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    17.2021届高考数学(文)轮复习(课件 教师用书 课时分层训练)_重点强化课3 不等式及其应用 (3份打包)

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    重点强化课() 不等式及其应用

    [复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质,一元二次不等式及其解法,简单的线性规划问题,基本不等式及其应用,针对不等式具有很强的工具性,应用广泛,解法灵活的特点,应加强不等式基础知识的复习,要弄清不等式性质的条件与结论;一元二次不等式是解决问题的重要工具,如利用导数研究函数的单调性,往往归结为解一元二次不等式问题;函数、方程、不等式三者密不可分,相互转化,因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练.

    重点1 一元二次不等式的综合应用

     (1)(2016·山东青岛一模)函数y的定义域为(  )

    A(1]  B[1,1]

    C[1,2)(2,+) D.

    (2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)x的取值范围是__________

    (1)D (2)(11) [(1)由题意得解得即-1x1x,所以函数的定义域为,故选D.

    (2)由题意得

    解得-1<x<00x<1.

    所以x的取值范围为(11)]

    [规律方法] 

    一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法

    (1)与函数的定义域、集合的综合,此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集.

    (2)与分段函数问题的综合.解决此类问题的关键是根据分段函数解析式,将问题转化为不同区间上的不等式,然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解.

    (3)与函数的奇偶性等的综合.解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式,然后求解,也可直接根据函数的性质求解.

    [对点训练1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)x24x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 导学号:31222215

    (5,0)(5,+) [由于f(x)R上的奇函数,

    所以当x0时,f(0)0;当x<0时,-x>0

    所以f(x)x24x=-f(x)

    f(x)=-x24x

    所以f(x)f(x)>x,可得

    解得x>5或-5<x<0

    所以原不等式的解集为(5,0)(5,+)]

    重点2 线性规划问题

     (1)(2017·深圳二次调研)在平面直角坐标系xOy中,若xy满足约束条件zxy的最大值为(  )

    A.     B1

    C2 D4

    (2)当实数xy满足时,1axy4恒成立,则实数a的取值范围是__________

     导学号:31222216

    (1)A (2) [(1)作出不等式组表示的平面区域为以AB(1,0)C(2,0)组成的三角形区域(包含边界),由图知当目标函数zxy经过点A时取得最大值,所以zmax,故选A.(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,

    zaxyy=-axz.作直线l0y=-ax平移l0

    最优解可在A(1,0)B(2,1)C处取得

    故由1z4恒成立可得

    解得1a.]

    [规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题,这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数,当在约束条件中含有参数时,那么随着参数的变化,可行域的形状可能就要发生变化,因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论,以免出现漏解.

    [对点训练2] 已知a>0xy满足约束条件z2xy的最小值为1,则a(  )

    A. B.

    C1 D2

    B [作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分)

    易知直线z2xy过交点A时,z取最小值,

    zmin22a1,解得a.]

    重点3 基本不等式的综合应用

     (2016·江苏高考节选)已知函数f(x)axbx(a>0b>0a1b1).设a2b.

    (1)求方程f(x)2的根;

    (2)若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)6恒成立,求实数m的最大值.

    [] 因为a2b,所以f(x)2x2x.2

    (1)方程f(x)2,即2x2x2,亦即(2x)22×2x10,所以(2x1)20,即2x1,解得x0.5

    (2)由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x))22.

    因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立,且f(x)>0

    所以m对于xR恒成立.8

    f(x)24,且4

    所以m4,故实数m的最大值为4.12

    [规律方法]

    基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法

    (1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小.解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.

    (2)条件不等式问题.通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.

    (3)求参数的值或范围.观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得到参数的值或范围.

    [对点训练3] (1)abc(0,+),则abc1abc(  )

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充要条件

    D.既不充分也不必要条件

    (2)已知正数xy满足x2y2,则的最小值为__________

    (1)A (2)9 [(1)abc2时,有abc

    abc1,所以必要性不成立.

    abc1时,

    abc,所以充分性成立.

    abc1abc的充分不必要条件.

    (2)由已知得1.

    (102 )9

    当且仅当xy时取等号]

    重点强化训练() 不等式及其应用

    A组 基础达标

    (建议用时:30分钟)

    一、选择题

    1.下列不等式一定成立的是(  )

    Alg>lg x(x>0)

    Bsin x2(xkπkZ)

    Cx212|x|(xR)

    D.>1(xR)

    C [x,则lglg x,故排除A;取xπ,则sin x=-1,故排除B;取x0,则1,排除D.]

    2(2016·天津高考)设变量xy满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为(  )

    A.-4    B6   

    C10    D17

    B [由约束条件作出可行域如图所示,目标函数可化为y=-xz,在图中画出直线y=-x

    平移该直线,易知经过点Az最小.

    又知点A的坐标为(3,0)

    zmin2×35×06.故选B.]

