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2023-2024学年河北省唐山市遵化市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河北省唐山市遵化市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题是假命题的是( )
A. 对顶角相等B. 两点之间线段最短C. 同角的余角相等D. 内错角相等
2.方程(m−1009)x|m|−1008+(n+3)y|n|−2=2018是关于x、y的二元一次方程，则( )
A. m=±1009；n=±3B. m=1009，n=3
C. m=−1009，n=−3D. m=−1009，n=3
3.下列说法中正确的个数为( )
①不相交的两条直线叫做平行线
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③平行于同一条直线的两条直线互相平行
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.已知关于x、y的二元一次方程2nx−y=2有一组解是x=1y=2，则n的值是( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
5.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COA=30°，则∠EOD的大小是( )
A. 60°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
6.用代入法解方程组2x+3y=8 ①3x−5y=5 ②有以下过程，其中错误的一步是( )
(1)由①得x=8−3y2③；
(2)把③代入②得3×8−3y2−5y=5；
(3)去分母得24−9y−10y=5；
(4)解之得y=1，再由③得x=2.5．
A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)
7.下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. ②③④B. ①②③C. ①②③④D. ①②④
8.已知二元一次方程组2x+5y=13①3x−7y=−7②，用加减消元法解方程组正确的是( )
A. ①×5−②×7B. ①×2+②×3C. ①×3−②×2D. ①×7−②×5
9.如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2的度数为( )
A. 35°B. 45°C. 55°D. 25°
10.方程组x+y−z=8y+z=1x−z=−2的解是( )
A. x=7y=−8z=9B. x=5y=1z=2C. x=2y=3z=3D. x=−11y=10z=−9
11.如图是嘉淇对“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的说理过程，下列判断不正确的是( )
请说明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
已知：如图，直线a，b，c，a⊥c，b⊥c．
请说明理由：△．
理由：∵a⊥c(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
∵ □(已知)．
∴∠2=90°(垂直的定义)，
∴ 〇(等量代换)，
∴a//b(◇).
A. △代表a//bB. □代表b⊥c
C. 〇代表∠1=∠2D. ◇代表两直线平行，同位角相等
12.已知x=3y=−2是方程组ax+by=2bx+ay=−3的解，则a+b的值是( )
A. 5B. 1C. −5D. −1
13.如图，给出下列条件：①∠1=∠2：②∠3=∠4：③AB//CE，且∠ADC=∠B：④AB//CE，且∠BCD=∠BAD.其中能推出BC//AD的条件为( )
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ②③④
14.在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y−x=( )
A. 2B. 4C. −6D. 6
15.一道来自课本的习题：
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程x3+y4=5460，则另一个方程正确的是( )
A. x4+y3=4260B. x5+y4=4260C. x4+y5=4260D. x3+y4=4260
16.小明和小亮在研究一道数学题，如图EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E，D，G在AC上．
小明说：“如果∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB”；
小亮说：“连接FG，如果FG//AB，则能得到∠GFC=∠ADG”．
则下列判断正确的是( )
A. 小明说法正确，小亮说法错误B. 小明说法正确，小亮说法正确
C. 小明说法错误，小亮说法正确D. 小明说法错误，小亮说法错误
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是______．
18.对于有理数x，y定义新运算：x*y=ax+by−5，其中a，b为常数已知1*2=−9，(−3)*3=−2，则a−b= ______．
19.两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
20.(1)根据下列叙述填依据：
已知：如图①，AB//CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：因为∠B+∠BFE=180°，
所以AB//EF(______).
又因为AB//CD，
所以CD//EF (______).
所以∠CDF+∠DFE=180° (______).
