2020届湖南省永州市祁阳县高三上学期第二次模拟数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知复数满足,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数即可.
详解：由，
得，故选A.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合或，则，故选D.
3．在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先根据的余弦值和正弦值的符号，判断出点所属的象限，再根据三角函数的定义确定出角的大小，得出结果.
【详解】
因为，所以角的终边落在第一象限，
并且根据角的三角函数值的定义，，
结合，得出，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关根据角的终边上一点的坐标确定角的大小的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.
4．等比数列前项和为，已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，，，解得，故选A.
5．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
6．已知是定义在上的偶函数，且在内单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据奇偶性可知，通过对数函数单调性可知，进而根据在上单调递减得到大小关系.
【详解】
为定义在上的偶函数
且在上单调递减
，即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶性将自变量化到同一个单调区间内，进而根据单调性得到函数值的大小关系.
7．设，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，即可得出的大小关系.
【详解】
因为，
，
，
所以，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的性质，应用中介值比较，属于简单题目.
8．如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.
【详解】
由图可知：
=+，=，=﹣，=+，=，
∴=﹣+（+﹣）=﹣+，
故选B．
【点睛】
本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．函数的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得为偶函数，进而分析可得当时，，当时，，当时，，分析选项，从而选出正确的结果.
【详解】
根据题意，函数的定义域，
因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除B项，
当时，，当时，，排除选项，
当时，，所以D项是正确的，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，图象的对称性，函数值的符号，函数图象的变化趋势，属于简单题目.
10．命题p：“，”是假命题，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】“”是假命题，等价于是真命题，由，得：，由得：，故的最大值是，故只需，解得，故选D.
11．将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上单调递增 D．函数的图像关于直线对称
【答案】C
【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解再根据正弦函数的性质进行判断即可．
【详解】
化简得，向右平移后可得，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标长度不变）得到函数，
所以，
由三角函数性质知：的最大值为，故A错；
最小正周期为，故B错；
对称轴为，，给k赋值，x取不到，故D错；
又-，则-，
∴单调增区间为，，
当k=0时，单调增区间为故C正确，
故选C.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题．
12．高斯函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先判断的单调性，再由零点存在定理，得到零点所在范围，然后从内到外求函数值.
【详解】
因为，
所以，
所以在R上是增函数.
而，
所以，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点及取整函数，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．设等差数列的前n项和为，若，则等于___________.
【答案】45
【解析】根据等差数列的性质有，再结合条件，求得，最后由求解.
【详解】
由等差数列的性质得：，
又因为，
所以，
解得，
所以.
故答案为：45
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.
14．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，， ，则 ___________.
【答案】5
【解析】【详解】
，所以，故填：5.
15．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．
【答案】
【解析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.
【详解】
当时， ，解得：
当且时，
，即：
数列是以为首项，为公比的等比数列
，解得：
又 或
满足条件的的取值集合为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果.
16．已知函数，若曲线在点，（，其中互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】【详解】
函数，
曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行，即在点处的值相等，
画出导函数的图象，如图，
当时，，当时，必须满足，，故答案为.
三、解答题
17．已知向量，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】(1);(2).
【解析】（1）首先求的坐标，然后根据模的计算公式求解；（2）首先求的坐标，然后根据向量数量积的坐标表示垂直关系，求解的值.
【详解】
（1）由已知得，所以．
（2）依题意得 ，
又 ，
，即，
解得．
【点睛】
本题重点考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.
18．在锐角中，角所对的边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，,求的值．
【答案】(1) ．(2)
【解析】(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得的值.
(2)先求，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出.
【详解】
(1)∵,
∴，可得，
解得，或.
∵为锐角三角形，∴，∴．
(2)∵，可得.
又,可得.
在中，由余弦定理可知，，
∴.
在中，由正弦定理可知,.
【点睛】
三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
19．已知函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1). (2)
【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，代入即可求得结果；（2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得、与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果.
【详解】
（1）
（2）
当时，
即
又恒成立 ，解得：
实数的取值范围为：
【点睛】
本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果.
20．在等比数列中，公比，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．
【答案】（1）（2）的值为8或9
【解析】（1）根据等比数列的性质化简，，联立即可解出答案
（2）根据写出，求出，写出，再求出其前n项的和，判断即可。
【详解】
（1），
可得，
由，即，①，由，可得，，
可得，即，②
由①②解得舍去），，
则；
（2），
可得，
，
则
，
可得或9时，取最大值18．
则的值为8或9．
【点睛】
本题考查等比数列，等差数列前n项和的最值问题，属于基础题。
21．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析： （1）幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为故将代入验证，为偶函数即可．（2）由（1）得，从而得的解析式，求导得，显然不是方程的根，为使仅在处有极值，必须恒成立，即有，解这个不等式便得的取值范围．
试题解析：（1）在区间上是单调增函数，
即又4分
而时，不是偶函数，时，是偶函数，
． 6分
（2）显然不是方程的根.
为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分
即有，解不等式，得. 11分
这时，是唯一极值．． 12分
【考点】1、基本初等函数及其性质；2、导数的应用；3、不等关系..
22．已知函数.
(1)证明:在区间上存在唯一零点；
(2)令，若时有最大值，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）对求导得到，再对求导，得到，根据的正负，得到的单调性，再由定义域求出的正负，从而得到的单调性，由零点存在定理，进行证明；（2）对求导，得到，令，根据（1）的结论，可得在上有唯一零点，再按和进行分类，分别研究的单调性，从而得到有最大值时对的要求，得到答案.
【详解】
(1)
易知在区间上恒成立，则在单调递减
所以＝0，即f(x)在单调递增，
又，则在区间必存在唯一零点
(2)
所以
令，则
由(1)知:则在单调递增
又，即在上有唯一零点
当时，由得，所以在区间单调递增;在区间单调递减；此时h(x)存在最大值h(0)，满足题意;
当时，由有两个不同零点x=0及，所以h(x)在区间(0，a)单调递减；在区间，单调递增;此时h(x)有极大值h(0)＝2a
由h(x)有最大值，可得;，解得，即
综上所述:当时，h(x)在有最大值
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值和零点问题，属于难题.
