2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题


一、单选题
1．设复数满足，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先利用复数除法的公式化简,再求共轭复数即可.
【详解】
,故的共轭复数为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型.
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据对数不等式的解法求集合,再分析交集并集即可.
【详解】
.故,.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型.
3．执行图中所示程序框图，若输入，则输出结果为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据程序框图逐步运行求解即可.
【详解】
由框图知：输入,,
1. 判定为是, ,.
2. 判定为是, ,
3. 判定为否,输出.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.
4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）

A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变
B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人
C．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）
D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg
【答案】D
【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可.
【详解】
对A,易得们健身后,体重在区间[90kg,100kg）内的人数占比均为,故A正确.
对B,体重在区间[100kg,110kg）内的人数减少了,即人.
故B正确.
对C,因为健身后[80kg,90kg）内的人数占,[90kg,100kg）内的人数占,故中位数位于[90kg,100kg）.故C正确.
对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为,减肥后为依然满足.故D错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型.
5．已知数列是首项为，公比为的等比数列，则等于（ ）
A．8 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【解析】由题可列出的值再累乘计算即可.
【详解】
由题, ,故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.
6．某校高三年级有男生人，编号为，，…，；女生人，编号为，，…，．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这名学生中抽取人进行问卷调查，第一组抽到的号码为，现从这名学生中随机抽取人进行座谈，则这人中既有男生又有女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.
【详解】
由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为.
故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生.
即抽到的10人中,有男生4人,女生6人,
再从这10位学生中随机抽取2人座谈,
基本事件总数,
2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数,
故2人中既有男生又有女生的概率.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型.
7．已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2020
【答案】B
【解析】根据奇偶性与可得函数的周期为4,再根据性质计算即可.
【详解】
因为奇函数满足,即.
故周期为4.故,因为.故原式
.
令,则.
令,则.
又奇函数故.
故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.
8．已知函数的部分图像如图所示，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据图像判断函数的周期,从而确定的值,再代入对应的点求得即可.
【详解】
由图像可知,周期.即,代入可知, .
因为,故或.又由图可得,在最高点的左侧,所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知的范围.属于中等题型.
9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可.
【详解】
由题,作于.

根据题意可知宽为带宽的四分之一即,又水管直径为4 cm.
故.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.
10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知该三棱锥底面是边长为的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.
【详解】
由题意可知该三棱锥底面是边长为的等腰直角三角形,高为2.
故外接球直径为.故外接球表面积.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.
11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
设双曲线的左、右焦点分别为，，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程为，与双曲线联立，
可得，，
设，，
由三角形的面积的等积法可得，
化简可得①
由双曲线的定义可得②
在三角形中，为直线的倾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化简可得，
即为，
可得，则．
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．
12．数列满足,且．记数列的前n项和为,则当取最大值时n为（ ）
A．11 B．12 C．11或13 D．12或13
【答案】C
【解析】分的奇偶讨论数列的奇偶性分别满足的条件,再分析的最大值即可.
【详解】
由题,当为奇数时, ,.
故.
故奇数项为公差为1的等差数列.
同理当为偶数时, .
故偶数项为公差为-3的等差数列.
又即.又.所以.
综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着的增大由正变负.故当取最大值时n为奇数.
故n为奇数且此时有 ,解得.
故或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.


二、填空题
13．曲线过点的切线方程为_________．
【答案】
【解析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可.
【详解】
由题, ,设切点为,则在切点处的切线斜率为,又切线过点,
故.故切点为.
故切线方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.
14．已知为圆的弦，若，则_________．
【答案】
【解析】根据数量积的几何意义求解即可.
【详解】
由题, 作于.则


故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.
15．已知以F为焦点的抛物线C：上的两点A、B满足，则|AB|________．
【答案】
【解析】根据可求得直线的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可.
【详解】
由题,不妨设在第一象限.作分别垂直于准线, 于如图.
设,由,可得：,

由抛物线的定义知,,
∴中, ,,故,所以直线的倾斜角为,斜率为.
∴直线方程为,
与抛物线方程联立消得
所以,
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.
16．已知函数
（1）若,且值域为,则实数a的取值范围为_________．
（2）若存在实数a,使值域为,则实数t的取值范围为_________．
【答案】
【解析】(1)根据题意有画出图像再分析即可.
(2)先分析临界条件,再分析随着t的改变图像的变化情况判断即可.
【详解】
(1)画出图像易得,当时（舍去负值）.故实数a的取值范围为.

(2)用虚线画出的整体图像,再分析随着t的改变图像的变化情况.
由图,当时,（舍去负值）.
由图可知,时, 存在实数满足值域为.