所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠DFE+∠D=360°．
(2)根据以上解答进行探索：如图②，AB//EF，那么∠BDF与∠B，∠F有何数量关系？并说明理由．
(3)如图③④，AB//EF，你能探索出图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B，∠F的数量关系吗？请直接写出结果．
四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解方程组：
(1)3x−y=62x+3y=15；
(2)3x−4y=0x+y4−13y=1．
22.(本小题9分)
二元一次方程组2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②的解满足x+y=2．
求(1)k的值；
(2)原方程组的解．
23.(本小题9分)
如图，点D、E分别在AB、BC上，DE//AC，∠1=∠2，请说明：∠F=∠CBF．
24.(本小题9分)
如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
25.(本小题9分)
如图，AB//CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND．
(1)试猜想MG与NH的位置关系，并说明理由；
(2)试用一句话概括(1)中的结论．
26.(本小题9分)
一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、两点之间线段最短，是真命题；
C、同角的余角相等，是真命题；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
故选：D．
对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
2.【答案】D
【解析】解：∵(m−1009)x|m|−1008+(n+3)y|n|−2=2018是关于x、y的二元一次方程，
∴m−1009≠0，n+3≠0，|m|−1008=1，|n|−2=1，
解得：m=−1009，n=3．
故选：D．
依据二元一次方程的定义得到m−1009≠0，n+3≠0，|m|−1008=1，|n|−2=1，依此求解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题从平行线的定义及平行公理入手，对选项逐一分析即可．
本题考查平行线的定义及平行公理，需熟练掌握．
【解答】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．
故答案为C．
4.【答案】B
【解析】解：把x=1y=2代入方程2nx−y=2，得2n−2=2，
解得n=2．
故选：B．
把x=1y=2代入方程2nx−y=2，求出n即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于n的一元一次方程是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠COA=30°，
∴∠BOD=30°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=90°+30°=120°，
故选：B．
利用垂直定义和对顶角相等进行计算即可．
此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线定义．
6.【答案】C
【解析】解：其中错误的一步为(3)，
正确解法为：去分母得：24−9y−10y=10，
移项合并得：−19y=−14，
解得：y=1419．
故选：C．
出错一步为(3)，理由去分母时两边都乘以2，写出正确的解法即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此逐项进行判断即可．
【解答】
解：根据同位角的定义，可得图①②④中，∠1与∠2在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，故是同位角，
而图③中，∠1与∠2不符合同位角的定义，不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：二元一次方程组2x+5y=13①3x−7y=−7②，用加减消元法解方程组①×3−②×2或①×7+②×5．
故选：C．
观察方程组中两方程x与y的系数特征，利用加减消元法消去x或y即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠1=∠3=55°，
∴∠2=180°−90°−55°=35°，
故选：A．
利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10.【答案】D
【解析】解：x+y−z=8①y+z=1②x−z=−2③，
②+③得：x+y=−1④，
把④代入①得−1−z=8，
解得：z=−9，
把z=−9代入②得：y=10，
把z=−9代入③得：x=−11，
则方程组的解为x=−11y=10z=−9．
故选：D．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题了考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】D
【解析】【解答】
解：如图，直线a，b，c，a⊥c，b⊥c．
请说明理由：a//b．
证明：∵a⊥c(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
∵b⊥c(已知)，
∴∠2=90°(垂直的定义)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)．
A，△代表a//b，故A正确，
B，□代表b⊥c，故B正确，
C，〇代表∠1=∠2，故C正确，
D，◇代表同位角相等，两直线平行，故D不正确．
故选：D．
【分析】
根据垂直的定义得到∠1=∠2，再根据平行线的判定可证a//b，注意平行线的性质和判定的区别．
本题考查了平行线的性质和判定，以及垂直的定义，解题的关键是注意平行线的性质和平行线的判定的区别．
12.【答案】D
【解析】解：ax+by=2①bx+ay=−3②，
①+②得：(a+b)(x+y)=−1．
∵x=3y=−2是方程组ax+by=2bx+ay=−3的解，
∴x+y=1，
∴a+b=−1．
故选：D．
利用①+②，可得出(a+b)(x+y)=−1，结合x=3y=−2，可求出a+b的值．
本题考查了二元一次方程组的解，通过解二元一次方程组，找出(a+b)(x+y)=−1是解题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：①∵∠1=∠2，
∴AB//CD，不符合题意；
②∵∠3=∠4，
∴BC//AD，符合题意；
③∵AB//CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ADC+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC//AD，故符合题意；
④∵AB//CE，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠B+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC//AD，故符合题意；
故能推出BC//AD的条件为②③④．
故选：D．
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
14.【答案】C
【解析】解：由题意得：−2+y+6=0+y+2yx−2+0=0+y+2y，
解得：x=8y=2，
∴y−x=2−8=−6．
故选：C．
