2023-2024学年河北省唐山市遵化市八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年河北省唐山市遵化市八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．下列是无理数的是（ ）
A．﹣5B．C．D．
2．下列约分不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，AB＝AC，AF＝AE，∠B＝25°，则∠C＝（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
4．下列说法正确的是（ ）
A．1是1的平方根B．1的平方根是1
C．（﹣3）2的平方根是﹣3D．﹣1没有立方根
5．有如下计算过程：
＝…第（1）步，
＝…第（2）步，
＝…第（3）步，
其中出现错误的步骤是（ ）
A．第（1）步B．第（2）步C．第（3）步D．没有错误
6．下列有逆定理的是（ ）
A．直角都相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等
D．全等三角形的对应角相等
7．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角B．已知三边
C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
8．若，则x可取的整数值有（ ）
A．9B．8C．7D．7或8
9．如图所示，AD＝BE，若要使△ACB≌△DFE，可添加条件：①AC＝DF，BC＝EF；②CA∥DF，CB∥EF；③∠C＝∠F，AC∥DF；④AC＝DF，BC∥EF，其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
10．下列各数：，，，，，，绝对值为它相反数的数有（ ）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
11．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，则下列说法错误的是（ ）
A．DB＝CF
B．E是线段DF的中点
C．将△ECF绕点E旋转180°可与△EAD重合
D．△ADE≌△CFE，且证明△ADE与△CFE全等只能用判定定理“ASA”
12．甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲、乙正确B．只有甲、丙正确
C．甲、乙、丙都正确D．甲、乙、丙都不正确
13．遵化市沙石峪人民创造了“万里千担一亩田，青石板上创高产”的奇迹，沙石峪人民被周恩来同志誉为“当代愚公”，为激励后人传承和发扬“当代愚公”的光荣传统和优良作风，建造了沙石峪纪念馆，2019年沙石峪纪念馆被中宣部授予“全国爱国主义教育示范基地”．五四青年节，学校的八年级学生去距学校10km的沙石峪纪念馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为（ ）
A．45cmB．48cmC．51cmD．54cm
15．已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20B．18C．17D．15
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，则下列结论：①∠AEB＝90°；②E为CD的中点；③BC+AD＝AB；④S△ABE＝S四边形ABCD，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
二、填空（共3小题，每题3分，共9分）.
17．如果2x2﹣1＝9，则x＝ ．
18．若﹣＝4，计算下列各式的值．
（1）＝ ；
（2）＝ ．
19．如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．当t＝ s时，四边形ACQP的面积为△PQB面积的．
三、解答题（共69分）.
20．计算：
（1）4+﹣4÷；
（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）．
21．如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，且AC∥DF，AC＝DF．
（1）请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝20，BF＝6，求FC的长度．
22．小明邀请你请参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程：+＝2，
[小明解答的部分]解：设＝t，则有＝，故原方程可化为t+＝2，去分母并移项，得t2﹣2t+1＝0．
[接龙]
23．如图，△ABC和△ADE中，AC＝AE，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，边AD与边BC交于点M（不与B、C重合），点B、E在AD异侧；
（1）求证：△BAC≌△DAE；
（2）若，∠C＝∠AMC，求∠AED的度数．
24．一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：
（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
25．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B．
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段AB的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c．
①实数c的值为 ；
②求|c+1|+|c﹣1|的值；
（3）在数轴上，还有D、E两点分别表示m，n且有|2m+n|与互为相反数，求2m﹣3n的平方根．
26．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 ；
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长．
参考答案
一、选择题（本题1～10小题各3分，11～16小题各2分，共42分）
1．下列是无理数的是（ ）
A．﹣5B．C．D．
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：A．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．＝4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．属于无理数，故本选项符合题意；
