2020届全国高考数学（文）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（七）（解析版）

2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（七）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·吉林实验中学一模)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i
答案　B
解析　∵复数z＝＝＝1＋i，∴复数z的共轭复数是1－i，就是复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数，故选B.
2．(2019·永州三模)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝|x|ex－1＞1}，则A∩B＝(　　)
A．{1,2,3,4} B．{2,3,4}
C．{3,4} D．{4}
答案　B
解析　因为ex－1＞1＝e0，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中大于1的有{2,3,4}，故A∩B＝{2,3,4}．
3．(2019·衡阳联考)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　)

A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
答案　C
解析　对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，因为＜4，所以选项C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C.
4．(2019·西安中学二模)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c＝a，所以椭圆的离心率e＝＝，故选A.
5．(2019·郑州一中三模)已知函数f (x)＝则不等式f (x)≤1的解集为(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案　D
解析　当x≥1时，f (x)≤1，即log2x≤1，解得1≤x≤2；当x＜1时，f (x)≤1，即≤1，解得x≤0，综上可得，原不等式的解集为(－∞，0]∪[1,2]，故选D.
6．(2019·河北衡水中学一模)若将函数f (x)＝sinωx＋cos(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，则当ω取最小整数时，函数f (x)的图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为f (x)＝sinωx＋cos＝sinωx＋cosωx－sinωx＝sinωx＋cosωx＝sin，又将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，所以函数f (x)的图象关于直线x＝对称，则ω＋＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝6k＋1(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝1，此时f (x)＝sin，令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，易知B正确．
7．(2019·聊城一模)数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍(méng)，下广三丈，袤(mào)四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(单位：立方丈)(　　)

A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
答案　B
解析　根据三视图可知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：

结合图中数据，计算该几何体的体积为
V＝V三棱柱－2V三棱锥＝×3×1×4－2×××3×1×1＝5(立方丈)．故选B.
8．(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是(　　)
A．－1 B．1 C．10 D．12
答案　C
解析　如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.


9．(2019·吉林模拟)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A，终边上有点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则＝(　　)
A. B．2 C．4 D．1
答案　D
解析　根据题意知α＋2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以
tan2θ＝tan(2kπ＋π－α)＝－tanα＝2，即＝2.整理得tanθ＋tan2θ＝1，所以＝＝tanθ＋tan2θ＝1.故选D.
10．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图，设BC＝2，以B为圆心的扇形的面积为＝，

∴△ABC的面积为××2×2＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即×3－2＝2π－2，故在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形的概率为＝，故选B.
11．(2019·启东中学一模)若椭圆＋＝1和双曲线－＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)
A. B．84 C．3 D．21
答案　D
解析　依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下图所示：

由椭圆的方程＋＝1，可得a＝25，a1＝5，
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a1＝10.①
由双曲线的方程－＝1，可得a＝4，a2＝2，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a2＝4.②
联立方程①②，解得|PF1|＝7，|PF2|＝3，
所以|PF1|·|PF2|＝3×7＝21，故选D.
12．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，且满足f＝f (x)，f (－2)＝－2，数列{an}满足a1＝－1，且＝2×＋1(Sn为{an}的前n项和)，则f (a5)＝(　　)
A．－3 B．－2 C．3 D．2
答案　D
解析　∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)．
∴f＝－f (－x)．∴f (3＋x)＝－f＝－f (－x)＝f (x)．∴f (x)是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1＝－1，且＝2×＋1，∴a1＝－1，且Sn＝2an＋n，∴a5＝－31，f (a5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝2.故选D.
第Ⅱ卷　(选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·衡水二中模拟)已知函数f (x)＝则f＝________.
答案　
解析　因为f＝sin2－tan＝＋1＝，所以f＝e＝e－3＝.
14．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．

答案　10
解析　设长方体中BC＝a，
CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
∴VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10.
15．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
答案　－1
解析　∵AD∥BC，且∠DAB＝30°，