根据题意得出方程组，求出方程组的解，代入y−x计算即可．
本题考查了二元一次方程组的应用及求代数式的值，能根据题意列出方程组是解此题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：设未知数x，y，已经列出一个方程x3+y4=5460，则另一个方程正确的是：x5+y4=4260．
故选：B．
直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
16.【答案】A
【解析】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD//EF，
∴∠BCD=∠BFE，
若∠CDG=∠BFE，
则∠BCD=∠CDG，
∴DG//BC，
∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；
∵FG//AB，
∴∠B=∠GFC，
故得不到∠GFC=∠ADG，故小亮说法错误，
故选：A．
由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD//EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案．
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．
17.【答案】垂线段最短
【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
故过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
18.【答案】−1
【解析】解：根据题意得：1*2=a+2b−5=−9，(−3)*3=−3a+3b−5=−2，
整理得：a+2b=−4 ①−a+b=1 ②，
①+②得：3b=−3，即b=−1，
把b=−1代入②得：a=−2，
则a−b=−2+1=−1，
故答案为：−1
利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a−b的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】130°或50°
【解析】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，又由一个角是50°，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意若两个角的两边分别平行，则这两个角互补或相等．
20.【答案】同旁内角互补，两直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：(1)因为∠B+∠BFE=180°，
所以AB//EF(同旁内角互补，两直线平行)，
因为AB//CD(已知)，
所以CD//EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行)，
所以∠CDF+∠DFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；
(2)过点D作AB的平行线DC，
因为AB//EF，
所以∠B=∠BDC，
因为AB//EF，
所以CD//EF，
所以∠F=∠FDC，
所以∠BDF=∠B+∠F
(3)过点D作AB的平行线DC，
根据平行线的性质可以证明图③∠BDF+∠B=∠F；图④∠BDF+∠B=∠F．
(1)根据平行线的性质和判定填空即可；
(2)过点D作AB的平行线DC，根据两直线平行，内错角相等证明即可；
(3)与(2)的证明方法类似，可以求出∠BDF与∠B、∠F的数量关系．
本题考查的是平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．解答本题时，注意类比思想的运用．
21.【答案】解：(1)3x−y=6①2x+3y=15②，
①×3+②得：11x=33，
∴x=3，
将x=3代入①得：y=3，
∴方程组的解为：x=3y=3；
(2)将原方程整理得：3x−4y=0①3x−y=12②，
由②−①得：3y=12，
解得：y=4，
将y=4代入①得：x=163，
∴原方程组的解为x=163y=4．
【解析】(1)利用加减消元法进行计算即可；
(2)将原方程整理，再利用加减消元法进行计算即可．
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，准确进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②，
①+②得：5(x+y)=3k+1，
∵x+y=2，
∴3k+1=10，
解得k=3，
答：k的值是3；
(2)把k=3代入原方程组得2x+3y=9③3x+2y=1④，
③×2−④×3得，
−5x=15，
解得x=−3，
把x=−3代入③得，y=5，
∴原方程组的解为x=−3y=5．
【解析】(1)方程组中两方程相加表示出x+y，代入x+y=2中求出k的值即可；
(2)把k的值代入原方程组，再解方程组即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23.【答案】解：∵DE//AC，
∴∠1=∠C，(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2，(等量代换)，
∴AF//BC，(内错角相等，两直线平行)，
∴∠F=∠CBF.(两直线平行，内错角相等)．
【解析】根据平行线的性质得出∠1=∠C，得出∠C=∠2，根据平行线的判定得出AF//BC，再根据平行线的性质即可得出∠F=∠CBF．
本题考查了平行线的性质和判定知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
24.【答案】解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°(平角定义)，∠1+∠2=180°(已知)．
∴∠2=∠4．
∴EF//AB(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠B=∠ADE(等量代换)．
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AED=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【解析】本题重点考查平行线的性质和判定．
首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE//BC，得出两角相等．
25.【答案】解：∵AB//CD，
∴∠AMN=∠DNM (两直线平行，内错角相等)，
∵MG平分∠AMN，NH平分∠MND，
∴∠1=12∠AMF，∠2=12∠DNE，
∴∠1=∠2，
∴MG//NH(内错角相等两直线平行)；
(2)如果两直线平行，那么两内错角的平分线也互相平行．
【解析】(1)首先根据平行线的性质可得∠AMN=∠DNM，再根据角平分线的性质可得∠1=12，∠2=12，再根据等量代换可得∠1=∠2，最后根据内错角相等，两直线平行可得MG//NH；
(2)根据(1)中的结论用语言叙述结论．
此题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，关键证明∠1=∠2．
26.【答案】解：(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：4x+5y=313x+6y=30，
解得：x=4y=3．
答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨．
(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意得：4m+3n=45，
∴n=15−43m.
