2020年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷 解析版


2020年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）9的平方根是（　　）
A．3 B．±3 C． D．81
2．（3分）科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.000 000 000 22米．将0.000 000 000 22用科学记数法表示为（　　）
A．0.22×10﹣9 B．2.2×10﹣10 C．22×10﹣11 D．0.22×10﹣8
3．（3分）如右图所示的几何体的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．b5÷b3＝b2 B．（b5）2＝b7
C．b2•b4＝b8 D．a•（a﹣2b）＝a2+2ab
5．（3分）在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
年龄/岁
12
13
14
15
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
8．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，2），C（5，5）．若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤25 B．2≤k≤10 C．1≤k≤5 D．10≤k≤25
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．10 B．12 C．20 D．24
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣）2＝　 　．
12．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是　 　．

13．（3分）关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝　 　，c＝　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么点C的坐标为　 　．

15．（3分）如图，已知正方形ABCD，边长为8，E是AB边上的一点，连接DE，将△DAE沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A1落在正方形的边CD或BC的垂直平分线上，则AE的长度是　 　．

三.解答题（共8个大题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣x﹣y）÷x2，其中x﹣y＝﹣．
17．（9分）某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状，随机抽取了某校50名初中生进行调查，依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
类别
重视
一般
不重视
人数
a
15
b
（1）求表格中a，b的值；
（2）请补全统计图；
（3）若某校共有初中生2000名，请估计该校“重视课外阅读名著”的初中生人数．

18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD＝BF；
（2）填空：
①若⊙O的半径为5，tanB＝，则CF＝　 　；
②若⊙O与BF相交于点H，当∠B的度数为　 　时，四边形OBHE为菱形．

19．（9分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：
（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；
（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA＝35°，∠ECB＝45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）

20．（9分）已知函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）．
（1）求实数a的值；
（2）设一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标．
21．（10分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）直线BD和CE的位置关系是　 　；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．

23．（11分）如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和直线BC的表达式．
（2）如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．
①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．


2020年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：±＝±3，
故选：B．
2．【解答】解：0.000 000 000 22＝2.2×10﹣10，
故选：B．
3．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形中间有一个圆．
故选：C．
4．【解答】解：A、b5÷b3＝b2，正确；
B、（b5）2＝b10，错误；
C、b2•b4＝b6，错误；
D、a•（a﹣2b）＝a2﹣2ab，错误；
故选：A．
5．【解答】解：根据题意列表得：

2
3
4
5
2
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
（5，3）
4
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
（5，4）
5
（2，5）
（3，5）
（4，5）
﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为＝；
故选：A．
6．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：D．
7．【解答】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
8．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小＝1×2＝2，k最大＝5×5＝25，
∴2≤k≤25．
故选：A．
9．【解答】解：连接OE．
∵S△ADC＝AD•CD＝×2×2＝2，
S扇形OCE＝π×12＝，
S△COE＝×1×1＝，
∴S弓形CE＝，
∴阴影部分的面积为2﹣（）＝﹣．
故选：D．
10．【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，
点P从B向C运动时，AP的最小值为4，
即BC边上的高为4，
∴当AP⊥BC，AP＝4，
此时，由勾股定理可知：BP＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PC＝3，
∴BC＝6，
∴△ABC的面积为：×4×6＝12，
故选：B．

二.填空题（每小题3分，共15分）
11．【解答】解：（﹣）2＝．
故答案为：．
12．【解答】解：在△BCD中，∠CBD＝90°，∠2＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BCD＝40°．
故答案为：40°．
13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4ac＝0，
∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．
故答案为：1；1．
14．【解答】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，
∴∠OAE＝60°，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，
∴AE＝2，
∴AC＝2．
∴在Rt△ABC中，
AB＝BC＝，
∴OB＝+1，
∴C（+1，），
故答案为：（+1，）．
15．【解答】解：分两种情况：
①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时，如图1所示：
由折叠的性质得：∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝8，
则MN⊥AB，MN⊥AB，DM＝CD＝4，A1D＝AD＝8，
∴∠DA1M＝30°，A1M＝＝4，
∴∠EA1N＝180°﹣30°﹣90°＝60°，A1N＝8﹣4，
∴∠A1EN＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝A1E＝2A1N＝16﹣8；
②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时，作AP⊥AB于P，如图2所示：
则DG＝A1P＝AD＝4，A1D＝AD＝8，∠DA1E＝90°，AE＝A1E，
∴DG＝A1D，
∴∠DA1G＝30°，
∴∠PA1E＝30°，
∴AE＝A1E＝＝＝；
综上所述，AE的长为16﹣8或；
故答案为：16﹣8或．


