2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）

这是一份2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科），共24页。

2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　
A．， B．， C．，0， D．，1，
2．（5分）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为　　
A． B． C．4 D．1
3．（5分）根据如表数据，得到的回归方程为，则　　

4
5
6
7
8

5
4
3
2
1
A．2 B．1 C．0 D．
4．（5分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）函数的图象在原点处的切线方程为　　
A． B． C． D．不存在
6．（5分）若如图所示的程序框图输出的是126，则条件①可以为　　

A． B． C． D．
7．（5分）已知向量，的夹角为，且，，则　　
A． B．2 C． D．84
8．（5分）如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则　　
A．3 B．6 C．12 D．24
9．（5分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰△，则这个多面体最长一条棱长为　　

A． B． C． D．
10．（5分）已知数列的通项公式，要使此数列的前项和最大，则的值为　　
A．12 B．13 C．12或13 D．14
11．（5分）如图，为正方体，下面结论错误的是　　

A．平面
B．
C．平面
D．异面直线与所成的角为
12．（5分）已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是　　
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，则（1）　 　．
14．（5分）若函数的图象上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为　 　．
15．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为　 　．
16．（5分）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：
①当时，曲线是一个圆；
②当时，曲线的离心率为；
③当时，曲线的渐近线方程为；
④当，，时，曲线的焦点坐标分别为和．
其中全部正确结论的序号为　 　．
三、解答题：本大题共70分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）在数列和等比数列中，，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，．
求证：面面；
（Ⅱ）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积．

19．（12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
逻辑思维能力
运动协调能力
一般
良好
优秀
一般
2
2
1
良好
4

1
优秀
1
3

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．
20．（12分）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在区间，上恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）直线为参数）与曲线交于，两点，与轴交于，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

2019年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　
A．， B．， C．，0， D．，1，
【分析】化简集合，再求即可．
【解答】解：集合，，0，1，，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
2．（5分）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为　　
A． B． C．4 D．1
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：复数是纯虚数，
，解得．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）根据如表数据，得到的回归方程为，则　　

4
5
6
7
8

5
4
3
2
1
A．2 B．1 C．0 D．
【分析】由题意可得样本中心点，代入回归直线可得值，即可得答案．
【解答】解：由题意可得，，
回归方程为且回归直线过点，
，解得，
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．
4．（5分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【分析】以线段为直径的圆与直线相切，可得原点到直线的距离，化简即可得出．
【解答】解：以线段为直径的圆与直线相切，
原点到直线的距离，化为：．
椭圆的离心率．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）函数的图象在原点处的切线方程为　　
A． B． C． D．不存在
【分析】求出函数的导数，求得切线斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．
【解答】解：函数的导数为，
在原点处的切线斜率为0，
则在原点处的切线方程为，
即为．
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查运算能力，运用点斜式方程是解题的关键．
6．（5分）若如图所示的程序框图输出的是126，则条件①可以为　　

A． B． C． D．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，结合输出的是126，即可得到退出循环的条件．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出的值，
由于，
故①中应填．
故选：．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
7．（5分）已知向量，的夹角为，且，，则　　
A． B．2 C． D．84
【分析】根据平面向量的数量积公式计算模长即可．
【解答】解：向量，的夹角为，且，
，
又，


，
．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题目．
8．（5分）如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则　　
A．3 B．6 C．12 D．24
【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得的值．
【解答】解：函数的相邻两个零点之间的距离为，
，
又，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．
9．（5分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰△，则这个多面体最长一条棱长为　　

A． B． C． D．
【分析】根据三视图可知几何体是三棱锥，并求出棱长、判断出线面的位置关系，判断出最长的棱，再由勾股定理求解．
【解答】解：根据三视图可知几何体是三棱锥，
且平面，，
三视图都是斜边长为的等腰直角三角形，
，则是最长的棱，且，
故选：．

【点评】本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
10．（5分）已知数列的通项公式，要使此数列的前项和最大，则的值为　　
A．12 B．13 C．12或13 D．14
【分析】数列是首项为24，公差为2的等差数列，从而．由此能求出要使此数列的前项和最大，的值．
【解答】解：数列的通项公式，
，
，
数列是首项为24，公差为2的等差数列，
．
要使此数列的前项和最大，则的值为12或13．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的前项和最大时项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．（5分）如图，为正方体，下面结论错误的是　　

A．平面
B．
C．平面
D．异面直线与所成的角为
【分析】中因为可判，和中可由三垂线定理进行证明；而中因为，所以即为异面直线所成的角，．
【解答】解：中因为，正确；中因为，由三垂线定理知正确；
中由三垂线定理可知，，故正确；
中显然异面直线与所成的角为
故选：．
【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．
12．（5分）已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是　　
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【分析】构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后判断选项即可．
【解答】解：构造函数．
，在恒成立，
在上是增函数，
，
（1）（3）得（1）（3），
故选：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，则（1）　0　．
【分析】根据函数的解析式先求出（1）的值，进而求得（1）的值．
【解答】解：已知，则（1），故（1）（2），
故答案为 0．
【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
14．（5分）若函数的图象上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为　1　．
【分析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数的图象与直线交于点，当该点在区域内时，图象上存在点满足不等式组，且此时达到最大值，由此即可得到的最大值．
【解答】解：作出约束条件表示的平面区域，得到如图的三角形，
再作出对数函数的图象，可得该图象与直线交于点，
当该点在区域内时，图象上存在点满足不等式组，且此时达到最大值，
即的最大值为1
故答案为：1．

