还剩10页未读，
继续阅读
2020届全国高考提分教程检测仿真模拟卷三 理科数学（解析版）
展开
2020届全国高考提分教程检测仿真模拟卷三
仿真模拟卷三
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为( )
A．1 B．5 C．6 D．无数个
答案 C
解析 由题得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A中元素的个数为6.
2．已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若z(1＋i)＝，则的虚部为( )
A. B．－ C.i D．－i
答案 A
解析 由题意可得z＝＝＝－＝－i－，则＝－＋i，据此可得的虚部为.
3．“0
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方程＋＝1表示椭圆，即⇒0
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
答案 C
解析 取a＝2，b＝1，满足a>b，但ln (a－b)＝0，则A错误；由9＝32>31＝3，知B错误；取a＝1，b＝－2，满足a>b，但|1|<|－2|，则D错误；因为幂函数y＝x3是增函数，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正确．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )
A．30 B．31 C．62 D．63
答案 B
解析 由流程图可知该算法的功能为计算S＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S＝1＋21＋22＋23＋24＝＝31.
6.8的展开式的常数项为( )
A．－56 B．－28 C．56 D．28
答案 D
解析 8展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·(－1)r·
x ，令8－r＝0，得r＝6，∴所求常数项为C·(－1)6＝28.
7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若·＝1，则λ的值为( )
A．3 B．2 C. D.
答案 B
解析 由题意可得·＝(＋)·(＋)＝·＝2＋2＋·，且2＝2＝4，·＝2×2×cos120°＝－2，故＋＋×(－2)＝1，解得λ＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，则角A＝( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，
∴sinAcosC＋sinCcosA＝－bcosA，
∴sin(A＋C)＝sinB＝－bcosA，
∴asinB＝－bcosA，由正弦定理可得sinAsinB＝－sinBcosA，∵sinB>0，∴sinA＝－cosA，即tanA＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.
9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是( )
答案 D
解析 因为函数f(x)＝，f(－x)＝＝≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A，B；又因为f(3)＝，f(4)＝，所以f(3)>f(4)，而C在x>0时是递增的，故排除C.
10．已知5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
答案 D
解析 令x＝1，得展开式的各项系数和为5＝1＋a，∴1＋a＝2，∴a＝1，∴5＝5＝5＋5，所求展开式中常数项为5的展开式的常数项与含x项的系数和，5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)rr＝(－1)r25－r·Cx5－2r，令5－2r＝1得r＝2；令5－2r＝0，无整数解，∴展开式中常数项为8C＝80.
11．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
答案 A
解析 满足条件的正三角形ABC如图所示．
设边长为2，其中正三角形ABC的面积S△ABC＝×4＝.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于1的概率P＝1－，故选A.
12．若存在m，使得关于x的方程x＋a(2x＋2m－4ex)·[ln (x＋m)－ln x]＝0成立，其中e为自然对数的底数，则非零实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(－∞，0)∪ D.
答案 C
解析 由题意得－＝ln ＝(t－2e)ln t，
令f(t)＝(t－2e)ln t(t＞0)，则f′(t)＝ln t＋1－，
令h(t)＝f′(t)，则h′(t)＝＋＞0，∴h(t)为增函数，即f′(t)为增函数．
当t＞e时，f′(t)＞f′(e)＝0，当0＜t＜e时，f′(t)＜f′(e)＝0，
∴f(t)≥f(e)＝－e，且当t→0时，f(t)→＋∞，
∴－≥－e，解得a＜0或a≥，故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件则z＝的最小值是________．
答案 －2
解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，
联立
解得A(2,2)，
z＝的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率．
∵kPA＝＝－2，∴z＝的最小值是－2.
14．已知三棱锥P－ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________．
答案 12π
解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大．此时PA，PB，PC可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR2＝12π.
15．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
答案 ＋1
解析 设点M的坐标是(x，y)，∵C(0，－2)，且||＝1，∴＝1，x2＋(y＋2)2＝1，则点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
∵A(0,1)，B(1,0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)，
则|＋＋|＝，其几何意义表示圆x2＋(y＋2)2＝1上的点与点P(－1，－1)间的距离．
又点P(－1，－1)在圆C的外部，
∴|＋＋|max＝||＋1
＝ ＋1＝＋1.