三.解答题（共8个大题，满分75分）
16．【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x﹣y＝﹣，即y﹣x＝时，
原式＝＝．
17．【解答】解：（1）根据题意得：b＝5，a＝50﹣（15+5）＝30；
（2）补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：2000×＝1200（人），
则该校“重视课外阅读名著”的初中生人数约有1200人．
18．【解答】（1）证明：如图1中，连接OE．

∵AE是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OE∥BC，
∵OB＝OD，
∴DE＝EF，
∴BF＝2OE，
∵BD＝2OE，
∴BD＝BF．

（2）①解：如图1中，由题意BD＝BF＝2OE＝10，
∵OE∥BC，
∴∠AOE＝∠B，
∴tan∠AOE＝tan∠B＝＝，
∵OE＝5，
∴AE＝，
∵AE2＝AD•AB，
∴＝AD（AD+10），
解得AD＝或﹣（舍弃）
∵∠ACB＝90°，设AC＝4k，BC＝3k，
则有（10+）2＝16k2+9k2，
解得k＝或﹣（舍弃），
∴BC＝3k＝8，
∴CF＝BF﹣BC＝10﹣8＝2．
故答案为2．

②解：结论：当∠B＝60°时，四边形BOEH是菱形．
理由：如图2中，连接OE，EH．

∵BD＝BF，∠B＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，
∵∠BHE+∠BDE＝180°，
∴∠BHE＝120°，
∴∠B+∠BHE＝180°，
∴OB∥HE，
∵OE∥BH，
∴四边形BOEH是平行四边形，
∵OB＝OE，
∴四边形BOEH是菱形．
故答案为60°．
19．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，
∠ECB＝∠CBD＝45°，
∠ECA＝∠CAD＝35°，
AB＝9．
设CD＝x，
∵在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝x，
∵在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝35°，
∴tan∠CAD＝，
∴AD＝，
∵AB＝9，AD＝AB+BD，
∴9+x＝，
解得 x＝21，
答：CD的长为21米．

20．【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象过A（3，n），
∴3n＝3，
n＝1，
∴A（3，1）
∵一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象过点A（3，1），
∴1＝3a﹣1，
解得a＝1；

（2）∵一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，
∴B（0，﹣2），
①当C点在y轴的正半轴上时，
设C（0，m），
∵S△ABC＝2S△AOB，
∴×（m+2）×3＝2××2×3，
解得：m＝2，
②当C点在y轴的负半轴上时，
设C（0，h），
∵S△ABC＝2S△AOB，
∴×（﹣2﹣h）×3＝2××2×3，
解得：h＝﹣6，
∴C（0，2）或（0，﹣6）．
21．【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
化简得，解之得．
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．

（2）由于第二次A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400＝72000（元）
从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000＝9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
所以B种商品最低售价为每件1080元．
22．【解答】解：（1）BD⊥CE，
理由：延长CE交BD于P，

∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；
（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE；
（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．

∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∵∠AEC＝∠BEP，
∴∠BPE＝∠EAC＝90°，
∵∠PBE＝∠ABD，
∴△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当点E在BA延长线上时，BE＝3，

∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝，
由△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝，
综上所述，PB的长为或．
23．【解答】解：（1）二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，
即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1，点C（0，﹣1），
则直线BC的表达式为：y＝kx﹣1，
将点B的坐标代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；
（2）①设点P（x，x2﹣x﹣1），则点D（x，x﹣1），
S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB
＝×3×1+×2（x﹣1﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+，
∵﹣0，故S有最大值，当x＝1时，S最大值为2；
②设点D坐标为（m，m﹣1），
则CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+（m﹣1）2＝m2﹣m+1，
当CD＝OC时，m2+m2＝1，解得：m＝，
同理可得：
当CD＝OD时，m＝1，
当OC＝OD时，m＝，
则点P坐标为（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．