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    2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试(一)数学试题(解析版)
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    2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试(一)数学试题(解析版)

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    2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试(一)数学试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,集合,则集合子集个数是(   

    A2 B4 C8 D16

    【答案】B

    【解析】先求出集合A,集合B,由此求出,从而能求出集合子集个数.

    【详解】

    集合
    集合
    .
    集合子集个数是224.
    故选:B.

    【点睛】

    本题考查交集的子集个数的求法,考查集合的交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

    2.己知z为复数,i为虚数单位,若复数为纯虚数,则   

    A2 B C1 D

    【答案】C

    【解析】,代入计算,利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.

    【详解】

    解:设
    复数为纯虚数,
    .
    .
    故选:C.

    【点睛】

    本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

    3.设pab是正实数,q,则(   

    Apq的充分条件但不是必要条件

    Bpq的必要条件但不是充分条件

    Cpq的充要条件

    Dp既不是q的充分条件,也不是q必要条件

    【答案】D

    【解析】举例并结合充分必要条件的判断得答案.

    【详解】

    解:由ab是正实数,不一定得到,如
    反之,由,不一定得到ab是正实数,如.
    p既不是q的充分条件,也不是q必要条件.
    故选:D.

    【点睛】

    本题考查不等式的性质,考查充分必要条件的判定方法,是基础题.

    4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾,另一直角边为股,斜边为弦,其三边长组成的一组数据称为勾股数,现从11515个数中随机抽取3个整数,则这三个数为勾股数的概率为( 

    A B C D

    【答案】D

    【解析】所有的基本事件个数,利用列举法求出勾股数有4个,由此能求出这三个数为勾股数的概率.

    【详解】

    从这15个数中随机选取3个整数,所有的基本事件个数

    其中,勾股数为:(345),(6810),(91215),(51213),共4个,

    这三个数为勾股数的概率为:

    故选D

    【点睛】

    本题考查古典概型概率的求法,排列组合等基础知识,考查审题能力,属于基础题.

    5.已知是两个相互垂直的单位向量,且,则   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据题意可设,然后根据即可得出,这样即可得出的坐标,从而可求出的值.

    【详解】

    解:,且都是单位向量,
    ,且



    .
    故选:A.

    【点睛】

    本题考查了通过设向量的坐标,利用向量的坐标解决向量问题的方法,单位向量的定义,向量坐标的数量积运算,根据向量的坐标求向量长度的方法,考查了计算能力,属于基础题.

    6.在的展开式中,含项的系数为(   

    A B6 C D24

    【答案】B

    【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出.

    【详解】

    解:通项公式为:
    的通项公式.
    ,则.
    项的系数为.
    故选:B.

    【点睛】

    本题考查了二项式定理的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

    7.双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为( 

    A B C D

    【答案】C

    【解析】先求双曲线的一条渐近线为,再利用直线互相垂直得,代入即可.

    【详解】

    双曲线的一条渐近线为渐近线

    与直线垂直,

    ,即,代入

    故选:C

    【点睛】

    本题考查了双曲线的离心率求法,渐近线方程,属于基础题.

    8.已知奇函数的定义域为,其导函数为,当时,有成立,则关于x的不等式的解集为(   

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】根据题意,设,结合题意求导分析可得函数上为减函数,结合函数的奇偶性分析可得函数为偶函数,进而将不等式转化为,结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得,解可得的取值范围,即可得答案.

    【详解】

    根据题意,设,其导数为
    又由时,有

    则有
    则函数上为减函数,
    又由为定义域为的偶函数,
    ,则函数为偶函数,

    又由为偶函数且在上为减函数,且其定义域为
    则有
    解得:
    即不等式的解集为.
    故选:B.

    【点睛】

    本题考查函数的导数与函数单调性的关系,关键是构造新函数,并分析其单调性.

     

    二、多选题

    9.某文体局为了解跑团每月跑步的平均里程,收集并整理了20191月至201911月期间跑团每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.

    根据折线图,下列结论错误的是(   

    A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

    B.月跑步平均里程逐月增加

    C.月跑步平均里程高峰期大致在89

    D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳

    【答案】ABC

    【解析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.

    【详解】

    解:A.根据中位数的定义可得:月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数,因此A不正确.

    B.月跑步平均里程不是逐月增加,因此B不正确;

    C.月跑步平均里程高峰期大致在10月,因此C不正确.

    D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳,因此D正确.

    故选:ABC.

    【点睛】

    本题考查了折线图的意义、及其统计量,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

    10.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则()

    A上的最小值为

    B上的最小值为-1

    C上的最大值为

    D上的最大值为1

    【答案】AD

    【解析】根据函数图象的平移可得,结合正弦函数的图像和性质可求最值.

