2020届全国高考分层特训卷仿真模拟专练 （七）理科数学（解析版）

2020届全国高考分层特训卷仿真模拟专练 （七）理科数学（解析版）
　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·武汉市高中毕业生调研]已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|lg(x－1)≤0}，则A∩B＝(　　)
A．(0，2) B．(1，2)
C．(1，2] D．(0，2]
答案：B
解析：通解　因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0 优解　因为1∉B，所以排除A，D；又2∉A，所以排除C.故选B.
2．[2019·湖北三市联考]复数z＝，则其共轭复数的虚部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：B
解析：因为z＝，所以z＝＝1＋i，则其共轭复数＝1－i的虚部为－1.故选B.
3．[2019·安徽芜湖两校联考]已知命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.则下列命题为假命题的是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．q D．綈p
答案：B
解析：取x＝，y＝，则sin x>sin y，但x 4．[2019·辽宁模拟]若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案：B
解析：由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝|2x－4|.因为y＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B.
5．[2019·广东江门二中月考]已知正项数列{an}是公比为q的等比数列，若a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　)
A．－ B．1
C．－或1 D.或1
答案：B
解析：由题意知2a3＝a1＋a2，则2a1q2＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.因为数列{an}是正项数列，所以q＝1.故选B.
6．[2019·东北师大附中模拟]连接正八边形的三个顶点而形成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有(　　)
A．40个 B．30个
C．20个 D．10个
答案：A
解析：分为两类：第一类，有一条公共边，三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边，三角形共有8个．由分类加法计数原理知，与正八边形有公共边的三角形共有32＋8＝40(个)．故选A.

7．[2019·湖北荆、荆、襄、宜四地七校联考]斗拱是中国古代建筑中特有的一种结构，集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗，合称斗拱．如图是散斗的三视图，则它的体积为(　　)
A. B.
C．53 D.
答案：B
解析：由所给三视图可知该几何体下半部分是一个棱台，且该棱台上底面是边长为3的正方形，下底面是边长为4的正方形，高为1，上半部分为一个棱柱截去中间一个小棱柱所得的组合体．
散斗的下半部分的体积为V1＝×1×(3×3＋4×4＋)＝，
上半部分的体积为V2＝1.5×4×4－1×2×4＝16，
所以所求的体积为V＝＋16＝.故选B.
8．[2019·辽宁瓦房店三中月考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则角B等于(　　)
A．60°或120° B．30°或150°
C．60° D．120°
答案：A
解析：解法一　由a＝1，b＝，A＝30°及正弦定理得sin B＝＝.
∵0 解法二　由a＝1，b＝，A＝30°及正弦定理得sin B＝＝.
∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或120°，故选A.
9．[2019·福建龙岩质检]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(－2，0)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由已知得c＝2，＝，并结合a2＋b2＝c2，解得a＝，b＝1，故双曲线方程为－y2＝1，故选A.
10．[2019·南昌市重点高中高三年级第一次模拟]执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(　　)

A．log26 B．log27
C．3 D．2log23
答案：C
解析：执行程序框图：i＝2，S＝log23＝；i＝3，S＝log23·log34＝·＝；i＝4，S＝；i＝5，S＝；i＝6，S＝；i＝7，S＝＝3，结束循环．输出S＝3，故选C.
11．[2019·天津部分区质量调查]已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：假设a
12．[2019·湖北武汉武昌区调研]已知正三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为(　　)
A．10π B．25π
C．100π D．125π
答案：B

解析：如图，设O1为正三棱锥S－ABC的底面中心，
连接SO1，则SO1是三棱锥的高，三棱锥的外接球的球心O在SO1上，
设球的半径为R，连接AO1，AO，
因为正三角形ABC的边长为2，所以AO1＝2××＝2，
因为SA＝2，所以在Rt△ASO1中，SO1＝ ＝4，
在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，
解得R＝，所以球O的表面积为4π×2＝25π，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·湖北鄂州四校第二次联考]已知cos＝3sin，则tan＝________.
答案：2－4
解析：由题意，得－sin α＝－3sin，
即sin＝3sin，
所以sincos－cos·sin
＝3sincos＋3cossin，
整理得tan＝－2tan＝－2tan
＝－2×＝2－4.
14．[2019·陕西西安二中测试]已知向量a在b方向上的投影为－1，向量b在a方向上的投影为－，且|b|＝1，则|a－b|＝________.
答案：
解析：设向量a和b所成的角为θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ＝－.
∵|b|＝1，∴cos θ＝－，|a|＝2，∴|a－b|2＝7，
∴|a－b|＝.
15．[2018·浙江卷]若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
答案：－2　8