D．﹣是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查有理数和无理数的定义，掌握无理数的定义是解答本题的关键．
2．下列约分不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质分别进行化简，即可得出答案．
解：A、＝x，故本选项不符合题意；
B、＝1，故本选项符合题意；
C、＝，故本选项不符合题意；
C、能约分，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的约分，正确根据分式的基本性质得出是解题关键．
3．如图，AB＝AC，AF＝AE，∠B＝25°，则∠C＝（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
【分析】由“SAS”可证△AEC≌△AFB，可得∠B＝∠C＝25°．
解：在△AEC与△AFB中，
，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠B＝∠C＝25°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEC≌△AFB是本题的关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A．1是1的平方根B．1的平方根是1
C．（﹣3）2的平方根是﹣3D．﹣1没有立方根
【分析】利用平方根的定义，立方根的定义对每个选项的结论进行逐一判断即可．
解：∵1是1的平方根，
∴A选项的结论正确，符合题意；
∵1的平方根是±1，
∴B选项的结论不正确，不符合题意；
∵（﹣3）2的平方根是±3，
∴C选项的结论不正确，不符合题意；
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴D项的结论不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．
5．有如下计算过程：
＝…第（1）步，
＝…第（2）步，
＝…第（3）步，
其中出现错误的步骤是（ ）
A．第（1）步B．第（2）步C．第（3）步D．没有错误
【分析】根据分式的加减法的相应的法则进行分析即可．
解：
＝
＝
＝，
则错误的步骤是第（2）步．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．下列有逆定理的是（ ）
A．直角都相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等
D．全等三角形的对应角相等
【分析】写出其逆命题后判断是否为定理即可．
解：A、逆命题为：相等的角都是直角，错误，是假命题，不是定理，不符合题意；
B、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是定理，符合题意；
C、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，不是定理，不符合题意；
D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，不是定理，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
7．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角B．已知三边
C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角
【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．
解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
8．若，则x可取的整数值有（ ）
A．9B．8C．7D．7或8
【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解．
解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴7＜+3＜8，
∴x可取的整数值是7，
故选：C．
【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识．
9．如图所示，AD＝BE，若要使△ACB≌△DFE，可添加条件：①AC＝DF，BC＝EF；②CA∥DF，CB∥EF；③∠C＝∠F，AC∥DF；④AC＝DF，BC∥EF，其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
解：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即AB＝DE，
①添加AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS判定△ABC≌△DEF；
②添加CA∥DF，CB∥EF，
∴∠A＝∠FDE，∠ABC＝∠E，
可利用ASA判定△ABC≌△DEF；
③添加∠C＝∠F，AC∥DF，
∴∠A＝∠FDE，
可利用AAS判定△ABC≌△DEF；
④添加AC＝DF，BC∥EF，
不能判定△ABC≌△DEF；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．下列各数：，，，，，，绝对值为它相反数的数有（ ）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】分别求出各数的绝对值和相反数，再判断即可．
解：的绝对值为，相反数为，符合题意；
的绝对值为，相反数为，不符合题意；
的绝对值为，相反数为，符合题意；
的绝对值为2，相反数为﹣2，不符合题意；
的绝对值为，相反数为，符合题意；
的绝对值为0，相反数为0，符合题意．
∴绝对值为它相反数的数有4个，
故选：B．
【点评】本题考查实数的性质，绝对值，相反数，算术平方根，立方根，掌握实数的绝对值和相反数的意义是解题的关键．
11．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，则下列说法错误的是（ ）
A．DB＝CF
B．E是线段DF的中点
C．将△ECF绕点E旋转180°可与△EAD重合
D．△ADE≌△CFE，且证明△ADE与△CFE全等只能用判定定理“ASA”
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行四边形的性质得到DB＝CF；故A正确；根据全等三角形的性质得到DE＝EF，求得E是线段DF的中点，故B正确；于是得到将△ECF绕点E旋转180°可与△EAD重合，故C正确；根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DB＝CF；故A正确；