    【详解】

    将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数,

    ,

    故选AD.

    【点睛】

    本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质,由定义域求值域,属于中档题.

    11.实数满足,则下列关于的判断正确的是(   

    A的最大值为 B的最小值为

    C的最大值为 D的最小值为

    【答案】CD

    【解析】的值相当于曲线上的点与定点的斜率的最值问题,当过的直线与曲线相切时达到最值,而由题意可得曲线为圆心,半径为1的直线,由圆心到直线的距离等于半径求出直线的最值.

    【详解】

    由题意可得方程为圆心是,半径为1的圆,

    为圆上的点与定点的斜率的值,

    设过点的直线为,即

    圆心到到直线的距离,即,整理可得解得

    所以,即的最大值为,最小值为

    故选:.

    【点睛】

    本题考查了与圆相关的分式型式子的最值,意在考查学生的计算能力和转化能力.

    12.如图,在正方体中,点F是线段上的动点,则下列说法正确的是(   

    A当点F移动至中点时,直线与平面所成角最大且为

    B无论点F上怎么移动,都有

    C当点F移动至中点时,才有相交于一点,记为点E,且

    D无论点F上怎么移动,异面直线所成角都不可能是

    【答案】BD

    【解析】A,当F中点时,可求出最大角的余弦值,进而可判断;
    B,通过,可判断;
    C,设相交于点,则,根据相似比可判断;
    DF中点时,可求出最小角的正切值,进而可判断.

    【详解】

    解:对于A选项,当点F上移动时,直线与平面所成角由小变大再变小,如图所示,其中点O在平面上的投影,为直线与平面所成角,,当F中点时,最小,

    则最大角的余弦值为

    最大角大于60°,即A错误;
    对于B选项,在正方体中,,又,即B正确;
    对于C选项,当点F中点时,也是的中点,共面于平面,且必相交,设交点为E,连接,如图所示,

    因为,所以,即C错误;
    对于D选项,当FB移至时,异面直线CD所成角由大变小再变大,且F中点时,最小角的正切值为,最小角大于30°,即D正确.
    故选:BD.

    【点睛】

    本题考查空间立体几何中的综合问题,涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题,考查学生的空间立体感和推理运算能力,属于中档题.

     

     

    三、填空题

    13.已知,则______.

    【答案】

    【解析】可求得,从而可求得.

    【详解】

    解:

    .
    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查二倍角的余弦,关键在于灵活掌握与应用公式,属于基础题.

    14.已知定义在上的奇函数满足,且

    时,,则的值为______

    【答案】

    【解析】先判断的周期为4,结合是奇函数,可得,从而可得结果.

    【详解】

    因为

    所以的周期为4.

    又因为是奇函数,

    所以

    因为时,

    所以

    ,故答案为-2.

    【点睛】

    函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度;周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;

    15.已知点在抛物线上,则______;点到抛物线的焦点的距离是______.

    【答案】2    2   

    【解析】将点M坐标代入抛物线方程可得p值,然后由抛物线的定义可得答案.

    【详解】

    代入抛物线方程得:

    ,解得:

    抛物线方程为:,准线方程为:

    M到焦点的距离等于点M到准线的距离:

    故答案为2,2

    【点睛】

    本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程,属于简单题.

    16.三棱锥个顶点在半径为的球面上,平面是边长为的正三角形,则点到平面的距离为______

    【答案】

    【解析】由题意,球心在三棱锥各顶点的距离相等,球心到底面的距离等于三棱锥的高PA的一半,求出PA,,然后利用等体积求点到平面的距离

    【详解】

    △ABC是边长为的正三角形,可得外接圆的半径2r2,即r1

    ∵PA⊥平面ABCPAh,球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即

    那么球的半径R,解得h=2,

    ,得 故点到平面的距离为

    故答案为

    【点睛】

    本题考查外接球问题,锥的体积,考查计算求解能力,是基础题

     

    四、解答题

    17.在),)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.已知数列为等比数列,,数列的首项,其前n项和为______,是否存在,使得对任意恒成立?

    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

    【答案】见解析

    【解析】由数列为等比数列可得通过,整理可得,进而可求出数列的通项公式,求出,利用单调性可判断;可得数列为等比数列,求出数列的通项公式,求出,利用单调性可判断;知数列是等差数列,求出数列的通项公式,求出,利用作差法求最大项即可判断..

    【详解】

    设等比数列的公比为q,因为,所以

    所以

    .