又∵m，n均为正整数，
∴m=3n=11或m=6n=7或m=9n=3，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，根据两次满载的运输情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据一次运送45吨货物且每辆均全部装满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．x
2y
−2
y
6
0
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？
甲种货车(辆)
乙种货车(辆)
总量(吨)
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30
1.下列命题是假命题的是( )
A. 对顶角相等B. 两点之间线段最短C. 同角的余角相等D. 内错角相等
2.方程(m−1009)x|m|−1008+(n+3)y|n|−2=2018是关于x、y的二元一次方程，则( )
A. m=±1009；n=±3B. m=1009，n=3
C. m=−1009，n=−3D. m=−1009，n=3
3.下列说法中正确的个数为( )
①不相交的两条直线叫做平行线
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③平行于同一条直线的两条直线互相平行
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.已知关于x、y的二元一次方程2nx−y=2有一组解是x=1y=2，则n的值是( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
5.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COA=30°，则∠EOD的大小是( )
A. 60°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
6.用代入法解方程组2x+3y=8 ①3x−5y=5 ②有以下过程，其中错误的一步是( )
(1)由①得x=8−3y2③；
(2)把③代入②得3×8−3y2−5y=5；
(3)去分母得24−9y−10y=5；
(4)解之得y=1，再由③得x=2.5．
A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)
7.下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. ②③④B. ①②③C. ①②③④D. ①②④
8.已知二元一次方程组2x+5y=13①3x−7y=−7②，用加减消元法解方程组正确的是( )
A. ①×5−②×7B. ①×2+②×3C. ①×3−②×2D. ①×7−②×5
9.如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2的度数为( )
A. 35°B. 45°C. 55°D. 25°
10.方程组x+y−z=8y+z=1x−z=−2的解是( )
A. x=7y=−8z=9B. x=5y=1z=2C. x=2y=3z=3D. x=−11y=10z=−9
11.如图是嘉淇对“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的说理过程，下列判断不正确的是( )
请说明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
已知：如图，直线a，b，c，a⊥c，b⊥c．
请说明理由：△．
理由：∵a⊥c(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
∵ □(已知)．
∴∠2=90°(垂直的定义)，
∴ 〇(等量代换)，
∴a//b(◇).
A. △代表a//bB. □代表b⊥c
C. 〇代表∠1=∠2D. ◇代表两直线平行，同位角相等
12.已知x=3y=−2是方程组ax+by=2bx+ay=−3的解，则a+b的值是( )
A. 5B. 1C. −5D. −1
13.如图，给出下列条件：①∠1=∠2：②∠3=∠4：③AB//CE，且∠ADC=∠B：④AB//CE，且∠BCD=∠BAD.其中能推出BC//AD的条件为( )
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ②③④
14.在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y−x=( )
A. 2B. 4C. −6D. 6
15.一道来自课本的习题：
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程x3+y4=5460，则另一个方程正确的是( )
A. x4+y3=4260B. x5+y4=4260C. x4+y5=4260D. x3+y4=4260
16.小明和小亮在研究一道数学题，如图EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E，D，G在AC上．
小明说：“如果∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB”；
小亮说：“连接FG，如果FG//AB，则能得到∠GFC=∠ADG”．
则下列判断正确的是( )
A. 小明说法正确，小亮说法错误B. 小明说法正确，小亮说法正确
C. 小明说法错误，小亮说法正确D. 小明说法错误，小亮说法错误
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是______．
18.对于有理数x，y定义新运算：x*y=ax+by−5，其中a，b为常数已知1*2=−9，(−3)*3=−2，则a−b= ______．
19.两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
20.(1)根据下列叙述填依据：
已知：如图①，AB//CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：因为∠B+∠BFE=180°，
所以AB//EF(______).
又因为AB//CD，
所以CD//EF (______).
所以∠CDF+∠DFE=180° (______).