【点评】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．
15．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为　　．
【分析】首先利用关系式的变换，转换为余弦定理的关系式，求出的值，进一步利用余弦定理和基本关系式求出的最大值，最后利用三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：在中，内角，，所对的边分别为，，，
已知，
则：，
整理得：，
由于：，
解得：．
由于：，
故：，
转换为：，
所以：．
故最大值为：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用．
16．（5分）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：
①当时，曲线是一个圆；
②当时，曲线的离心率为；
③当时，曲线的渐近线方程为；
④当，，时，曲线的焦点坐标分别为和．
其中全部正确结论的序号为　①②④　．
【分析】设动点为，求出直线、的斜率，并且求出它们的积，即可求出点轨迹方程，根据题目所给条件逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：设动点为，
当时，由条件可得，
即，
又，的坐标满足．
当时，曲线的方程为，是圆心在原点的圆，故①正确；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆，，离心率为，故②正确；
当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故③错误；
当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆，由，
可知焦点坐标分别为和；
当时，是焦点在轴上的双曲线，方程为，由，
可知焦点坐标分别为和，故④正确．
正确结论的序号为①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，是中档题．
三、解答题：本大题共70分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）在数列和等比数列中，，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）先求出公比，可得数列的通项，从而可求的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，（2分）
设数列的公比为，由，可知，（3分）
由，得，又，则，（4分）
故，（5分）
又由，得．（6分）
（Ⅱ）依题意．（7分），①
则②（9分）
①②得，（11分）
即，故．（12分）
【点评】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，．
求证：面面；
（Ⅱ）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积．

【分析】（Ⅰ）由，知，再由已知结合面面垂直的性质可得面，则，由已知求解三角形得，由线面垂直的判定可得面，则面面；
（Ⅱ）由平面把四面体分成体积相等的两部分，知为中点，求出底面的面积，得到四棱锥的体积，再由等积法求三棱锥的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：，，
又侧面底面，面面，面，
面，
面，，
又，为平行四边形，，
又，为等边三角形，则为菱形，
则．
又，面，
面，面面；
（Ⅱ）解：由平面把四面体分成体积相等的两部分，
则为中点．
由，，得．
由（Ⅰ）知为菱形，则．
又由（Ⅰ）知面，
则．
．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19．（12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
逻辑思维能力
运动协调能力
一般
良好
优秀
一般
2
2
1
良好
4

1
优秀
1
3

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人，根据概率计算公式即可求出的值，进而得到的值．
（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位有15种情况，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生有9种情况，根据古典概型概率计算公式即可计算此事件概率为．
【解答】解：由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人．
设事件：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，
则．
解得．
．
（Ⅱ）由题意可知，
运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为，，，，，．
其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．
从中任意抽取2位，可表示为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，共15种可能．
设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，
其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．
则事件包括：，，，，，
，，，，共9种可能．
．
至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用已知条件推出，然后求解椭圆的方程．
（2）当直线的斜率存在时，设直线，通过联立，通过韦达定理，假设轴上存在定点，，使得为定值，转化求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，，解得，
则椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设直线，
联立，得，△，
．
假设轴上存在定点，，使得为定值，



．
要使为定值，则的值与无关，，
解得，此时为定值，定点为．
当直线的斜率不存在时，也满足条件．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在区间，上恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求的单调区间；
（2）若在区间，上恒成立，则只需求出的最大值即可，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）．
，
由得，，
当时，在或时，
在时，
的单调增区间是和，单调减区间是；
当时，在时，
的单调增区间是；
当时，在或时，
在时．
的单调增区间是和，单调减区间是．
（2）由（1）可知在区间，上只可能有极小值点，
在区间，上的最大值在区间的端点处取到，
即有（1）且（e），
解得．
即实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．
请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）直线为参数）与曲线交于，两点，与轴交于，求的值．
【分析】（1）将极坐标方程两边同乘，进而根据，，，可求出的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，求出对应的值，根据参数的几何意义，求出的值．
【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为


即（5分）
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
得，
所以．（10分）
【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当时，由不等式可得，两边平方整理得，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．
（Ⅱ）由 得，令，则，求得的最小值，即可得到从而所求实数的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，由得，两边平方整理得，
解得 或，原不等式的解集为，，．
（Ⅱ）由 得，令，即，
故，故可得到所求实数的范围为，．
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．
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日期：2019/5/3 23:15:17；用户：高中数学1；邮箱：jt0017@xyh.com；学号：24416196