16.2021届高考数学（文）大一轮复习（课件 教师用书 课时分层训练）_重点强化课2 平面向量 （3份打包）

重点强化训练(二)　平面向量

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是  (　　)

 【导学号：31222166】

A．a＋b＝0

B．a＝b

C．a与b共线反向 

D．存在正实数λ，使a＝λb

D　[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]

2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)

A．1　　　 B．2　　　

C．3　　　 D．5

A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，

|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，

将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]

3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D　[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]

4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为(　　) 【导学号：31222167】

A.   B. 

C.π   D.π

A　[由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，

所以|＋|＝

＝＝，

即cos α＝，

因为α∈(0，π)，所以α＝，C.

设与的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]

5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·的值是   (　　)

A．－   B.

C．－   D．0

A　[取AB的中点C，连接OC，AB＝，

则AC＝，又因为OA＝1，

所以sin＝sin∠AOC＝＝，

所以∠AOB＝120°，

则·＝1×1×cos 120°＝－.]

二、填空题

6．设O是坐标原点，已知＝(k,12)，＝(10，k)，＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．

 【导学号：31222168】

11或－2　[由题意得＝－＝(k－4,7)，

＝－＝(6，k－5)，

所以(k－4)(k－5)＝6×7，

k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]

7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|

－|，其中O为原点，则正实数a的值为________．

2　[由|＋|＝|－|，知⊥，

∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，

∴＝，解得a＝2(a>0)．]

8．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．

－　[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤，所以·＝||·||·cos ≥－，(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号取得．]

三、解答题

9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R). 【导学号：31222169】

(1)若m＝n＝，求||；

(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

[解]　(1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，

∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分

∴||＝＝2.5分

(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，

∴8分

两式相减，得m－n＝y－x.

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分

10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，

|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，

及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分

又x∈，从而sin x＝，所以x＝.5分

(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x

＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，8分

当x＝∈时，sin取最大值1.

所以f(x)的最大值为.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝(　　)

A．－4   B．3 

C．－11   D．10

C　[a·b＝2×3×cos 60°＝3，

＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2b.

∵AB⊥AC，∴·＝0，

即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，

∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，

即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，

解得m＝－11.故选C.]

2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．

　[∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，

∴cos〈a，b〉＝，

∴〈a，b〉＝60°.

以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，

则a＝(1,0)，b＝(1，)．

设e＝(cos θ，sin θ)，

则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ|

≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ|

＝2|cos θ|＋|sin θ|

≤

＝.]

3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.

【导学号：31222170】

(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

[解]　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，2分

令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).5分

(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，

∴cos＝－1.7分

又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝.9分

∵a＝，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①

∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，

∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②

由①②可得b＝3，c＝2.12分