解析：由

画出可行域如图．
由解得A(4，－2)，
由解得B(2，2)，
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2，2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
16．[2019·北京师大附中月考]过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，则l的方程为________．
答案：x＝－4或5x＋12y＋20＝0
解析：将圆的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，则圆心的坐标为(－1，2)，半径等于5，设圆心到直线的距离为d，
则8＝2，得d＝3.
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝－4，满足条件．
当直线l的斜率存在时，设斜率等于k，直线l的方程为y－0＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k＝0，
由圆心到直线的距离d＝＝3，
解得k＝－，则直线l的方程为y＝－(x＋4)，即5x＋12y＋20＝0.
综上，满足条件的直线l的方程为x＝－4或5x＋12y＋20＝0.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·山西临汾三模]已知函数f(x)＝cos22x＋sin 2xcos 2x＋1
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
解析：f(x)＝cos22x＋sin 2xcos 2x＋1
＝＋sin 4x＋1
＝sin＋.
(1)f(x)的最小正周期T＝＝.
(2)当x∈时，
则4x＋∈
那么sin∈
当4x＋＝时，函数f(x)取得最小值为1，此时x＝；
当4x＋＝时，函数f(x)取得最大值为，此时x＝.
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为，最小值为1.

18．(12分)[2019·安徽省合肥市质量检测]如图，三棱台ABC－EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF.
(1)求证：AB⊥CG；
(2)若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．
解析：(1)证明：取BC的中点D，连接DF.
由ABC－EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，
从而BC∥FG.
因为CB＝2GF，所以CD∥GF，且CD＝GF，
所以四边形CDFG为平行四边形，所以CG∥DF.
因为BF＝CF，D为BC的中点，
所以DF⊥BC，所以CG⊥BC.
因为平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，
所以CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，所以CG⊥AB.
(2)连接AD.
由△ABC是正三角形，且D为BC的中点得，AD⊥BC.
由(1)知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，
所以DF⊥AD，DF⊥BC，
所以DB，DF，DA两两垂直．
以DB ，DF，DA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

设BC＝2，则A(0，0，)，E，B(1，0，0)，G(－1，，0)，
所以＝，＝(－2，，0)，＝
设平面BEG的法向量为n＝(x，y，z)．
由可得
令x＝，则y＝2，z＝－1，所以n＝(，2，－1)．
设AE与平面BEG所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
故直线AE与平面BEG所成角的正弦值为.
19．(12分)[2019·山东济南外国语学校月考]抛物线E：x2＝2py(0
(1)求抛物线方程；
(2)若y0>，过P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求△PMN面积的最小值，并求出此时P点坐标．
解析：(1)由题意知F，C(0，1)，∵0 ∴|FC|＝1－，
∵|PF|＝p，∴y0＋＝p，
∴y0＝2p，∴|x0|＝2p，
∴S△PFC＝×2p＝，∴p＝1，
∴抛物线方程为x2＝2y.
(2)由题意知两条切线的斜率存在，所以设过点P且与圆C相切的直线的方程为y－y0＝k(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0－kx0，
∴切线与y轴的交点坐标为(0，y0－kx0)．
而圆心到切线的距离d＝＝1，
整理得(x－1)k2＋2x0(1－y0)k＋y－2y0＝0.
∵y0>，∴x>1.
设两条切线的斜率分别为k1，k2，
则k1＋k2＝，k1k2＝.
S△PMN＝|(y0－k1x0)－(y0－k2x0)||x0|＝|k1－k2|x.
∵|k1－k2|2＝(k1＋k2)2－4k1k2＝－＝，
∴|k1－k2|＝，
∴S△PMN＝.
令2y0－1＝t(t>0)，则y0＝，
f(t)＝＝＝＋＋1，
而＋＋1≥2＋1＝2，
当且仅当＝，即t＝1时，“＝”成立．
此时，P(±，1)，
∴S△PMN的最小值为2，此时P(±，1)．
20．(12分)[2019·湖北武汉调研测试]已知函数f(x)＝ex＋1－aln(ax)＋a(a>0)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋1－ln x＋1，
则f′(x)＝ex＋1－，
∴切线的斜率k＝f′(1)＝e2－1，
又f(1)＝e2＋1，
∴切线方程为y－f(1)＝f′(1)·(x－1)，
即y－(e2＋1)＝(e2－1)(x－1)，
整理得(e2－1)x－y＋2＝0.
(2)由f(x)＝ex＋1－aln(ax)＋a＝ex＋1－aln x－aln a＋a(a>0，x>0)，
得f′(x)＝ex＋1－＝，
令g(x)＝xex＋1－a，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(0)＝－a<0，g(a)＝aea＋1－a>0，
∴存在x0∈(0，a)，使得g(x0)＝0，
即x0ex0＋1＝a，ln a＝ln x0＋x0＋1.
∴0 x00，f(x)单调递增，
∴f(x)在x＝x0处取得最小值，为f(x0)＝ex0＋1－aln x0－aln a＋a，
即f(x0)＝－aln x0－aln a＋a
＝a
＝a
＝a.
由f(x)>0恒成立，知f(x0)>0，
即a>0，∴－x0－2ln x0>0.
令h(x)＝－x－2ln x，则h′(x)＝－－1－＝－<0，h(x)单调递减，
又当x→0时，h(x)→＋∞，h(1)＝0，
∴由h(x)>0得0 又易知a＝x0ex0＋1在(0，1)上单调递增，
∴0 ∴实数a的取值范围为(0，e2)．
21．(12分)[2019·安徽合肥调研]统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较．环比是指本期统计数据与上期统计数据比较，如2017年7月份与2017年6月份相比，同比一般指本期统计数据与上一年同期统计数据比较，如2017年7月份与2016年7月份相比(环比增长率＝×100%，同比增长率＝×100%)．
某地区近17个月的消费者信心指数的统计表如下：