所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠DFE+∠D=360°．
(2)根据以上解答进行探索：如图②，AB//EF，那么∠BDF与∠B，∠F有何数量关系？并说明理由．
(3)如图③④，AB//EF，你能探索出图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B，∠F的数量关系吗？请直接写出结果．
四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解方程组：
(1)3x−y=62x+3y=15；
(2)3x−4y=0x+y4−13y=1．
22.(本小题9分)
二元一次方程组2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②的解满足x+y=2．
求(1)k的值；
(2)原方程组的解．
23.(本小题9分)
如图，点D、E分别在AB、BC上，DE//AC，∠1=∠2，请说明：∠F=∠CBF．
24.(本小题9分)
如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
25.(本小题9分)
如图，AB//CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND．
(1)试猜想MG与NH的位置关系，并说明理由；
(2)试用一句话概括(1)中的结论．
26.(本小题9分)
一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、两点之间线段最短，是真命题；
C、同角的余角相等，是真命题；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
故选：D．
对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
2.【答案】D
【解析】解：∵(m−1009)x|m|−1008+(n+3)y|n|−2=2018是关于x、y的二元一次方程，
∴m−1009≠0，n+3≠0，|m|−1008=1，|n|−2=1，
解得：m=−1009，n=3．
故选：D．
依据二元一次方程的定义得到m−1009≠0，n+3≠0，|m|−1008=1，|n|−2=1，依此求解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题从平行线的定义及平行公理入手，对选项逐一分析即可．
本题考查平行线的定义及平行公理，需熟练掌握．
【解答】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．
故答案为C．
4.【答案】B
【解析】解：把x=1y=2代入方程2nx−y=2，得2n−2=2，
解得n=2．
故选：B．
把x=1y=2代入方程2nx−y=2，求出n即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于n的一元一次方程是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠COA=30°，
∴∠BOD=30°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=90°+30°=120°，
故选：B．
利用垂直定义和对顶角相等进行计算即可．
此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线定义．
6.【答案】C
【解析】解：其中错误的一步为(3)，
正确解法为：去分母得：24−9y−10y=10，
移项合并得：−19y=−14，
解得：y=1419．
故选：C．
出错一步为(3)，理由去分母时两边都乘以2，写出正确的解法即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此逐项进行判断即可．
【解答】
解：根据同位角的定义，可得图①②④中，∠1与∠2在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，故是同位角，
而图③中，∠1与∠2不符合同位角的定义，不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：二元一次方程组2x+5y=13①3x−7y=−7②，用加减消元法解方程组①×3−②×2或①×7+②×5．
故选：C．
观察方程组中两方程x与y的系数特征，利用加减消元法消去x或y即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠1=∠3=55°，
∴∠2=180°−90°−55°=35°，
故选：A．
利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10.【答案】D
【解析】解：x+y−z=8①y+z=1②x−z=−2③，
②+③得：x+y=−1④，
把④代入①得−1−z=8，
解得：z=−9，
把z=−9代入②得：y=10，
把z=−9代入③得：x=−11，
则方程组的解为x=−11y=10z=−9．
故选：D．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题了考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】D
【解析】【解答】
解：如图，直线a，b，c，a⊥c，b⊥c．
请说明理由：a//b．
证明：∵a⊥c(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
∵b⊥c(已知)，
∴∠2=90°(垂直的定义)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)．
A，△代表a//b，故A正确，
B，□代表b⊥c，故B正确，
C，〇代表∠1=∠2，故C正确，
D，◇代表同位角相等，两直线平行，故D不正确．
故选：D．
【分析】
根据垂直的定义得到∠1=∠2，再根据平行线的判定可证a//b，注意平行线的性质和判定的区别．
本题考查了平行线的性质和判定，以及垂直的定义，解题的关键是注意平行线的性质和平行线的判定的区别．
12.【答案】D
【解析】解：ax+by=2①bx+ay=−3②，
①+②得：(a+b)(x+y)=−1．
∵x=3y=−2是方程组ax+by=2bx+ay=−3的解，
∴x+y=1，
∴a+b=−1．
故选：D．
利用①+②，可得出(a+b)(x+y)=−1，结合x=3y=−2，可求出a+b的值．
本题考查了二元一次方程组的解，通过解二元一次方程组，找出(a+b)(x+y)=−1是解题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：①∵∠1=∠2，
∴AB//CD，不符合题意；
②∵∠3=∠4，
∴BC//AD，符合题意；
③∵AB//CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ADC+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC//AD，故符合题意；
④∵AB//CE，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠B+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC//AD，故符合题意；
故能推出BC//AD的条件为②③④．
故选：D．
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
14.【答案】C
【解析】解：由题意得：−2+y+6=0+y+2yx−2+0=0+y+2y，
解得：x=8y=2，
∴y−x=2−8=−6．
故选：C．
根据题意得出方程组，求出方程组的解，代入y−x计算即可．
本题考查了二元一次方程组的应用及求代数式的值，能根据题意列出方程组是解此题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：设未知数x，y，已经列出一个方程x3+y4=5460，则另一个方程正确的是：x5+y4=4260．
故选：B．
直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
16.【答案】A