    若选择,则,则),两式相减整理得),又

    所以是首项为1,公比为2的等比数列,所以

    所以

    由指数函数的性质知,数列单调递增,没有最大值,

    所以不存在,使得对任意恒成立.

    若选择,则由),,知数列是首项为1,公比为的等比数列,

    所以

    所以

    因为.当且仅当时取得最大值.

    所以存在,使得对任意恒成立.

    若选择,则由)知数列是公差为2的等差数列.

    ,所以.

    所以当时,,当时,.

    所以存在,使得对任意恒成立.

    【点睛】

    本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

    18.在中,角所对的边分别为,且.

    1)求的值;

    2)若,且的面积,求的值.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)由正弦定理边角互化思想得,然后在等式两边同时除以,利用余弦定理可求出的值,利用同角三角函数的基本关系求出的值,从而可求出的值;

    2)由正弦定理边角互化思想得出,然后利用三角形的面积公式可求出的值.

    【详解】

    1)因为,故

    ,故

    因此,

    2)因为,故,即

    的面积为,即,故

    解得.

    【点睛】

    本题考查正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了三角形面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.

    19.已知的各边长为3,点DE分别是上的点,且满足D的三等分点(靠近点A),(如图(1)),将沿折起到的位置,使二面角的平面角为,连接(如图(2)).

    1)求证:平面

    2)在线段上是否存在点P,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.

    【答案】1)见解析;(2)存在,

    【解析】1)等边中,由已知得到,由余弦定理算出DE,从而得到,则.结合题意得为二面角的平面角,又二面角为直二面角,利用面面垂直的性质定理,可证出平面
    2)以D为坐标原点,以射线分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,通过线面角的向量公式列方程求解即可.

    【详解】

    1)证明:由图(1)可得:.

    从而

    故得.

    为二面角的平面角,

    又二面角为直二面角,,即

    平面

    平面

    2)存在,由(1)知平面.

    D为坐标原点,以射线分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图,

    P于点H

    ),则

    易知,所以.

    因为平面,所以平面的一个法向量为

    因为直线与平面所成的角为,所以,解得.

    ,满足,符合题意.

    所以在线段上存在点P,使直线与平面所成的角为,此时.

    【点睛】

    本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识,属于中档题.

    20过大年,吃水饺是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,检测结果如频率分布直方图所示.

    1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);

    2由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布,利用该正态分布,求落在内的概率;

    将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为,求的分布列和数学期望.

    附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为

    ,则

    【答案】126.52①0.6826②见解析

    【解析】试题分析:1)根据频率分布直方图,直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数;(2根据服从正态分布,从而求出根据题意得的可能取值为,根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.

    试题解析:(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为:

    2①∵服从正态分布,且

    落在内的概率是. 

    根据题意得

    .

    的分布列为

    0

    1

    2

    3

    4

     

    21.已知椭圆过点,且离心率

    1)求椭圆的方程;

    2)已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点,点的坐标为,设直线的倾斜角分别为,证明:

    【答案】12)详见解析

    【解析】(1)由题意得到关于a,b的方程组,求解方程组即可确定椭圆方程;

    (2)设出直线方程,与椭圆方程联立,将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题,然后结合韦达定理即可证得题中的结论.

    【详解】

    1)由题意得

    解得

    所以椭圆的方程为

    2)设直线

    消去

    解得

    由题意,易知的斜率存在,所以

    设直线的斜率分别为

    要证,即证

    只需证

    所以

    【点睛】

    解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:

    (1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;

    (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

    22.已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)有两个极值点,不等式恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)见解析;(2)

    【解析】(1)根据的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.

    (2)根据题意,需求的最值,结合(1)可得,于是此式可转化为关于的函数,再利用导数求其最值即可.

    【详解】

    1)由题意得

    .

    时,恒成立,则上单调递减.

    时,,函数轴有两个不同的交点

    所以当时,单调递增;

    时,单调递减.

    时,,函数轴有两个不同的交点

    所以时,单调递减;

    时,单调递增;

    时,单调递减.

    综上所述:当时,上单调递减.

    时,时,单调递增;

    时,单调递减.

    时,时,单调递减;

    时,单调递增;

    时,单调递减.

    2)由(1)知:有两个极值点

    为方程的两根,

    .

    .

    所以.

    所以时恒成立.

    ,则.

    所以上单调递减.

    所以上恒成立,即.所以.

    所以上为减函数.所以.

    所以,即的取值范围是.

    【点睛】

    本题考查导数的综合应用,考查利用导数研究函数的单调性,解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时,导函数若是二次型,一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.

     

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