序号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
时间
2017年1月
2017年2月
2017年3月
2017年4月
2017年5月
2017年6月
2017年7月
2017年8月
2017年9月
消费者信心指数y
107.2
108.6
108.4
109.2
112.6
111
113.4
112
113.3
序号x
10
11
12
13
14
15
16
17

时间
2017年10月
2017年11月
2017年12月
2018年1月
2018年2月
2018年3月
2018年4月
2018年5月

消费者信心指数y
114.6
114.7
118.6
123.9
121.3
122.6
122.3
124

(1)(ⅰ)求该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)；
(ⅱ)除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？
(2)由以上数据可以判断，序号x与该地区消费者信心指数y具有线性相关关系，写出y关于x的线性回归方程＝x＋(，保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月份的消费者信心指数(结果保留1位小数)．
参考数据：iyi≈18 069，＝1 785，＝9，≈115.
参考公式：＝＝，＝－.
解析：(1)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为×100%≈10%.
(ⅱ)由题意知环比增长率为负数，即本期数<上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的月环比增长率为负数．
(2)由已知计算得＝≈≈1.16，
＝－≈115－1.16×9＝104.56，
所以线性回归方程为＝1.16x＋104.56，
当x＝18时，≈125.4，
即预测该地区2018年6月份的消费者信心指数为125.4.
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·东北三省四市教研联合体二模][选修4－4：坐标系与参数方程]
已知平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，曲线C1上的点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值．
解析：(1)曲线C1：x2＋y2－4x＝0，
l：x＋2y－3＝0.
(2)易知点P的直角坐标为(2，2)，
Q(2cos α，sin α)，则M，
M到l的距离d＝＝，
当a＋＝＋kπ，即α＝＋kπ(k∈Z)时，M到l的距离d的最大值为.
23．(10分)[2019·湖北荆州质检][选修4－5：不等式选讲]
已知f(x)＝2|x＋1|－|2x－a|，其中a>0.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)是否存在常数a，使不等式|f(x)|<8的解集恰为(－1，3)？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)当a＝2时，f(x)＝
当x≤－1时，f(x)＝－4≥0不成立；
当－1 当x≥1时，f(x)＝4≥0恒成立．
综上可知，原不等式的解集为{x|x≥0}．
(2)f(x)＝
不等式|f(x)|<8可化为－8 由于其解集恰为(－1，3)，故－a－2≤－8，且a＋2≥8，所以a≥6.
令－8<4x－a＋2<8，
得 所以a＝6，故存在符合题意的a，a＝6.