∴∠ABE＝30°.
又∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.
∴∠E＝120°.
∴在△AEB中，AE＝BE＝2.
∴·＝(＋)·(＋)
＝－2＋·＋·＋·
＝－12＋2×2×cos30°＋5×2×cos30°＋5×2×cos180°
＝－12＋6＋15－10＝－1.
16．(2019·辽南一模)若直线y＝x＋1是曲线f (x)＝x＋－aln x(a∈R)的切线，则a的值是________．
答案　－1
解析　设切点的横坐标为x0，f′(x)＝1－－＝＝1⇒x0＝－⇒－a＝，
则有f (x0)＝x0＋－aln x0＝x0＋1⇒ln x0－x0＋1＝0，令h(x)＝ln x－x＋1⇒h′(x)＝－1＝0⇒x＝1，
则h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又因为h(1)＝0，所以x0＝1⇒a＝－1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)已知△ABC的面积为3，且内角A，B，C依次成等差数列．
(1)若sinC＝3sinA，求边AC的长；
(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．
解　(1)∵△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°.
设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由△ABC的面积 S＝3＝acsinB可得ac＝12.
∵sinC＝3sinA，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.
在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accosB＝28，∴b＝2.
即AC的长为2.
(2)∵BD是AC边上的中线，∴＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋c2＋2accos∠ABC)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，
∴||≥3，即BD长的最小值为3.
18．(本小题满分12分)(2019·云南师大附中一模)互联网＋时代的今天，移动互联快速发展，智能手机(Smartphone)技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具．中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一．逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机．手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时也会带来一些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图所示的饼图．

注：图中i(i＝1,2，…7)(单位：小时)代表分组为[i－1，i)的情况．
(1)求饼图中a的值；
(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)
(3)从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．
解　(1)由饼图得100%－6%－9%－27%－12%－14%－3%＝29%.
(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．
(3)∵样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，
∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．
19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
解　(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.
所以四棱锥E－BB1C1C的体积
V＝×3×6×3＝18.
20．(本小题满分12分)(2019·烟台一模)已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．
解　(1)因为F，在抛物线方程y2＝2px中，令x＝，可得y＝±p.
于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
由题意可得直线AB的方程为y＝x－1，
所以M(－1，－2)．
联立消去x，得y2－4y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4.
若点P(x0，y0)满足条件，则2kPM＝kPA＋kPB，
即2·＝＋，
因为点P，A，B均在抛物线C上，
所以x0＝，x1＝，x2＝.
代入化简可得＝，
将y1＋y2＝4，y1y2＝－4代入，解得y0＝±2.
将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1.
于是点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．
21．(本小题满分12分)(2019·汉中二模)已知函数f (x)＝－kx(k∈R)．
(1)当k＝0时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)＜0恒成立，求k的取值范围．
解　(1)当k＝0时，f (x)＝，则f′(x)＝，
∴f (1)＝0，f′(1)＝1，
∴曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝x－1.
(2)若f (x)＜0对x∈(0，＋∞)恒成立，即k＞对x＞0恒成立，
设g(x)＝，可得g′(x)＝，
由g′(x)＝0，可得x＝，
当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
∴g(x)在x＝处取得极大值，且极大值也是最大值为，∴k的取值范围为.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·郑州二模)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l的参数方程为(t为参数)．直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)若点P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；
(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值．
解　(1)已知曲线C的标准方程为＋＝1，P的直角坐标为(－2,0)，
将直线l的参数方程与曲线C的标准方程＋＝1联立，得
t2－t－4＝0，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4.
(2)由曲线C的标准方程为＋＝1，可设曲线C上的动点A(2cosθ，2sinθ)，则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cosθ＋2sinθ)＝16sin，0＜θ＜.
因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当θ＝时等号成立．
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·郑州二模)设函数f (x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a＞0)，g(x)＝x2－x.
(1)当a＝1时，求不等式g(x)≥f (x)的解集；
(2)已知f (x)≥2恒成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
f (x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x≤－1时，由x2－x≥－2x，得x≤－1.
当－1＜x＜1时，由x2－x≥2，得x≤－1或x≥2，舍去．
当x≥1时，由x2－x≥2x，得x≥3.
综上，原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
(2)f (x)＝|ax＋1|＋|x－a|
＝
当0＜a≤1时，由f (x)min＝f (a)＝a2＋1≥2，得a＝1；
当a＞1时，f (x)min＝f＝a＋>2，所以a＞1；综上，a∈[1，＋∞)．