2.2021届高考数学（文）大一轮复习（课件 教师用书 课时分层训练）_第十章 概 率 （10份打包）
展开课时分层训练(六十三) 几何概型
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
B [在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，
即－2≤X≤1的概率为P＝.]
2．如图1034所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是( )
图1034
A. B．π
C．2π D．3π
D [设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.
由几何概型的概率得＝，则S＝3π.]
3．若将一个质点随机投入如图1035所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
图1035
A. B.
C. D.
B [设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.]
4．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
A [不等式－1≤log ≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.]
5．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜VSABC的概率是( )
【导学号：31222402】
A. B.
C. D.
A [当点P到底面ABC的距离小于时，
VPABC＜VSABC.
由几何概型知，所求概率为P＝1－3＝.]
6．(2017·西安模拟)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
【导学号：31222403】
A.＋π B.＋
C.－ D.－
D [|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分．
∵S圆＝π×12＝π，
S阴影＝－×12＝.
故所求事件的概率P＝＝＝－.]
二、填空题
7．(2017·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
【导学号：31222404】
3 [由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，
解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.]
8．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
[∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，
∴解得<p≤1或p≥2.
故所求概率P＝＝.]
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
[∵去看电影的概率P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.]
10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________. 【导学号：31222405】
[屋子的体积为5×4×3＝60米3，
捕蝇器能捕捉到的空间体积为×π×13×3＝米3，
故苍蝇被捕捉的概率是＝.]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则( )
A．p1<p2< B．p2<<p1
C.<p2<p1 D．p1<<p2
D [如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤”对应的图形为阴影△ODE(如图①)，
其面积为××＝，故p1＝<，事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分(如图②)，其面积显然大于，故p2>，则p1<<p2，故选D.]
2．(2017·陕西质检(二))在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，则取到的点到O点的距离大于1的概率为
( )
A. B．1－
C. D．1－
D [由题意得长方形ABCD的面积为1×2＝2，其中满足到点O的距离小于等于1的点在以AB为直径的半圆内，其面积为×π×12＝，则所求概率为1－＝1－，故选D.]
3．随机地向半圆0＜y＜(a为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为________．
＋ [由0＜y＜(a＞0)，
得(x－a)2＋y2＜a2，
因此半圆区域如图所示．
设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝＝＋.]
4．已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，则方程有实根的概率为________．
【导学号：31222406】
[设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P(A)＝＝.]