故答案为：(1). (2).
【点睛】
本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型.

三、解答题
17．在中，，点在边上，．
（1）若的面积为，求；
（2）若，，求．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.
(2)根据,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.
【详解】
解：（1）

在中,由余弦定理可得


（2）

,,
,,

在中,由正弦定理可得,
．
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.
18．在如图三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．

（1）求证：平面AEF⊥平面ACD；
（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)证明,进而可得即可证明平面AEF⊥平面ACD
(2) 分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.
【详解】
解：（1）证明：因为,,
所以,因为,所以．
又因为,,
所以,而,
所以,又,
所以．
（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．
连接,在中,,,
,所以,且,,
又因为,,,
所以,．在中,,,所以．
如图,以点为坐标原点,分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系,各点坐标为,,,,

因为,为的中点,所以为的中点,即,
设平面的法向量,
,,
由,即,
整理得,令,得,,则．
因为,所以,
故直线与平面所成交的正弦值为．
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.
19．已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)设,根据题意可求得,再代入椭圆方程即可求解.
(2)根据(1)中的结论, 设直线,并联立与椭圆的方程,求得,,再表达出,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设表达出,利用满足椭圆的方程进行化简,同理可得m的值.
【详解】
解：（1）椭圆过点,∴,①
又因为直线的斜率之积为,故.
又.即,②
联立①②得．
∴所求的椭圆方程为．
（2）方法1：由（1）知,．由题意可设,
令x=m,得．又设
由整理得：．
∵,∴,,
所以,
∴,
要使与k无关,只需,此时恒等于4.
∴
方法2：:设,则,令x=m,得,
∴
由有,
所以,
要使与无关,只须,此时.
∴
【点睛】
本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.
20．某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．
（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；
（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？
（3）①当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；
②当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）．
【答案】（1）（2）（3）①②
【解析】(1)根据二项分布的方法求解即可.
(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为,再根据题意求出对应的数学期望,再根据化简求解即可.
(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为,,由(2)可知
再相加即可.
②根据题意可知,这组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为,再求解数学期望即可.
【详解】
解：（1）如果,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为
检测结果恰有两份次品的概率．
（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为,由已知得,的所有可能取值为
,
=
要减少检验次数,则,则
∴,,即,
（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为,,则由（2）知,
,,

②设这组采用混合检验的检验次数分别为,,,,,,且检验总次数,
,

,
所以检验总次数的数学期望．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.
21．已知函数，．证明：
（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；
（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<2．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.
(2)令,换元将m再构造函数,分析的单调性,结合(1)中的结论求得存在唯一的,使,再根据零点的大小关系即可证明.
【详解】
证明：(1)当x∈（0,1）时,f′(x)＝＞0,函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0,f(1)＝3>0,所以存在唯一x0∈（0,1）,使f(x0)＝0．
(2)当x∈（1,2）时,,
令,x=2-t,x∈（1,2）,t∈（0,1）,
,t∈（0,1）
记函数,t∈（0,1）．
则h′(t)＝．
由(1)得,当t∈(0,x0)时,f(t)<0,h′(t)＞0,
当t∈(x0,1)时,f(t)>0,h′(t)<0．
故在(0,x0)上h(t)是增函数,又h(0)＝0,从而可知当t∈(0,x0]时,h(t)>0,所以h(t)在(0,x0]上无零点．
在(x0,1)上h(t)为减函数,由h(x0)>0,h(1)＝－ln2<0,知存在唯一t1∈(x0,1),使h(t1)＝0,
故存在唯一的t1∈(0,1),使h(t1)＝0．
因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1,2),使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．
因为当t∈(0,1)时,1＋t>0,故与g(2－t)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈（1,2）,使g(x1)＝0．
因为x1＝2－t1,t1>x0,所以x0＋x1<2．
【点睛】
本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的极坐标方程；
（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)消去参数求的直角坐标方程,再根据,代入方程化简即可.
(2) 设直线的极坐标方程为,再根据极坐标的几何意义求解即可.
【详解】
解：（1）直线的直角坐标方程为,
将,代入方程得
,即,
（2）设直线的极坐标方程为,设,
则,
由,有,
当时,的最大值为．
【点睛】
本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记函数，且的最大值为，若，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.
(2)利用绝对值的三角不等式可得,再利用三元基本不等式求证即可.
【详解】
解：（1）由得,解得
不等式的解集为．
（2）
当且仅当时等号成立,
,
．
当且仅当,即时等号成立．
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.