16．函数y＝f(x)的定义域为D，若∀x∈D，∃a∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒成立，则称函数y＝f(x)具有性质P，现有如下函数：
①f(x)＝ex－1；②f(x)＝2cos2－1(x≤0)；
③f(x)＝
则具有性质P的函数f(x)为________．(填序号)
答案 ①②
解析 ①设φ(x)＝ex－1－x(x∈R)，则φ′(x)＝ex－1－1.
当x>1时，φ′(x)>0；当x<1时，φ′(x)<0.
∴φ(x)min＝φ(1)＝0，所以ex－1－x≥0，ex－1≥x，
故∃a＝1，使f(x)≥ax在R上恒成立，①中函数f(x)具有性质P；
②易知f(x)＝2cos2－1＝sin2x(x≤0)．
令φ(x)＝f(x)－2x＝sin2x－2x(x≤0)，
则φ′(x)＝2cos2x－2.
∴φ′(x)≤0，∴φ(x)在(－∞，0]上是减函数，
∴φ(x)min＝φ(0)＝0，故f(x)≥2x恒成立．
∴∃a＝2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒成立，
②中函数f(x)具有性质P；
③作函数y＝f(x)与直线y＝ax的图象，显然当y＝ax过点O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)时，斜率a＝1.
根据图象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒成立．
因此③中函数f(x)不具有性质P.
综上可知，具有性质P的函数为①②.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知锐角△ABC面积为S，角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A，C的平分线相交于点O，b＝2且S＝(a2＋c2－b2)，
求：(1)角B的大小；
(2)△AOC周长的最大值．
解 (1)∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsinB＝(a2＋c2－b2)，
故acsinB＝×2accosB⇒tanB＝⇒B＝.
(2)设△AOC的周长为l，∠OAC＝α，则α∈，
∵OA，OC分别是角A，C的平分线，B＝，
∴∠AOC＝.
由正弦定理，得＝＝，
∴l＝4sinα＋4sin＋2
＝4sin＋2，
∵α∈，∴α＋∈，
当α＝时，△AOC周长的最大值为4＋2.
18．(本小题满分12分)某商场营销人员在进行某商品M的市场营销调查时发现，每返还消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：
返还点数t
1
2
3
4
5
销量(百件)/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程＝ t＋，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；
(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预
期值区间
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13]
频数
20
60
60
30
20
10
①求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；
②将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：(ⅰ)＝，＝－；
(ⅱ)tiyi＝18.8.
解 (1)易知＝＝3，
＝＝1.04，
t＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
＝＝＝0.32，
＝－＝1.04－0.32×3＝0.08.
则y关于t的线性回归方程为＝0.32t＋0.08，当t＝6时，＝2.00，即返还6个点时该商品每天的销量约为2百件．
(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的平均值及中位数的估计值分别为＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，
中位数的估计值为
5＋2×＝5＋≈5.7.
②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×＝4，“欲望膨胀型”消费者人数为6×＝2.
所以X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，AA1⊥A1C，AC⊥BC，AC＝4，BC＝2.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC；
(2)求二面角B－A1B1－C的余弦值．
解 (1)证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，且BC⊥AC.
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥AA1，又∵AA1⊥A1C，∴AA1⊥平面A1BC
∵AA1⊂平面ABB1A1，
∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(2)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，
∴∠A1AC＝60°.
又∵AA1⊥A1C，AC＝4，∴A1A＝2，
如图建立空间直角坐标系，
则A1(3,0，)，C(0,0,0)，B(0，2,0)，A(4，0,0)
由＝，得B1(－1,2，)，
设平面BA1B1，平面CA1B1的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则＝(3，－2，)，＝(－1,0，)，＝(3,0，)，＝(－1,2，)．
由知可取n1＝(3,6，)，
由知可取n2＝(－1，－2，)，
cosθ＝＝，
所以二面角B－A1B1－C的余弦值为.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率e＝，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，|AF|＝1，直线m：x＝－4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l过点F与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线m交于M，N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
解 (1)由题意，得解得
∵a2＝b2＋c2，
∴b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)当直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PA：y＝(x＋2)．
令x＝－4，得M，
同理N.
则以MN为直径的圆的方程为(x＋4)(x＋4)＋＝0，
整理得，(x＋4)2＋y2＋2ky＋4k2·＝0，①
由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.②
将②代入①，整理得，x2＋y2＋8x－y＋7＝0.
令y＝0，得x＝－1或x＝－7.
