意得，解得，…………2分

所以椭圆的方程为．                      ………………3分

（2）设直线，

由消去，得，

由，解得．

设，则，   ………………6分

由题意，易知与的斜率存在，所以且．

设直线与的斜率分别为，则，，

要证，即证，只需证，……8分

因为，，

所以，

又，，

则

，

  所以，则．                     ………………12分

22.解：（1）由题意得：

……………………………………………………1分

令

①当时，恒成立，则上单调递减…2分

②当轴有两个不同的交点，且，又因为

时，单调递增；

当单调递减.…………3分

③当时，，函数轴有两个不同的交点，且，又因为

时，单调递减，时，

单调递增；时，单调递减.…………………5分

综上所述：当时，上单调递减.

当单调递减；时，单调递减.

当时，时，单调递减，

时，时，单调递减.……6分

（2）由（1）知：有两个极值点为方程的两根，                                ………7分

.

所以

上恒成立.        ……………………………………9分

令  ……………………………10分

令 ……………………………11分

上单调递减，且上恒成立，即上为减函数，

所以

. ………………………………………………………12分