【解析】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD//EF，
∴∠BCD=∠BFE，
若∠CDG=∠BFE，
则∠BCD=∠CDG，
∴DG//BC，
∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；
∵FG//AB，
∴∠B=∠GFC，
故得不到∠GFC=∠ADG，故小亮说法错误，
故选：A．
由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD//EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案．
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．
17.【答案】垂线段最短
【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
故过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
18.【答案】−1
【解析】解：根据题意得：1*2=a+2b−5=−9，(−3)*3=−3a+3b−5=−2，
整理得：a+2b=−4 ①−a+b=1 ②，
①+②得：3b=−3，即b=−1，
把b=−1代入②得：a=−2，
则a−b=−2+1=−1，
故答案为：−1
利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a−b的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】130°或50°
【解析】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，又由一个角是50°，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意若两个角的两边分别平行，则这两个角互补或相等．
20.【答案】同旁内角互补，两直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：(1)因为∠B+∠BFE=180°，
所以AB//EF(同旁内角互补，两直线平行)，
因为AB//CD(已知)，
所以CD//EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行)，
所以∠CDF+∠DFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；
(2)过点D作AB的平行线DC，
因为AB//EF，
所以∠B=∠BDC，
因为AB//EF，
所以CD//EF，
所以∠F=∠FDC，
所以∠BDF=∠B+∠F
(3)过点D作AB的平行线DC，
根据平行线的性质可以证明图③∠BDF+∠B=∠F；图④∠BDF+∠B=∠F．
(1)根据平行线的性质和判定填空即可；
(2)过点D作AB的平行线DC，根据两直线平行，内错角相等证明即可；
(3)与(2)的证明方法类似，可以求出∠BDF与∠B、∠F的数量关系．
本题考查的是平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．解答本题时，注意类比思想的运用．
21.【答案】解：(1)3x−y=6①2x+3y=15②，
①×3+②得：11x=33，
∴x=3，
将x=3代入①得：y=3，
∴方程组的解为：x=3y=3；
(2)将原方程整理得：3x−4y=0①3x−y=12②，
由②−①得：3y=12，
解得：y=4，
将y=4代入①得：x=163，
∴原方程组的解为x=163y=4．
【解析】(1)利用加减消元法进行计算即可；
(2)将原方程整理，再利用加减消元法进行计算即可．
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，准确进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：2x+3y=2k+3①3x+2y=k−2②，
①+②得：5(x+y)=3k+1，
∵x+y=2，
∴3k+1=10，
解得k=3，
答：k的值是3；
(2)把k=3代入原方程组得2x+3y=9③3x+2y=1④，
③×2−④×3得，
−5x=15，
解得x=−3，
把x=−3代入③得，y=5，
∴原方程组的解为x=−3y=5．
【解析】(1)方程组中两方程相加表示出x+y，代入x+y=2中求出k的值即可；
(2)把k的值代入原方程组，再解方程组即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23.【答案】解：∵DE//AC，
∴∠1=∠C，(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2，(等量代换)，
∴AF//BC，(内错角相等，两直线平行)，
∴∠F=∠CBF.(两直线平行，内错角相等)．
【解析】根据平行线的性质得出∠1=∠C，得出∠C=∠2，根据平行线的判定得出AF//BC，再根据平行线的性质即可得出∠F=∠CBF．
本题考查了平行线的性质和判定知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
24.【答案】解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°(平角定义)，∠1+∠2=180°(已知)．
∴∠2=∠4．
∴EF//AB(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠B=∠ADE(等量代换)．
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AED=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【解析】本题重点考查平行线的性质和判定．
首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE//BC，得出两角相等．
25.【答案】解：∵AB//CD，
∴∠AMN=∠DNM (两直线平行，内错角相等)，
∵MG平分∠AMN，NH平分∠MND，
∴∠1=12∠AMF，∠2=12∠DNE，
∴∠1=∠2，
∴MG//NH(内错角相等两直线平行)；
(2)如果两直线平行，那么两内错角的平分线也互相平行．
【解析】(1)首先根据平行线的性质可得∠AMN=∠DNM，再根据角平分线的性质可得∠1=12，∠2=12，再根据等量代换可得∠1=∠2，最后根据内错角相等，两直线平行可得MG//NH；
(2)根据(1)中的结论用语言叙述结论．
此题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，关键证明∠1=∠2．
26.【答案】解：(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：4x+5y=313x+6y=30，
解得：x=4y=3．
答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨．
(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意得：4m+3n=45，
∴n=15−43m.
又∵m，n均为正整数，
∴m=3n=11或m=6n=7或m=9n=3，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
(1)设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，根据两次满载的运输情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据一次运送45吨货物且每辆均全部装满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．x
2y
−2
y
6
0
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？
甲种货车(辆)
乙种货车(辆)
总量(吨)
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30
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