2020届全国高考数学（文）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（五）（解析版）

2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（五）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
答案　D
解析　∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.
2．(2019·昆明一中二模)设i是虚数单位，若复数z满足z·i＝4－9i，则其共轭复数＝(　　)
A．－9－4i B．－9＋4i
C．9－4i D．9＋4i
答案　B
解析　因为z＝＝－9－4i，故＝－9＋4i，故选B.
3．(2019·成都七中三模)国家统计局统计了我国近10年(2009～2018年)的GDP(GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．

根据该折线统计图，下面说法错误的是(　　)
A．这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上
B．从2010年开始GDP的增速逐年下滑
C．这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长
D．2013～2018年GDP的增速相对于2009～2012年，波动性较小
答案　B
解析　由题图可知，这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上，故A正确；2017年相比于2016年GDP的增速上升，故B错误；这10年GDP增速均超过6.5%，故C正确；显然D正确．故选D.
4．(2019·南充高中一模))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x＋a)2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，因其与圆相切，故＝a，所以c＝2b，故e＝，故选D.
5．(2019·太原一模)已知函数f (x)＝xln x＋a在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a＝(　　)
A．1 B．0 C. D．－1
答案　A
解析　函数f (x)＝xln x＋a，f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1.故选A.
6．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
7．(2019·内江一模)函数f (x)＝ln (x2＋2)－ex－1的图象可能是(　　)

答案　A
解析　当x→＋∞时，f (x)→－∞，故排除D；易知f (x)在R上连续，故排除B；f (0)＝ln 2－e－1＞0，故排除C，故选A.
8．(2019·重庆八中三模))在如图的程序框图中，若n＝2019，则输出y＝(　　)

A．0 B. C. D.
答案　C
解析　流程图的作用是计算函数y＝cos的值，其中n≤4，而n的初始值为2019，由程序框图中的判断可知，若n＞5，则需要减去5，直至小于5为止，因2019＝2015＋4，故y＝cos＝.故选C.
9．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
答案　D
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.由题意得＝，∴p＝0(舍去)或p＝8.故选D.
10．(2019·成都模拟)若函数f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域与值域都是[m，n](m＜n)，则a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(1，e) D. (1，e)
答案　D
解析　函数f (x)＝logax的定义域与值域相同等价于方程logax＝x有两个不同的实数解．

因为logax＝x⇔＝x⇔ln a＝，所以问题等价于直线y＝ln a与函数y＝的图象有两个交点．y′＝′＝，则y＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，在x＝e处取得极大值.作出函数y＝的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a＜，即1＜a＜e，直线y＝ln a与函数y＝的图象有两个交点．故选D.
11．(2019·怀化一模)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是(　　)

A．S1＝S2
B．S1≤S2
C．S1≥S2
D．先S1S2
答案　A
解析　∵直线l与圆O相切，∴OA⊥AP，∴S扇形AOQ＝··r＝··OA，S△AOP＝·OA·AP，∵＝AP，∴S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，∴S1＝S2.故选A.
12．(2019·武汉二中三模)若函数f (x)＝x－sin2x＋acosx在(－∞，＋∞)内单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B.
C. D.
答案　C
解析　f′(x)＝sin2x－asinx＋，因为f (x)为R上的增函数，故f′(x)≥0恒成立，即sin2x－asinx＋≥0，若sinx＝0，则a∈R；若sinx＞0，则a≤＋，令t＝sinx，则a≤＋，其中t∈(0,1]，因＋≥，当且仅当t＝时等号成立，故a≤.若sinx＜0，则a≥＋，令t＝sinx，则a≥＋，其中t∈[－1,0)，因＋≤－，当且仅当t＝－时等号成立，故a≥－.综上，－≤a≤.故选C.
第Ⅱ卷　(选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·台州中学二模)已知向量a＝(m,1)，b＝(3,3)．若(a－b)⊥b，则实数m＝________.
答案　5
解析　因为(a－b)⊥b，故(a－b)·b＝0，即3m＋3－18＝0，故m＝5.
14．(2019·吉林三模)某煤气站对外输送煤气时，用1～5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
(1)若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；
(2)若开启2号或4号，则关闭1号；
(3)禁止同时关闭5号和1号．
现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是________．
答案　4号和5号
解析　由(1)知开启3号时，4号开启，2号关闭；由(2)知因为4号开启，所以1号关闭；由(3)知因为1号关闭，所以5号开启．
15．(2019·贵阳一中二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x，y)，其中0＜x＜1，0＜y＜1，经统计数字x，y与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x，y)为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．
答案　
解析　实数对(x，y)落在区域的频率为0.28，又设A表示“实数对(x，y)满足且能与1构成钝角三角形”，

则A中对应的基本事件如图中阴影部分所示．
其面积为－，故P(A)＝－≈0.28，所以π≈.
16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
答案　
解析　如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．

