高三第六次模拟考试数学试题

高三百校联合调研测试（一）

数学试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I卷和第II卷，共200分考试用时150分钟.

第I卷（必做题  共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1．已知集合,,则      ．

2．复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为           ．

3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出      人．

4．某算法的伪代码如图所示,若输出y的值为1,则输入的值为       ．

5．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.

6．已知，则________.

7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是，则该三棱柱的侧棱长       ．

8. 在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则不等式x⊙(x－2)＜0的解集是            ．

9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为,又

表示集合的元素个数,,则的概率为   

10．函数的所有零点之和为         ．

11．如图，是半径为1的圆的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则的最大值为          ．

12. 已知数列的首项，其前和为，且满足．若对任意的，恒成立，则的取值范围是          ．

13. 已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是         ．

14．记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是           ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)已知，，其中，函数的最小正周期为.

(1)求的单调递增区间；

(2)在中，角，，的对边分别为，，．且，，求角、、的大小．

16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．

求证：（1）∥平面；

（2）平面⊥平面．

17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间（秒）的变化规律大致可用（为时间参数，的单位：）来描述，其中地面可作为轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为轴。

（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

  （3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．

19. (本小题满分16分)已知数列满足下列条件：①首项；

②当时，；③当时，

（I）当，求首项之值；

（II）当时，求；

（III）试证：正整数3必为数列中的某一项；

20. (本小题满分16分) 已知函数()，其图像在处的切线方程为．函数，．

(Ⅰ)求实数、的值；

（Ⅱ）以函数图像上一点为圆心，2为半径作圆，若圆上存在两个不同的点到原点的距离为1，求的取值范围；

（Ⅲ）求最大的正整数，对于任意的，存在实数、满足，使得．

第Ⅱ卷（附加题  共40分）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．选修4—1　几何证明选讲

如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.求AM的长；

解析：连接，则，因为四边形是平行四边形，所以∥，因为是⊙O的切线，所以，可得，又因为是的中点，所以，得，故.                   

B．选修4—2　矩阵与变换

已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成，求矩阵M。

解析：设矩阵，则由条件得，从而，

又，从而，联立，解之得,

故

C．选修4—4　参数方程与极坐标

已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．

设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.

解析：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为(0,1)，半径

直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).

从而,所以.即的最大值为。

D．选修4—5　不等式证明选讲

已知，且，求的最小值．

解析：, ,

,  

，  当且仅当，或时   

  的最小值是1.    

22．(本小题满分10分)如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

(Ⅰ)求二面角的的余弦值；

（Ⅱ）求点到面的距离.

(Ⅰ)∵∴．

在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得，

即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得，平面的法向量取为

设与所成的角为，则．

显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．

………………5分

（Ⅱ），，，，．

设平面的一个法向量，则，

取，得，则点到平面的距离．

………………10分

23．(本小题满分10分)已知二项式的展开式中第2项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列．

(Ⅰ)求及的值．

(Ⅱ)数列中，，，，求证： 能被4整除．

数学试卷一参考答案及评分标准：

1．答案：,解析：，所以.

2．答案：4  解析：因原式=，故，

3．答案：25   解析：从频率分布直方图可知，

月收入从1000至4000的人数依次是

1000、2000、2500、2500、1500、500，从而所求人数是。

4．答案：-1或2014

解析：根据题意可知，当时，由得

当时，由得，综上所述，输入的值为-1或2014。

5．答案： ，解析：由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为。

6．答案：    解析：由条件得，从而

7．答案： 解析该三棱柱外接球的表面积是，

该球的半径R=2,又正三棱柱底面边长是2，

底面三角形的外接圆半径，

该三棱柱的侧棱长是.

8．答案：     解析：由定义可知，原不等式可化为，解之得。

9．答案：   解析：由知,函数和的图像有四个交点,所以的最小值, ,所以的取值是.又因为的取值可能是种,故概率是。

10．答案：8

解析：设，则，原函数可化为，其

中，因，故是奇函数，观察函数与 在

的图象可知，共有4个不同的交点，故在时有8个不同的交点，其横坐

标之和为0，即，从而

11．答案： 解析：由图可知，，

从而，记，

则

故当时，的最大值为。

12．答案：

解析：由条件得，

两式相减得，故，两式再相减得，

由得， ，从而；

得，，从而，

由条件得，解之得

13．答案：

解析：法一：数形结合法：设，由题意可得，即

，解之得．

法二：设点，，则由条件得A点坐标为，

，从而，

整理得，

化归为，

从而，

于是由得。

14．答案：

解析：显然，又，

①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而

②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而

综上所述，的取值范围是。

15．解：(1)，，

故，                                                  ………………3分

，由，

得：.