当直线l斜率不存在时，P，Q，M(－4，－3)，N(－4,3)，
以MN为直径的圆为(x＋4)2＋y2＝9也过点(－1,0)，(－7,0)两点．
综上，以MN为直径的圆能过两定点(－1,0)，(－7,0)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－ax－b，g(x)＝ax2＋bx.
(1)当a＝2，b＝－3时，求函数f(x)在x＝e处的切线方程，并求函数f(x)的最大值；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：g>1.
解 (1)当a＝2，b＝－3时，f(x)＝－x＋3(x>0)，
f′(x)＝，
则f′(e)＝－1，切点为，
故函数f(x)在x＝e处的切线方程为x＋y－－3＝0.
令h(x)＝1－ln x－x2，则h(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)是减函数，
又h(1)＝0，∴x∈(0,1)，h(x)>0，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，h(x)<0，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝2.
(2)证明：∵x1，x2是f(x)的两个零点，不妨设x1
即－ax1－b＝0，－ax2－b＝0，
∴ln x1－ax－bx1＝0，ln x2－ax－bx2＝0，
相减得ln x1－ln x2－a(x－x)－b(x1－x2)＝0⇒－a(x1＋x2)－b＝0⇒－
a(x1＋x2)2－b(x1＋x2)＝0⇒－a2－b＝0.
∴＝g⇒g＝＝，
令t＝，即证01，
>1⇔ln t<⇔ln t－<0，
令m(t)＝ln t－，t∈(0,1)，
m′(t)＝－＝>0，
∴m(t)＝ln t－在(0,1)上是增函数，
又∵m(1)＝0，∴t∈(0,1)时，m(t)<0，命题得证．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ>0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈，当＝4时，求α的值．
解 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρsin＝.
曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
(2)由(1)知，|OA|＝ρA＝，
|OB|＝ρB＝4cosα，
∴＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝
2＋2sin，
∵＝4，∴2＋2sin＝4，
sin＝，
由0<α<，知<2α＋<，即2α＋＝，
∴α＝.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋2|－|2x－1|.
(1)求f(x)>－5的解集；
(2)若关于x的不等式|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)＝|x＋2|－|2x－1|
＝
故f(x)>－5的解集为(－2,8)．
(2)由|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，得≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
即－≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
令＝t，则|t＋2|－|2t－1|≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤，
又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|，
∴|1＋m|≤，∴实数m的取值范围是.
仿真模拟卷三
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为( )
A．1 B．5 C．6 D．无数个
答案 C
解析 由题得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A中元素的个数为6.
2．已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若z(1＋i)＝，则的虚部为( )
A. B．－ C.i D．－i
答案 A
解析 由题意可得z＝＝＝－＝－i－，则＝－＋i，据此可得的虚部为.
3．“0
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方程＋＝1表示椭圆，即⇒0
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
答案 C
解析 取a＝2，b＝1，满足a>b，但ln (a－b)＝0，则A错误；由9＝32>31＝3，知B错误；取a＝1，b＝－2，满足a>b，但|1|<|－2|，则D错误；因为幂函数y＝x3是增函数，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正确．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )
A．30 B．31 C．62 D．63
答案 B
解析 由流程图可知该算法的功能为计算S＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S＝1＋21＋22＋23＋24＝＝31.
6.8的展开式的常数项为( )
A．－56 B．－28 C．56 D．28
答案 D
解析 8展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·(－1)r·
x ，令8－r＝0，得r＝6，∴所求常数项为C·(－1)6＝28.
7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若·＝1，则λ的值为( )
A．3 B．2 C. D.
答案 B
解析 由题意可得·＝(＋)·(＋)＝·＝2＋2＋·，且2＝2＝4，·＝2×2×cos120°＝－2，故＋＋×(－2)＝1，解得λ＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，则角A＝( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，
∴sinAcosC＋sinCcosA＝－bcosA，
∴sin(A＋C)＝sinB＝－bcosA，
∴asinB＝－bcosA，由正弦定理可得sinAsinB＝－sinBcosA，∵sinB>0，∴sinA＝－cosA，即tanA＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.
9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是( )
答案 D
解析 因为函数f(x)＝，f(－x)＝＝≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A，B；又因为f(3)＝，f(4)＝，所以f(3)>f(4)，而C在x>0时是递增的，故排除C.
10．已知5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
答案 D
解析 令x＝1，得展开式的各项系数和为5＝1＋a，∴1＋a＝2，∴a＝1，∴5＝5＝5＋5，所求展开式中常数项为5的展开式的常数项与含x项的系数和，5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)rr＝(－1)r25－r·Cx5－2r，令5－2r＝1得r＝2；令5－2r＝0，无整数解，∴展开式中常数项为8C＝80.