再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝
＝.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解　(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2)K2＝≈4.762.
由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
18．(本小题满分12分)(2019·四川遂宁三模)已知函数f (x)＝cosπx－sinπx在x∈(0,1)上的零点为等差数列{an}(n∈N*)的首项a1，且数列{an}的公差d＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为f (x)＝cosπx－sinπx＝2cos，
所以，由题意有πx＋＝kπ＋(k∈Z)⇒x＝k＋(k∈Z)．
由于x∈(0,1)，所以{an}是以为首项，1为公差的等差数列．
所以an＝n－(n∈N*)．
(2)bn＝n＝n·n，
Tn＝1·1＋2·2＋3·3＋…＋(n－1)·n－1＋n·n，①
Tn＝1·2＋2·3＋3·4＋…＋(n－1)·n＋n·n＋1，②
①－②得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1
＝1－(n＋2)·n＋1，
所以Tn＝2－(n＋2)·n＝2－.
19．(本小题满分12分)(2019·湖南怀化模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，E是棱PC上的动点，连接DE.

(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)当△BED面积的最小值是4时，求此时动点E到底面ABCD的距离．
解　(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC.
(2)连接OE，由(1)知BD⊥平面PAC，OE⊂平面PAC，
∴BD⊥OE.
∵BD＝8，

由(S△BDE)min＝BD·OE＝4，得(OE)min＝1.
∴当OE⊥PC时，OE取得最小值1.
此时CE＝＝＝2
作EH∥PA交AC于H，
∵PA⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
由EH＝＝，得点E到底面ABCD的距离EH＝.
20．(本小题满分12分)(2019·长春二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点，焦距长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，点N(4,0)．设O为坐标原点，且∠ONP＝∠ONQ.证明：动直线PQ经过定点．
解　(1)由题意知c＝.
又因为＋＝1，即＋＝1，
解得b2＝1，a2＝4.
故椭圆C的标准方程是＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，联立消去y，得
(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16(4k2－b2＋1)．
设P(x1，kx1＋b)，Q(x2，kx2＋b)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝.
于是kPN＋kQN＝＋
＝.
由∠ONP＝∠ONQ知，kPN＋kQN＝0.
即2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b＝2k·－(4k－b)·－8b＝＋－8b＝0，
得b＝－k，Δ＝16(3k2＋1)＞0.
故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)．
21．(本小题满分12分)(2019·石家庄二模)设函数g(x)＝te2x＋(t＋2)ex－1，其中t∈R.
(1)当t＝－1时，求g(x)的单调区间与极值；
(2)若t是非负实数，且函数f (x)＝g(x)－4ex－x＋1在R上有唯一零点，求t的值．
解　(1)当t＝－1时，g(x)＝－e2x＋ex－1.
由g′(x)＝－2e2x＋ex＝ex(1－2ex)＝0，得x＝－ln 2.
因此g(x)的单调递增区间是(－∞，－ln 2)，单调递减区间是(－ln 2，＋∞)．
极大值是g(－ln 2)＝－，无极小值．
(2)函数f (x)＝g(x)－4ex－x＋1＝te2x＋(t－2)ex－x，x∈R.
当t＞0时，由f′(x)＝2te2x＋(t－2)ex－1＝(tex－1)·(2ex＋1)＝0得，x＝－ln t.
f (－ln t)是极小值，所以只要f (－ln t)＝0，即ln t－＋1＝0.
令F (t)＝ln t－＋1，则F′(t)＝＋＞0，F (t)在(0，＋∞)内单调递增．
因为F (1)＝0，所以当0＜t＜1时，F (t)＜F (1)＝0；当t＞1时，F (t)＞F (1)＝0.
实数t的值是1.
当t＝0时，f (x)＝－2ex－x.
f (x)为R上的减函数，而f (1)＝－2e－1＜0，
f (－2)＝2－2e－2＞0，
所以f (x)有且只有一个零点．
故实数t的值是1或0.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·呼和浩特二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)．以坐标原点O为原点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)设点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q两点间距离的最小值为2，求实数m的值．
解　(1)曲线C1：x＋y－m＋1＝0；曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin＝4(sinθ＋cosθ)，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得C2：(x－2)2＋(y－2)2＝8.
(2)因为曲线C2的半径r＝2，若点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，P，Q两点间距离的最小值为2，则圆C2的圆心到直线C1的距离为4，即
＝4，解得m＝－3或m＝13.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·长春模拟)已知函数f (x)＝|x－2|＋2.
(1)解不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)；
(2)设g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(x1)＝f (x2)成立，求实数a的取值范围．
解　(1)不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)等价于|x－2|＋|x－1|＞3，
①当x＞2时，原不等式即为2x－3＞3，解得x＞3，所以x＞3；
②当1＜x≤2时，原不等式即为1＞3，解得x∈∅，所以x∈∅；
③当x≤1时，原不等式即为－2x＋3＞3，解得x＜0，所以x＜0；
所以不等式f (x)＋f (x＋1)＞f (7)的解集为{x|x＜0或x＞3}．
(2)对任意x1∈R，都有x2∈R，使得g(x1)＝f (x2)成立，则{y|y＝g(x)}⊆{y|y＝f (x)}．
因为g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，
当且仅当(2x－a)(2x＋3)≤0时取等号，又f (x)＝|x－2|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2.从而a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．