2020届全国高考分层特训卷仿真模拟专练 (八)理科数学(解析版)
展开一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B=( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(-1,3) D.(1,3)
答案:C
解析:因为A={x|-1
A.2 B.2
C. D.
答案:B
解析:复数z满足zi=2i+x(x∈R),可得z==2-xi.由z的虚部为2,可得x=-2,则z=2+2i.∴|z|=2,故选B.
3.[2019·安徽合肥第一次教学质量检测]已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),由于f(x)在[0,+∞)上单调递增,因此若a>|b|≥0,则f(a)>f(|b|),即f(a)>f(b),所以a>|b|是f(a)>f(b)的充分条件;若f(a)>f(b),则f(|a|)>f(|b|),可得|a|>|b|≥0,由于a,b的正负不能判断,因此无法得到a>|b|,则a>|b|不是f(a)>f(b)的必要条件,所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件,故选A.
4.[2019·湖南益阳模拟]已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为( )
A.(-,)∪(2,+∞) B.(-,+∞)
C.(2,+∞) D.(-,2)
答案:A
解析:∵函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,
∴a+2=0,得a=-2,∴f(x)=-2x2+4,
∴不等式(x-2)f(x)<0可转化为或
即或
解得-
综上,原不等式的解集为(-,)∪(2,+∞).故选A.
5.[2019·湖南师大附中月考]如图,在平面直角坐标系xOy中,角α(0<α<)和角β的终边分别交单位圆于A,B两点,若点B的纵坐标为-,且满足S△OAB=,则sin的值为( )
A. B.
C.- D.-
答案:A
解析:由图知∠xOA=α,∠xOB=β,且sin β=-.
由S△OAB=知∠AOB=,即α-β=,即α=β+,
故sin=sin=cos β==.故选A.
6.[2018·全国卷 Ⅲ]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
答案:B
解析:由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布,即X~B(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,所以p=0.4或0.6.
又因为P(X=4)<P(X=6),
所以C10p4(1-p)6<C10p6(1-p)4,所以p>0.5,所以p=0.6.故选B.
7.[2019·黑龙江哈师大附中联考]已知数列{an}中,a1=且an+1=(an+n+2),则an=( )
A.+n B.
C.+n D.+n-1
答案:A
解析:∵an+1=(an+n+2),∴an+1-(n+1)=(an-n),∴{an-n}是公比为的等比数列,又a1=,∴a1-1=,∴an-n=,∴an=+n,故选A.
8.[2019·湖北宜昌两校第一次联考]若tan=,则cos 2α+sin 2α=( )
A.- B.-
C. D.
答案:C
解析:因为tan=,所以tan α===,于是cos 2α+sin 2α====.故选C.
9.[2019·湖北荆荆襄宜四地七校联考]已知函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪[0,1) B.(-3,0)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
答案:C
解析:因为f(a)<1,所以或得-3 10.[2019·湖南师大附中模拟]已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:根据条件作出可行域如图所示的阴影部分,
根据图形易知k=在A(-1,3)处取得最小值-3,
且k<-1,故-3≤k<-1,则-1<≤-,
故0<≤.故选B.
11.[2019·江西红色七校联考]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面相邻两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,若记此数列为{an},则a2 017a2 019-a等于( )
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
答案:A
解析:a1a3-a=1×2-12=1,a2a4-a=1×3-22=-1,a3a5-a=2×5-32=1,a4a6-a=3×8-52=-1,…,由此可知anan+2-a=(-1)n+1,
所以a2 017a2 019-a=(-1)2 017+1=1.故选A.
12.[2019·山东潍坊期中]已知函数f(x)=(a>0),若存在实数b使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(1,2 019) D.[1,+∞)
答案:B
解析:由题意知f(x)在(-∞,a]上为增函数,在(a,+∞)上也是增函数.当a3>a2时,f(x)在R上不是增函数,故必定存在b,使得直线y=b与f(x)的图象有两个交点,即g(x)=f(x)-b有两个零点,此时a>1.故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上.)
13.[2019·北京人大附中期中]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=(n+1)an,则an=________.
答案:n
解析:∵2Sn=(n+1)an,∴n≥2时,2Sn-1=n·an-1,两式相减得,2an=(n+1)an-nan-1,∴(n-1)an=nan-1,即=(n≥2),又a1=1,∴an=××…××a1=××…××1=n.
14.[2019·江西临川一中等学校联考]在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为________.
答案:
解析:∵3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,∴9+24(sin Acos B+cos Asin B)+16=37,即24sin(A+B)=12,∴sin C=.∵0
15.[2019·重庆一中月考]设非零向量a,b,c满足a+b+c=0,且|b|=|a|,向量a,b的夹角为135°,则向量a,c的夹角为________.
