2020届湖南省永州市祁阳县高三上学期第二次模拟数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．己知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求出集合的范围，然后即可求解.
【详解】
由题知，
因为，
所以，又因为，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，属于基础题.
2．若复数，则=（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】∵，∴=，故选A
3．下列命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B。
【考点】特称命题与存在命题的真假判断。
4．已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A． B． C．8 D．27
【答案】A
【解析】根据等比数列的性质求出，，然后再利用等比数列的性质求出.
【详解】
由题知数列为正数的等比数列，
所以，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题.
5．若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【解析】利用函数的周期性和奇函数的性质，找出，与，的关系，即可求出的值.
【详解】
由题知是上周期为的奇函数，
所以有，
，
故.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质，函数的周期性，属于基础题.
6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据角的终边所在直线可求得；将化为关于正余弦的齐次式的形式，分子分母同时除以即可构造出关于的方程，代入求得结果.
【详解】
终边在上
本题正确选项：
【点睛】
本题考查任意角三角函数的定义、正余弦齐次式的求解，涉及到二倍角的正弦公式、同角三角函数关系的应用等知识.
7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据余弦函数的单调递减区间与周期性求解的值即可.
【详解】
函数在时单调递减，
解得，
根据题中条件又有函数在上单调递减，
所以，解得，
又因为函数在上单调递减，
所以，又因为题中已知，
所以可求得，故有.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦型函数的单调区间，余弦型函数的周期，属于基础题.
8．中，点D在上，平分，若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根据平分，用，表示出，然后再根据点D在上，求出.
【详解】
由题知平分，
所以，
又因为点D在上，
所以，
故.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的向量表示，平面向量基本定理，属于基础题.
9．数列的首项为1，为等差数列且，若则，，则（ ）
A．24 B．25 C．36 D．38
【答案】B
【解析】首先求出题中等差数列，然后再利用结合累加法求出.
【详解】
由题知，为等差数列且，，
有，，
即是首项，公差的等差数列，
设等差数列的前项和为，
有，
因为，
有
，
即.
故选：B.
【点睛】
本题考查了等差数列的前项和公式，累加法，属于一般题.
10．已知，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先化简，，为同底，然后根据对数恒等式对，，化简后即可排序.
【详解】
由题知，
，
，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了对数恒等式的使用，属于基础题.
11．设函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】首先对实数进行分类讨论，利用求出实数a的取值范围.
【详解】
由题知函数，
当时，，，
因为，
所以，
当时，，，
因为，
所以，
综上.
故选：D.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性求参数取值范围，属于基础题.
12．已知函数，若对任意恒成立，则整数k的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】首先对分离参数，对新得到的函数求导，求出函数的最值，然后根据恒成立条件求出参数的最大值.
【详解】
由题知对任意恒成立，
设函数，
有，
当时，，，
所以，函数在区间单调递减，
当时，，，
所以，函数在区间单调递增，
故当时，，，
所以，函数在处取极小值也是最小值，
即恒成立，因为，
所以整数k的最大值是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，恒成立问题与函数最值问题的转化，属于一般题.
二、填空题
13．________.
【答案】
【解析】由于，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值.
【详解】
易知.故.
【点睛】
本小题主要考查利用微积分基本定理求定积分的值.只需求得原函数，代入计算公式即可计算出定积分的值.属于基础题.
14．曲线 在点 处的切线方程为________________．
【答案】
【解析】求函数导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
【详解】
函数的导数为，
则函数在点处的切线斜率，
则函数在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
15．已知平面向量，，，已知，，，且，则的最大值是________.
【答案】
【解析】不妨设，然后求出，的坐标，再根据求出的最大值.
【详解】
设，因为，所以，
因为，所以，
有，因为，
所以，
，
易知当时取最大值，
最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，二次函数的最值问题，属于基础题.
三、解答题
16．已知函数，若存在实数t，使值域为，则实数a的取值范围为____________.
【答案】
【解析】首先求出参数的取值范围，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可求出实数a的取值范围.
【详解】
由题知，
因为在区间单调递增，
所以其值域为，
因为存在实数t，使值域为，
所以，故，
当时，有，
故此时的值域必须为，
有，
故，存在实数t，使值域为，
当时，有，
故此时对的最大值能否取到无要求，仅需保证，
故，存在实数t，使值域为，
当时，有，不满足题意舍去，
综上所述，当，存在实数t，使值域为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了含有参数的分段函数的值域问题，属于一般题.
