2020届全国高考提分教程检测仿真模拟卷四 理科数学（解析版）

仿真模拟卷四
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x－3>0}，则A∪B＝(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C. D.
答案　B
解析　因为B＝{x|2x－3>0}＝，A＝{x|x≥1}，所以A∪B＝[1，＋∞)．
2．已知复数z满足(1－i)z＝2i(i为虚数单位)，则＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
答案　A
解析　由(1－i)z＝2i，得z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i.
3．设a，b是空间两条直线，则“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a，b是异面直线⇒a，b不平行．反之，若直线a，b不平行，也可能相交，不一定是异面直线．
所以“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件．
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案　A
解析　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，则lg ＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.
5．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　根据题意，该框图的含义是：
当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x>2时，得到函数y＝log2x，
因此，若输出的结果为1时，
若x≤2，得到x2－1＝1，解得x＝±，
若x>2，得到log2x＝1，无解，
因此，可输入的实数x的值可能为－，，共有2个．
6．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有(　　)
A．30种 B．40种 C．42种 D．48种
答案　C
解析　6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有CC＝90种安排方法，其中A照顾老人甲的情况有CC＝30种，B照顾老人乙的情况有CC＝30种，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有CC＝12种，所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12＝42种．
7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则·＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，由AB＝3，AD＝4，得

BD＝＝5，
AE＝＝.
又·＝·(＋)
＝·＋·＝·＋·，
∵AE⊥BD，∴·＝0，
又·＝||||·cos∠EAO＝||||·＝||2＝，∴·＝.
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为(　　)

A．8＋＋ B．8＋＋
C．6＋＋ D．6＋＋
答案　B
解析　由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，

其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取BC的中点N，连接MN，PN，则该几何体的表面积为S＝π×1×2＋×π×12＋2×2＋2×＋×2×＝＋8＋.
9．若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案　C
解析　当x→0时，f(x)→±∞，而A中的f(x)→0，排除A；当x＜0时，f(x)＜0，而B中x＜0时，f(x)＝>0，D中，f(x)＝>0，排除B，D.
10．已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1,4)
C．[－1，＋∞) D．[－1,6]
答案　C
解析　不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥－22对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，令t＝，则1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，∵y＝－2t2＋t＝－22＋，∴t＝1时，ymax＝－1，
∴a≥－1，故a的取值范围是[－1，＋∞)．
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则|OB|等于(　　)
A．a B．b C．ea D．eb
答案　A
解析　如图，延长F2B交PF1于点C，在△PCF2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC|＝|PF2|，B为CF2的中点，

∴在△F1CF2中，有|OB|＝|CF1|＝(|PF1|－|PC|)＝(|PF1|－|PF2|)＝×2a＝a.
12．设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝min(x>0)．若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．0
答案　C
解析　由题意得g(x)＝
则g(x)max＝g(1)＝2.在同一坐标系作出函数f(x)(－5≤x≤a)和g(x)(x>0)的图象，如图所示．

由f(x)＝2，得x＝－6或－2，∵∀x1∈[－5，a]，
∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，
∴－4≤a≤－2，∴a的最大值为－2.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知点P(x，y)满足条件则点P到原点O的最大距离为________．
答案　
解析　画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，

由得
由图得，当点P的坐标为(－5,3)时，点P到原点的距离最大，且最大值为＝.
14．函数f(x)＝·的最小正周期为________，最大值为________．
答案　π　
解析　f(x)＝·＝＝cos，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.
15．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
答案　168
解析　第一类，先选1女3男，有CC＝8(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A＝12(种)，故有8×12＝96(种)；第二类，先选2女2男，有CC＝6(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A＝12(种)，故有6×12＝72(种)，根据分类加法计数原理共有96＋72＝168(种)．
16．如图，在△ABC中，sin＝，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则△ABC的面积的最大值为________．

答案　3
解析　由sin＝，可得cos＝，
则sin∠ABC＝2sincos＝.
由sin＝<可知，0°<<45°，
则0°<∠ABC<90°，
由同角三角函数基本关系可知，cos∠ABC＝.
设AB＝x，BC＝y，AC＝3z(x>0，y>0，z>0)，
在△ABD中，由余弦定理可得，
cos∠BDA＝，
在△CBD中，由余弦定理可得，
cos∠BDC＝，
由∠BDA＋∠BDC＝180°，
故cos∠BDA＝－cos∠BDC，
即＝－，
整理可得16＋6z2－x2－2y2＝0.　①
在△ABC中，由余弦定理可知，
x2＋y2－2xy×＝(3z)2，
则6z2＝x2＋y2－xy，
代入①式整理计算可得，x2＋y2＋xy＝16，
由基本不等式可得，
16≥2＋xy＝xy，
故xy≤9，当且仅当x＝3，y＝时等号成立，
据此可知，△ABC面积的最大值为Smax＝(AB·BC)max·sin∠ABC＝×9×＝3.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：an≠1，an＋1＝2－(n∈N*)，数列{bn}中，bn＝，且b1，b2，b4成等比数列．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)若Sn是数列{bn}的前n项和，求数列的前n项和Tn.
解　(1)证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1，
∴数列{bn}是公差为1的等差数列．
(2)由题意可得b＝b1b4，即(b1＋1)2＝b1(b1＋3)，∴b1＝1，∴bn＝n，
∴Sn＝，∴＝＝2，
Tn＝2×
＝2×＝.
18．(本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：