答案:90°
解析:通解 ∵a+b+c=0,∴a+b=-c,∴a2+b·a=-a·c.∵|a|=|b|且a,b的夹角为135°,∴a·b=-|a|2,∴a·c=0,∴a,c的夹角为90°.
优解一 如图,建立平面直角坐标系,设|a|=|b|=2,则a=(2,0),b=(-,),∵a+b+c=0,∴c=(0,-2),∴a·c=0,∴a,c的夹角为90°.
优解二 如图,∵|a|=|b|且a,b的夹角为135°,∴(a+b)·a=0,∴(a+b)⊥a,又a+b=-c,∴a,c的夹角为90°.
16.[2019·四川成都树德中学月考]e1,e2分别是具有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的率心率,P是两曲线的一个公共点,O是F1F2的中点,且|PO|=|F2O|,则=________.
答案:
解析:方法一 设点P在第一象限内,椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为a1,|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,则m+n=2a,m-n=2a1,所以m=a+a1,n=a-a1.
由平行四边形的性质可得,(2|PO|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2),
所以(2c)2=(a+a1)2+(a-a1)2,即2c2=a2+a,
所以+=2,所以=2,故=.
方法二 易知|PO|=|F2O|=|F1O|=c,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,所以∠F1PF2=90°.于是由椭圆、双曲线焦点三角形面积公式可得,(a2-c2)tan 45°=,所以2c2=a2+a,所以+=2,所以=2,故=.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)[2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月调研卷]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知b=sin B,且满足tan A+tan C=.
(1)求角C和边c的大小;
(2)求△ABC面积的最大值.
解析:(1)∵tan A+tan C=,∴+=,
即=,∴=,
∵A+C=π-B,∴=,∴=2sin B,
∵0 ∵0
∴c=sin=.综上可知,C=,c=.
(2)由(1)知C=,c=,由余弦定理得=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab(当且仅当a=b时取等号),
即ab≤.
∴△ABC的面积S=absin C=ab≤.
∴△ABC面积的最大值为.
18.(12分)[2019·广东省广州市毕业班3月综合测试卷]如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP.
(1)证明:平面ACD⊥平面BDP;
(2)若BD=,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.
解析:(1)证明:因为△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,
所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD,
因为点P是AC的中点,所以PD⊥AC,PB⊥AC,
因为PD∩PB=P,PD⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,
所以AC⊥平面PBD.
因为AC⊂平面ACD.
所以平面ACD⊥平面BDP.
(2)解法一 作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.
因为Rt△ABD≌Rt△CBD,
所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.
由二面角A-BD-C为120°,得∠AEC=120°.
在等腰△AEC中,由余弦定理可得AC=AE,
因为△ABC是等边三角形,所以AC=AB,
所以AB=AE,
在Rt△ABD中,有AE·BD=AB·AD,得BD=AD,
因为BD=,所以AD=.
又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.
则AE=,ED=.
由上述可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD,
过点A作AO⊥CE,垂足为O,则AO⊥平面BCD.
连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角,
在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=AE=1,
sin∠ADO==.
所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.
解法二 作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.
因为Rt△ABD≌Rt△CBD,所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,
由二面角A-BD-C为120°,得∠AEC=120°.
在等腰△AEC中,由余弦定理可得AC=AE,
因为△ABC是等边三角形,所以AC=AB,
所以AB=AE.
在Rt△ABD中,有AE·BD=AB·AD,得BD=AD.
因为BD=,所以AD=.
又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.
则AE=,ED=.
如图所示,以E为原点,分别以,的方向为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系E-xyz,
则D,A,=,
平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),
设直线AD与平面BCD所成角为θ,
则cos〈m,〉===-,
sin θ=|cos〈m,〉|=.
所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.
19.(12分)[2019·长春市高三质量监测卷]某研究机构随机调查了A,B两个企业各100名员工,得到了A企业员工收入(单位:元)的频数分布表以及B企业员工收入(单位:元)的统计图:
A企业:
收入
人数
[2 000,3 000)
5
[3 000,4 000)
10
[4 000,5 000)
20
[5 000,6 000)
42
[6 000,7 000)
18
[7 000,8 000)
3
[8 000,9 000)
1
[9 000,10 000]
1
B企业:
(1)若将频率视为概率,现从B企业中随机抽取一名员工,求该员工收入不低于5 000元的概率;
(2)①若从A企业收入在[2 000,5 000)的员工中,按分层抽样的方式抽取7人,而后在此7人中随机抽取2人,求这2人收入在[3 000,4 000)的人数X的分布列;
②若你是一名即将就业的大学生,根据上述调查结果,并结合统计学相关知识,你会选择去哪个企业就业?并说明理由.