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝CF，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴DE＝EF，
∴E是线段DF的中点，故B正确；
∴将△ECF绕点E旋转180°可与△EAD重合，故C正确；
∵AD＝CF，∠A＝∠ECF，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴证明△ADE与△CFE全等不只用判定定理“ASA”，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了，三角形中位线定理，中心对称，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲、乙正确B．只有甲、丙正确
C．甲、乙、丙都正确D．甲、乙、丙都不正确
【分析】利用平方根，算术平方根和立方根的性质对甲，乙，丙进行逐一判断即可得出结论．
解：∵当a＞0时，，
∴甲的说法正确；
∵a＜0时，﹣＝﹣（﹣a）＝a，
∴乙的说法不正确；
∵当a＞0时，，
∴丙的说法正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
13．遵化市沙石峪人民创造了“万里千担一亩田，青石板上创高产”的奇迹，沙石峪人民被周恩来同志誉为“当代愚公”，为激励后人传承和发扬“当代愚公”的光荣传统和优良作风，建造了沙石峪纪念馆，2019年沙石峪纪念馆被中宣部授予“全国爱国主义教育示范基地”．五四青年节，学校的八年级学生去距学校10km的沙石峪纪念馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设骑车学生的速度为x km/h，则乘车学生的速度为2x km/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用15min，列出关于x的分式方程，此题得解．
解：设骑车学生的速度为x km/h，则乘车学生的速度为2x km/h，15min＝h，
依题意，得：﹣＝，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为（ ）
A．45cmB．48cmC．51cmD．54cm
【分析】根据BF＝EC以及边与边的关系即可得出BC＝EF，再结合∠B＝∠E、AB＝DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF＝C△ABC＝24cm，结合图形以及CF＝3cm即可得出制成整个金属框架所需这种材料的总长度．
解：∵BF＝EC，BC＝BF+FC，EF＝EC+CF，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF＝C△ABC＝24cm．
∵CF＝3cm，
∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC﹣CF＝24+24﹣3＝45cm．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．
15．已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20B．18C．17D．15
【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．
解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a．
∴8﹣6＜a＜8+6．即：2＜a＜14．
∵，
∴y＝6﹣a．
∵解是非负数．且y≠3．
∴6﹣a≥0，且6﹣a≠3．
∴a≤6且a≠3．
∴2＜a≤6且a≠3．
∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．
∴符合条件的所有整数a的和为：4+5+6＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，则下列结论：①∠AEB＝90°；②E为CD的中点；③BC+AD＝AB；④S△ABE＝S四边形ABCD，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②③④正确．
解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BC+CF＝BC+AD，故③小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE＝S△FCE，
∴S四边形ABCD＝S△ABF，
∵S△ABE＝S△ABF，
∴S△ABE＝S四边形ABCD，故④小题正确；
综上所述，正确的有①②③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
二、填空（共3小题，每题3分，共9分）.
17．如果2x2﹣1＝9，则x＝ ± ．
【分析】方程变形后，两边直接开平方可得．
解：2x2﹣1＝9，
2x2＝10，
x2＝5，
x＝±．
故答案为：±．
【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意此题首先利用了＝|a|，然后要注意区分平方根、算术平方根的概念．
18．若﹣＝4，计算下列各式的值．
（1）＝ ﹣ ；
（2）＝ ．
【分析】（1）已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理即可求出所求；
（2）由（1）的结果找出ab与a﹣b的关系，原式变形后代入计算即可求出值．
解：（1）∵﹣＝4，
∴＝4，即b﹣a＝4ab，
整理得：a﹣b＝﹣4ab，
则原式＝＝﹣；
（2）∵a﹣b＝﹣4ab，
∴原式＝＝＝．
【点评】此题考查了分式的加减法，利用了整体的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．当t＝ 3 s时，四边形ACQP的面积为△PQB面积的．
【分析】当运动时间为t s时，BP＝t cm，BQ＝2t cm，根据四边形ACQP的面积为△PQB面积的．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
解：当运动时间为t s时，BP＝t cm，BQ＝2t cm，
由题意得：×5×6﹣•t•2t＝וt•2t，
整理得：t2＝9，
解得：t1＝3，t2＝﹣3（不符合题意，舍去），
即当t＝3s时，四边形ACQP的面积为△PQB面积的，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（共69分）.