所以的单调递增区间为．         ………………6分

 (2)因为，所以．

因为，所以．所以．      ………………9分

因为，，所以.             ………………12分

因为，所以，，.                 ………………14分

16．证明：⑴在中，因为分别是的中点，

所以∥，              ………………3分

又⊂平面，平面，

所以∥平面；      ………………6分

⑵ 因为，且点是的中点，所以⊥；  ………………9分

又，∥，所以，               ………………12分

因为⊂平面，⊂平面，，⊂平面，

所以平面⊥平面.                           ………………14分

17．解析：（1）当时，，     ………………3分

因时，，故，从而当，即当时，有最小值5，所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是；……7分

（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：，（）

问题转化为在，的条件下，求的最大值。…………10分

法一：，由和及得：                           ………………13分

法二：∵，，

=

∴当，即，，由可解得：。                                           ………………13分

答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。                                               ………………14分

18.：（1）依题意，得，，

；故椭圆的方程为 ．  ………………3分

（2）点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以．     （*）  

由已知，则，，

．     ………………7分

由于，故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．  

故圆的方程为：                    ………………9分

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得，                     ………………11分

同理：， 

故      （**）            ………………13分

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：

  ．

所以为定值．             ………………16分

解析：（1）依题意，得，，

；故椭圆的方程为 ．  ………………3分

（2）点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以．     （*）  

由已知，则，，

．     ………………7分

由于，故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．  

故圆的方程为：                    ………………9分

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得，                     ………………11分

同理：， 

故      （**）            ………………13分

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：

  ．

所以为定值．             ………………16分

解析：（I）当时，则，此时，若，则；若，则或8，综上所述，之值为6或8或27。                       ………………4分

（II）当时，，，

，，

以下出现周期为3的数列，从而；        ………8分

（III）由条件知：若，则，；

若，则，

；                                    

若，则，

；                             ………………13分

综上所述，，从而，

故当时，必有，因，故，

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）

若,则；若,则,若,则,

综上所述，正整数3必为数列中的某一项。              ………………16分

19.解析：（I）当时，则，此时，若，则；若，则或8，综上所述，之值为6或8或27。                       ………………4分

（II）当时，，，

，，

以下出现周期为3的数列，从而；        ………8分

（III）由条件知：若，则，；

若，则，

；                                    

若，则，

；                             ………………13分

综上所述，，从而，

故当时，必有，因，故，

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）

若,则；若,则,若,则,

综上所述，正整数3必为数列中的某一项。              ………………16分

20．解: (Ⅰ) 当时，，，故，解得．…………3分

（Ⅱ）问题即为圆与以为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交．设，则，即，，，必定有解；                                      ………………6分

，，

故有解，须，又，从而．   ………………8分

（Ⅲ）显然在区间上为减函数，于是，若，则对任意，有．

当时，，令，

则．令，则，故在上为增函数，又，，因此存在唯一正实数，使．故当时，，为减函数；当时，，为增函数，因此在有最小值，又，化简得，．                                               ………………13分

下面证明：当时，对，有．

当时，．令，

则，故在上为减函数，于是．

同时，当时，．

当时，；当时，．

结合函数的图像可知，对任意的正数，存在实数、满足，使得．

综上所述，正整数的最大值为3．                     ………………16分

21. A．选修4—1　几何证明选讲

解析：连接，则，因为四边形是平行四边形，所以∥，因为是⊙O的切线，所以，可得，又因为是的中点，所以，得，故.                   

B．选修4—2　矩阵与变换

解析：设矩阵，则由条件得，从而，

又，从而，联立，解之得,

故

C．选修4—4　参数方程与极坐标

解析：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为(0,1)，半径

直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).

从而,所以.即的最大值为。

D．选修4—5　不等式证明选讲

解析：, ,

,  

，  当且仅当，或时   

  的最小值是1.    

22．(Ⅰ)∵∴．

在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得，

即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得，平面的法向量取为

设与所成的角为，则．

显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．

………………5分

（Ⅱ），，，，．

设平面的一个法向量，则，

取，得，则点到平面的距离．

………………10分

23．解：(Ⅰ) ，                 ………………2分

故，，．                         ………………4分

(Ⅱ)证明：①当时，，，能被4整除．

②假设当n=k时， 能被4整除，即，其中p是非负整数．

那么当n =k+1时，

==

=显然是非负整数，

能被4整除．

由①、②可知，命题对一切都成立．              ………………10分