17．已知命题；命题.
（1）若命题p是命题q的充分条件，求m的取值范围；
（2）当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）根据命题p是命题q的充分条件，即p集合包含于q集合，然后根据集合的关系求解即可;
（2）根据是假命题，是真命题，分别求出满足条件的x的取值范围，然后取交集即可.
【详解】
（1）由题知命题p是命题q的充分条件，
即p集合包含于q集合，
有；
（2）当时，有命题，命题，
因为是假命题，即，
因为是真命题，即，
综上，满足条件的x的取值范围为或
【点睛】
本题考查了命题与集合的关系，根据命题真假求参数范围，属于基础题.
18．如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取的中点,可证得四点共面，再证平面，从而证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求解出平面的法向量，则通过线面角的向量求法求得结果.
【详解】
（1）证明：取的中点,连接
是等边三角形
是等腰直角三角形且
平面平面，平面平面，平面
平面
平面 四点共面
,, 平面
平面
（2）作,垂足为,则
是等边三角形，
在中,.
是等腰直角三角形，
如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系
则,,,
,,
设平面的法向量为
由, 得
令,得
是平面的一个法向量
设直线与平面所成角为
则
直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查空间中的垂直关系证明、空间向量法解决直线与平面所成角问题.证明空间中的线线垂直，通常采用先证明线面垂直的方式，利用性质得到线线垂直.
19．已知向量，，函数.
（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；
（2）已知角，，所对应的边分别为，，，A为锐角，，且是函数在上的最小值，求.
【答案】（1），增区间是；（2）或.
【解析】（1）首先利用数量积的坐标运算求出函数的表达式，然后利用辅助角公式化简为正弦型函数，即可求出单调增区间与最小正周期；
（2）首先利用求出边，然后利用余弦定理求出边，最后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
（1），
∴，令，
得，
所以单调递增区间是；
（2）解：，
因为，则当时有最小值为，
由余弦定理知，解得或，
则，解得或.
【点睛】
本题主要考查了辅助角公式，正弦型函数的性质，余弦定理，属于基础题.
20．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据累加法求出数列的通项公式；
（2）利用分组求和与错位相减法求出数列的前n项和.
【详解】
（1）由已知，当时，
，
而，所以数列的通项公式为；
（2）由，
知，
令——①，
——②，
由①-②得，
整理得，
又因为，
所以.
【点睛】
本题主要考查了通过累加法求数列通项公式，错位相减法求数列前项和，属于一般题.
21．已知函数是定义在R的奇函数，其中a是常数.
（1）求常数a的值；
（2）设关于x的函数有两个不等的零点，求实数b的取值范围；
（3）求函数在上的值域.
【答案】（1）；（2）或；（3）当时的值域是，当时的值域是.
【解析】（1）利用R上的奇函数的性质求出参数；
（2）首先把函数的零点问题转化为方程根的问题，利用函数的性质求出等式关系求解即可；
（3）利用变量代换把函数转化为二次函数求值域问题，然后根据参数分类讨论即可求出函数值域.
【详解】
（1）已知函数是定义在R的奇函数，
，解得，
，，
符合题意，故；
（2）由，
因为是奇函数，所以有，
又因为，故在R上单调递增，
由，得，
即，
令，得方程有两解，
有，求得或；
（3），，
令，则，
当时，时，有最小值，的值域是，
当时，时，有最小值2，的值域是.
【点睛】
本题考查较为全面，综合考查了函数的奇偶性，单调性，函数零点与方程根的关系，含参数的二次函数值域问题，属于中档题.
22．（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；
（2）证明：当时，函数有最小值，设的最小值为，求函数的值域.
【答案】（1）在和上单调递增，证明见解析；（2）证明见解析，.
【解析】（1）对函数求导后分析导函数的正负，即可求出函数的单调递增区间，然后利用函数单调性证明当时，；
（2）首先对函数求导，再根据有极小值求出极小值，然后对极小值求导，求出函数的值域.
【详解】
（1）证明：，，
∵当时，，
∴在区间和上单调递增，
∴时，，
∴；
（2）
，令，
因为在上单调递增，
且的值域是，，
根据题中条件有恒有唯一的零点，
即零点，有，
又因为在上单调递增，
有当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以在处取极小值也是最小值，
，
记，在时，，
∴单调递增，∴.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数函数单调区间，利用导数研究函数的极小值问题，属于难题.