11．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
答案 A
解析 满足条件的正三角形ABC如图所示．
设边长为2，其中正三角形ABC的面积S△ABC＝×4＝.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于1的概率P＝1－，故选A.
12．若存在m，使得关于x的方程x＋a(2x＋2m－4ex)·[ln (x＋m)－ln x]＝0成立，其中e为自然对数的底数，则非零实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(－∞，0)∪ D.
答案 C
解析 由题意得－＝ln ＝(t－2e)ln t，
令f(t)＝(t－2e)ln t(t＞0)，则f′(t)＝ln t＋1－，
令h(t)＝f′(t)，则h′(t)＝＋＞0，∴h(t)为增函数，即f′(t)为增函数．
当t＞e时，f′(t)＞f′(e)＝0，当0＜t＜e时，f′(t)＜f′(e)＝0，
∴f(t)≥f(e)＝－e，且当t→0时，f(t)→＋∞，
∴－≥－e，解得a＜0或a≥，故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件则z＝的最小值是________．
答案 －2
解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，
联立
解得A(2,2)，
z＝的几何意义为可行域内的点与定点P(3,0)的连线的斜率．
∵kPA＝＝－2，∴z＝的最小值是－2.
14．已知三棱锥P－ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________．
答案 12π
解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大．此时PA，PB，PC可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR2＝12π.
15．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
答案 ＋1
解析 设点M的坐标是(x，y)，∵C(0，－2)，且||＝1，∴＝1，x2＋(y＋2)2＝1，则点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
∵A(0,1)，B(1,0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)，
则|＋＋|＝，其几何意义表示圆x2＋(y＋2)2＝1上的点与点P(－1，－1)间的距离．
又点P(－1，－1)在圆C的外部，
∴|＋＋|max＝||＋1
＝ ＋1＝＋1.
16．函数y＝f(x)的定义域为D，若∀x∈D，∃a∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒成立，则称函数y＝f(x)具有性质P，现有如下函数：
①f(x)＝ex－1；②f(x)＝2cos2－1(x≤0)；
③f(x)＝
则具有性质P的函数f(x)为________．(填序号)
答案 ①②
解析 ①设φ(x)＝ex－1－x(x∈R)，则φ′(x)＝ex－1－1.
当x>1时，φ′(x)>0；当x<1时，φ′(x)<0.
∴φ(x)min＝φ(1)＝0，所以ex－1－x≥0，ex－1≥x，
故∃a＝1，使f(x)≥ax在R上恒成立，①中函数f(x)具有性质P；
②易知f(x)＝2cos2－1＝sin2x(x≤0)．
令φ(x)＝f(x)－2x＝sin2x－2x(x≤0)，
则φ′(x)＝2cos2x－2.
∴φ′(x)≤0，∴φ(x)在(－∞，0]上是减函数，
∴φ(x)min＝φ(0)＝0，故f(x)≥2x恒成立．
∴∃a＝2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒成立，
②中函数f(x)具有性质P；
③作函数y＝f(x)与直线y＝ax的图象，显然当y＝ax过点O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)时，斜率a＝1.
根据图象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒成立．
因此③中函数f(x)不具有性质P.
综上可知，具有性质P的函数为①②.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知锐角△ABC面积为S，角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A，C的平分线相交于点O，b＝2且S＝(a2＋c2－b2)，
求：(1)角B的大小；
(2)△AOC周长的最大值．
解 (1)∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsinB＝(a2＋c2－b2)，
故acsinB＝×2accosB⇒tanB＝⇒B＝.
(2)设△AOC的周长为l，∠OAC＝α，则α∈，
∵OA，OC分别是角A，C的平分线，B＝，
∴∠AOC＝.
由正弦定理，得＝＝，
∴l＝4sinα＋4sin＋2
＝4sin＋2，
∵α∈，∴α＋∈，
当α＝时，△AOC周长的最大值为4＋2.
18．(本小题满分12分)某商场营销人员在进行某商品M的市场营销调查时发现，每返还消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：
返还点数t
1
2
3
4
5
销量(百件)/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程＝ t＋，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；
(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预
期值区间
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13]
频数
20
60
60
30
20
10
①求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；
②将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：(ⅰ)＝，＝－；
(ⅱ)tiyi＝18.8.