分组(年龄)
[7,20)
[20,40)
[40,80]
频数(人)
18
54
36

(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；
(2)在(1)中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．
解　(1)∵样本容量与总体个数的比是＝，
∴样本中包含3个年龄段的个体数，分别是：
年龄在[7,20)的人数为×18＝1，
年龄在[20,40)的人数为×54＝3，
年龄在[40,80]的人数为×36＝2，
∴从这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
(2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为n＝C＝15，
这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m＝C＋C＝4，
∴这2人来自同一年龄组的概率P＝＝.
19．(本小题满分12分)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.

(1)证明：A1E⊥平面AC1D；
(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．
解　(1)证明：由已知得△A1B1C1为正三角形，D为棱A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，C1D⊂底面A1B1C1，则AA1⊥C1D.
又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，
∴C1D⊥平面ABB1A1，又A1E⊂平面ABB1A1，
∴C1D⊥A1E.
易证A1E⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D⊂平面AC1D，
∴A1E⊥平面AC1D.

(2)取BC的中点O，B1C1的中点O1，连接AO，则AO⊥BC，OO1⊥BC，OO1⊥AO，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则B(0,1,0)，E(0,1,1)，
C1(0，－1,2)，D，
设＝λ＝，
则＝－＝(0,2，－1)－
＝，
易知n＝(1,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量，
∴|cos〈，n〉|＝＝，
解得λ＝，λ＝－(舍去)．
∴＝，＝2λ＝，
＝＋＝，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴异面直线NE与BM所成角的余弦值为.
20．(本小题满分12分)已知A，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，|AF|＝2|PF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；
(3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”．若b＝，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：＋为定值．
解　(1)由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，
得＋＝1，解得yP＝±.
又|AF|＝2|PF|，所以a＋c＝，所以a2＋ac＝2b2，
即a2－2c2－ac＝0，所以2e2＋e－1＝0，
由0 (2)因为四边形AOPQ是平行四边形，
所以PQ＝a且PQ∥x轴，
所以xP＝，代入椭圆C的方程，解得yP＝±b，
因为点P在第一象限，所以yP＝b，
同理可得xQ＝－，yQ＝b，
所以kAPkOQ＝·＝－，
由(1)知e＝＝，得＝，所以kAPkOQ＝－.
(3)证明：由(1)知e＝＝，
又b＝，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
圆O的方程为x2＋y2＝.　①
连接OM，ON(图略)，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，
所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆，
设P(x0，y0)，则四边形OMPN的外接圆方程为2＋2＝(x＋y)，
即x2－xx0＋y2－yy0＝0.　　②
①－②，得直线MN的方程为xx0＋yy0＝，
令y＝0，则m＝，令x＝0，则n＝.
所以＋＝49，
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，所以＋＝49(为定值)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝x2，a∈R.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．
解　(1)f(x)＝ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a，
当a≤0时，f′(x)＝－a>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；
当a>0时，令f′(x)＝－a>0得0 令f′(x)＝－a<0得x>，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以函数f(x)有极大值点为x＝，无极小值点．
(2)由条件可得ln x－x2－ax≤0(x>0)恒成立，
则当x>0时，a≥－x恒成立，
令h(x)＝－x(x>0)，则h′(x)＝，
令k(x)＝1－x2－ln x(x>0)，
则当x>0时，k′(x)＝－2x－<0，所以k(x)在(0，＋∞)上为减函数．
又k(1)＝0，所以在(0,1)上，h′(x)>0；在(1，＋∞)上，h′(x)<0.
所以h(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以h(x)max＝h(1)＝－1，所以a≥－1.
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(其中t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．
解　(1)消去参数t，得曲线C的直角坐标方程x2－y2＝4(x≥2)．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝4，得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4.
所以曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4.
(2)将l与C的极坐标方程联立，消去ρ得4sin2＝2cos2θ.
展开得3cos2θ－2sinθcosθ＋sin2θ＝2(cos2θ－sin2θ)．
因为cosθ≠0，所以3tan2θ－2tanθ＋1＝0.
于是方程的解为tanθ＝，即θ＝.
代入ρsin＝，得ρ＝2，所以点P的极坐标为.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知x，y∈R＋，x＋y＝4.
(1)要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：x2＋2y2≥，并指出等号成立的条件．
解　(1)因为x，y∈R＋，x＋y＝4，所以＋＝1.
由基本不等式，得
＋＝＝＋≥＋ ＝1，
当且仅当x＝y＝2时取等号．
要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立，
只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立即可．
构造函数f(a)＝|a＋2|－|a－1|，
则等价于解不等式f(a)≤1.
因为f(a)＝
所以解不等式f(a)≤1，得a≤0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)证明：因为x，y∈R＋，x＋y＝4，所以y＝4－x(0 于是x2＋2y2＝x2＋2(4－x)2＝3x2－16x＋32＝32＋≥，当x＝，y＝时等号成立．