    3(2016·浙江高考)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB,则|AB|(  )

    A2 B4

    C3 D6

    C [由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.

    因为直线xy20与直线xy0平行,所以可行域内的点在直线xy20上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2)D(1,1),所以|AB||CD|3.故选C.]

    4.不等式x2的解集是(  )

    A[0)(2,4]      B[0,2)[4,+)

    C[2,4) D(2](4,+)

    B [x2>0,即x>2时,不等式可化为(x2)24,解得x4

    x2<0,即x<2时,不等式可化为(x2)24

    解得0x<2.

    综上,解集为[0,2)[4,+)]

    5(2015·山东高考)若函数f(x)是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为(  )

    A(,-1) B(1,0)

    C(0,1) D(1,+)

    C [因为函数yf(x)为奇函数,所以f(x)=-f(x),即=-.化简可得a1,则3,即30,即>0,故不等式可化为0,即12x2,解得0x1,故选C.]

    二、填空题

    6(2016·全国卷)xy满足约束条件z2x3y5的最小值为________

    10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知,当直线y=-x过点A(1,-1)时,z取得最小值,即zmin2×(1)3×(1)5=-10.]

    7ab>0ab5,则的最大值为__________.

    导学号:31222217

    3 [t,则t2a1b32929a1b313ab13518

    当且仅当a1b3时取等号,此时ab.

    tmax3.]

    8.设0απ,不等式8x2(8sin α)xcos 2α0xR恒成立,则α的取值范围为__________

     导学号:31222218

     [由题意,要使8x2(8sin α)xcos 2α0xR恒成立,需Δ64sin2 α32cos 2α0

    化简得cos 2α.

    0απ02α2α

    解得0ααπ.]

    三、解答题

    9.已知不等式>0(aR)

    (1)解这个关于x的不等式;

    (2)x=-a时不等式成立,求a的取值范围.

    [] (1)原不等式等价于(ax1)(x1)>0.1

    a0时,由-(x1)>0,得x<1

    a>0时,不等式化为(x1)>0.

    解得x<1x>3

    a<0时,不等式化为(x1)<0

    <1,即-1<a<0,则<x<1

    =-1,即a=-1,则不等式解集为空集;

    >1,即a<1,则 -1<x<.5

    综上所述,当a<1时,解集为

    a=-1时,原不等式无解;

    当-1<a<0时,解集为

    a0时,解集为{x|x<1}

    a>0时,解集为.6

    (2)x=-a时不等式成立,

    >0,即-a1<010

    a>1,即a的取值范围为(1,+).12

    10(2016·全国卷改编)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料,生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,试求在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元.

    [] 设生产产品A x件,产品B y件,则

    5

    目标函数z2 100x900y.

    作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)

    当直线z2 100x900y经过点(60,100)时,z取得最大值,zmax2 100×60900×100216 000().12

    B组 能力提升

    (建议用时:15分钟)

    1.已知ab为正实数,且ab1,若不等式(xy>m对任意正实数xy恒成立,则实数m的取值范围是(  ) 导学号:31222219

    A[4,+)  B(1]

    C(4] D(4)

    D [因为abxy为正实数,所以(xy)abab2224,当且仅当ab,即abxy时等号成立,故只要m<4即可.]

    2.若不等式x2ax10对一切x恒成立,则a的最小值是__________. 导学号:31222220

     [法一:由于x>0

    则由已知可得axx上恒成立,

    而当x时,max=-

    a,故a的最小值为-.

    法二:f(x)x2ax1,则其对称轴为x=-.

    若-,即a1时,f(x)上单调递减,此时应有f0,从而-a1.

    若-<0,即a>0时,f(x)上单调递增,此时应有f(0)1>0恒成立,故a>0.

    0<,即-1<a0时,

    则应有f110恒成立,

    故-1<a0.综上可知a,故a的最小值为-.]

    3.已知f(x)是定义在[1,1]上的奇函数,且f(1)1,若mn[1,1]mn0时,>0.

    (1)用定义证明f(x)[1,1]上是增函数;

    (2)解不等式f<f

    (3)f(x)t22at1对所有x[1,1]a[1,1]恒成立,求实数t的取值范围.

    [] (1)证明:任取x1<x2,且x1x2[1,1],则

    f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

    ·(x1x2).2

    1x1<x21x1x2<0.

    又已知>0

    f(x1)f(x2)<0

    f(x)[1,1]上为增函数,4

    (2)f(x)[1,1]上为增函数,

    解得.8

    (3)(1)可知f(x)[1,1]上为增函数f(1)1故对x[1,1]恒有f(x)1

    f(x)t22at1对所有x[1,1]a[1,1]恒成立即要t22at11成立

    t22at0g(a)=-2tat2.10

    a[1,1]g(a)0恒成立只需g(a)[1,1]上的最小值大于等于0

    g(1)0g(1)0解得t2t0t2.

    t的取值范围是{t|t2t0t2}.12

     

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