解 (1)易知＝＝3，
＝＝1.04，
t＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
＝＝＝0.32，
＝－＝1.04－0.32×3＝0.08.
则y关于t的线性回归方程为＝0.32t＋0.08，当t＝6时，＝2.00，即返还6个点时该商品每天的销量约为2百件．
(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X的平均值及中位数的估计值分别为＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，
中位数的估计值为
5＋2×＝5＋≈5.7.
②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×＝4，“欲望膨胀型”消费者人数为6×＝2.
所以X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，AA1⊥A1C，AC⊥BC，AC＝4，BC＝2.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC；
(2)求二面角B－A1B1－C的余弦值．
解 (1)证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，且BC⊥AC.
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥AA1，又∵AA1⊥A1C，∴AA1⊥平面A1BC
∵AA1⊂平面ABB1A1，
∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(2)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，
∴∠A1AC＝60°.
又∵AA1⊥A1C，AC＝4，∴A1A＝2，
如图建立空间直角坐标系，
则A1(3,0，)，C(0,0,0)，B(0，2,0)，A(4，0,0)
由＝，得B1(－1,2，)，
设平面BA1B1，平面CA1B1的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则＝(3，－2，)，＝(－1,0，)，＝(3,0，)，＝(－1,2，)．
由知可取n1＝(3,6，)，
由知可取n2＝(－1，－2，)，
cosθ＝＝，
所以二面角B－A1B1－C的余弦值为.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率e＝，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，|AF|＝1，直线m：x＝－4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l过点F与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线m交于M，N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
解 (1)由题意，得解得
∵a2＝b2＋c2，
∴b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)当直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PA：y＝(x＋2)．
令x＝－4，得M，
同理N.
则以MN为直径的圆的方程为(x＋4)(x＋4)＋＝0，
整理得，(x＋4)2＋y2＋2ky＋4k2·＝0，①
由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.②
将②代入①，整理得，x2＋y2＋8x－y＋7＝0.
令y＝0，得x＝－1或x＝－7.
当直线l斜率不存在时，P，Q，M(－4，－3)，N(－4,3)，
以MN为直径的圆为(x＋4)2＋y2＝9也过点(－1,0)，(－7,0)两点．
综上，以MN为直径的圆能过两定点(－1,0)，(－7,0)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－ax－b，g(x)＝ax2＋bx.
(1)当a＝2，b＝－3时，求函数f(x)在x＝e处的切线方程，并求函数f(x)的最大值；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：g>1.
解 (1)当a＝2，b＝－3时，f(x)＝－x＋3(x>0)，
f′(x)＝，
则f′(e)＝－1，切点为，
故函数f(x)在x＝e处的切线方程为x＋y－－3＝0.
令h(x)＝1－ln x－x2，则h(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)是减函数，
又h(1)＝0，∴x∈(0,1)，h(x)>0，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，h(x)<0，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝2.
(2)证明：∵x1，x2是f(x)的两个零点，不妨设x1
即－ax1－b＝0，－ax2－b＝0，
∴ln x1－ax－bx1＝0，ln x2－ax－bx2＝0，
相减得ln x1－ln x2－a(x－x)－b(x1－x2)＝0⇒－a(x1＋x2)－b＝0⇒－
a(x1＋x2)2－b(x1＋x2)＝0⇒－a2－b＝0.
∴＝g⇒g＝＝，
令t＝，即证0
>1⇔ln t<⇔ln t－<0，
令m(t)＝ln t－，t∈(0,1)，
m′(t)＝－＝>0，
∴m(t)＝ln t－在(0,1)上是增函数，
又∵m(1)＝0，∴t∈(0,1)时，m(t)<0，命题得证．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ>0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈，当＝4时，求α的值．
解 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρsin＝.
曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
(2)由(1)知，|OA|＝ρA＝，
|OB|＝ρB＝4cosα，
∴＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝
2＋2sin，
∵＝4，∴2＋2sin＝4，
sin＝，
由0<α<，知<2α＋<，即2α＋＝，
∴α＝.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋2|－|2x－1|.
(1)求f(x)>－5的解集；
(2)若关于x的不等式|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)＝|x＋2|－|2x－1|
＝
故f(x)>－5的解集为(－2,8)．
(2)由|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，得≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
即－≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
令＝t，则|t＋2|－|2t－1|≥|x＋1|＋|x－m|能成立，
由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤，
又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|，
∴|1＋m|≤，∴实数m的取值范围是.
相关资料
更多