解析:(1)根据饼状图知收入超过5 000元的有68人,故概率为=0.68.
(2)①A企业收入在[2 000,5 000)的三个不同层次的人数比为124,所以按照分层抽样抽取的7人中,收入在[3 000,4 000)的人数为2.
X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
X的分布列为
X
0
1
2
P
②A企业的员工月平均收入为
(2 500×5+3 500×10+4 500×20+5 500×42+6 500×18+7 500×3+8 500×1+9 500×1)=5 260(元).
B企业的员工月平均收入为
(2 500×2+3 500×7+4 500×23+5 500×50+6 500×16+7 500×2)=5 270(元).
参考答案1 选企业B,B企业员工的月平均收入高.
参考答案2 选企业A,A企业员工的月平均收入只比B企业的低10元,且A企业有高收入的团体,说明发展空间较大,获得8 000元以上的高收入是有可能的.
参考答案3 选企业B,B企业员工月平均收入不仅高,且低收入人数少.
20.(12分)[2019·河北六校联考]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=c,圆O:x2+y2=r2(r>0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为.
(1)求圆O与椭圆E的方程;
(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.
解析:(1)因为b=c,所以a=2c.
因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=a2.
设P(x0,y0),则-b≤y0≤b,所以S△PMN=r·|y0|=a|y0|,
当|y0|=b时,(S△PMN)max=ab=,
所以c=1,b=,a=2.
所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为+=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1.
则可取A,B,|AB|=3.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
因为直线l与圆O相切,所以=1,即m2=1+k2.
联立得消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)=48(3k2+2)>0,x1+x2=-,x1x2=.
|AB|=·
=4··
=
=
=·.
令t=,则0
综上,|AB|的取值范围是.
21.(12分)[2019·新疆高三第一次适应性考试]已知函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex.
(1)若x=2是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;
(2)设a<0,当x∈[1,2]时,f(x)≤e2,求实数a的取值范围.
解析:(1)由f(x)=(x2+ax-2a-3)ex可得
f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex
=[x2+(2+a)x-a-3]ex
=(x+a+3)(x-1)ex.
∵x=2是函数f(x)的一个极值点,
∴f′(2)=0,
∴(a+5)e2=0,解得a=-5,
代入f′(x)=(x+a+3)(x-1)ex=(x-2)(x-1)ex,
当1
可知x=2是函数f(x)的一个极值点.
∴a=-5.
(2)∵x∈[1,2]时,f(x)≤e2,
∴x∈[1,2]时,f(x)max≤e2成立.
由(1)知f′(x)=(x+a+3)(x-1)ex,
令f′(x)=0,解得x1=-a-3,x2=1.
①当a≤-5时,-a-3≥2,
∴f(x)在x∈[1,2]上单调递减,
f(x)max=f(1)=(-a-2)e≤e2,
a≥-e-2与a≤-5矛盾,舍去;
②当-5 f(x)在x∈(1,-a-3)上单调递减,在x∈(-a-3,2)上单调递增,
∴f(x)max在f(1)或f(2)处取到f(1)=(-a-2)e,
f(2)=e2,
∴只要f(1)=(-a-2)e≤e2,
解得-e-2≤a<-4;
③当-4≤a<0时,-a-3≤1,
∴f(x)在x∈[1,2]上单调递增,
f(x)max=f(2)=e2符合题意.
综上所述,a的取值范围是a∈[-e-2,0).
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分.)
22.(10分)[2019·安徽省合肥市高三教学质量检测][选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)求曲线C1,C2交点的直角坐标;
(2)设点A的极坐标为,点B是曲线C2上的点,求△AOB面积的最大值.
解析:(1)由题意得,C1:x2+y2=1,又C2:ρ=2cos θ,
则ρ2=2ρcos θ,∴x2+y2=2x.
联立解得
∴所求交点的直角坐标为,.
(2)设B的极坐标为(ρ,θ),则ρ=2cos θ,
∴△AOB的面积S=|OA||OB|sin∠AOB
==
=≤2+,
∴△AOB面积的最大值为2+.
23.(10分)[2019·湖北武汉市高三毕业生4月调研卷][选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=3时,求不等式f(x)≥7的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[0,2],求a的取值范围.
解析:(1)当a=3时,f(x)=
当x≤-3时,由f(x)≥7得-2x-1≥7,解得x≤-4;
当-3
所以f(x)≥7的解集为(-∞,-4]∪[3,+∞).
(2)f(x)≤|x-4|等价于|x+a|≤|x-4|-|x-2|.当x∈[0,2]时,|x+a|≤|x-4|-|x-2|等价于-2-a≤x≤2-a,由条件得-2-a≤0且2-a≥2,即-2≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-2,0].