20．计算：
（1）4+﹣4÷；
（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）．
【分析】（1）先化简，再算除法，最后算加减即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，最后算加减即可．
解：（1）4+﹣4÷
＝+3﹣4
＝4﹣2
＝7﹣2；
（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）
＝2+2+1﹣（3﹣1）
＝2+2+1﹣2
＝2+1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，且AC∥DF，AC＝DF．
（1）请你添加一个适当的条件： ∠A＝∠D（答案不唯一） ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝20，BF＝6，求FC的长度．
【分析】（1）添加∠A＝∠D，根据ASA证明△ABC≌△DEF即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BC＝EF，进一步求解即可．
解：（1）添加∠A＝∠D，证明如下：
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，
即BF＝CE，
∵BE＝20，BF＝6，
∴CE＝BF＝6，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝20﹣6﹣6＝8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．小明邀请你请参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程：+＝2，
[小明解答的部分]解：设＝t，则有＝，故原方程可化为t+＝2，去分母并移项，得t2﹣2t+1＝0．
[接龙]
【分析】求出关于t的方程的解，即为的值，进而求出x的值，检验即可．
解：[接龙]方程整理得：（t﹣1）2＝0，
开方得：t﹣1＝0，
解得：t1＝t2＝1，
∴＝1，
去分母得：3x＝x﹣1，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入最简公分母得：3x（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了换元的思想，注意解完要检验．
23．如图，△ABC和△ADE中，AC＝AE，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，边AD与边BC交于点M（不与B、C重合），点B、E在AD异侧；
（1）求证：△BAC≌△DAE；
（2）若，∠C＝∠AMC，求∠AED的度数．
【分析】（1）根据角的和差求出∠BAC＝∠DAE，即可证明△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，证明∠C＝∠AMC＝∠DAC，根据∠C+∠AMC+∠DAC＝180°，得出∠AED＝∠C＝60°．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠B＝∠BAD＝∠DAC，∠AMC＝∠B+∠BAD，
∴∠AMC＝∠DAC，
∵∠C＝∠AMC，
∴∠C＝∠AMC＝∠DAC，
∵∠C+∠AMC+∠DAC＝180°，
∴∠C＝∠AMC＝∠DAC＝60°，
∴∠AED＝∠C＝60°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：
（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
【分析】（1）先设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，根据题目中的等量关系列出方程，求出x的值，在进行检验即可；
（2）先设救生圈是在y点钟落下水中的，则救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的，根据小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，得出它在中午12点钟到达B港，根据救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12﹣y）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的，救生圈沿着航行方向漂流全程的，船与救生圈同向而行，距离拉大，船到B港后立刻掉头去找救圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，列出方程，求出方程的解即可．
解：（1）设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，根据题意得：
＝，
解得x＝48，
经检验x＝48符合题意，
答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．
（2）设救生圈是在y点钟落下水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的，
∵小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，
∴它在中午12点钟到达B港．而救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12﹣y）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的，救生圈沿着航行方向漂流全程的，船与救生圈同向而行，距离拉大，船到B港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，
由此得方程：
（12﹣y）（﹣）＝1×（），
解得：y＝11，
答：救生圈是在上午11点钟掉下水的．
【点评】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程要检验．
25．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B．
（1）点A表示的数为 ﹣ ；点B表示的数为 ，线段AB的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c．
①实数c的值为 ；
②求|c+1|+|c﹣1|的值；
（3）在数轴上，还有D、E两点分别表示m，n且有|2m+n|与互为相反数，求2m﹣3n的平方根．
【分析】（1）根据正方形的面积＝边长的平方，可得点A和B表示的数；AB＝右边的数﹣左边的数；
（2）①根据“数轴上平移左移减，右移加的原则”，可得点C表示的数；②根据绝对值的性质化简即可；
（3）根据“几个非负数的和为0．每个加数都是0”分别求出m、n的值，再求出2m﹣3n的值即可求解．
解：（1）∵AP2＝2，
∴，
∵点A在原点左侧，
∴点A表示的数为：．
∵BP2＝3，
∴，
∵点B在原点右侧，
∴点B表示的数为：．
∴．
故答案为：；
（2）①蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，
∴点C表示的数为；
②∵c+1＝，c﹣1＝，
∴|c+1|+|c﹣1|＝3；
故答案为：）①，②2
（3）∵|2m+n|与互为相反数，
∴|2m+n|+＝0，
∴2m+n＝0，，
∴n＝±4，
n＝4时，2m+4＝0，m＝﹣2，2m﹣3n＝2×（﹣2）﹣3×4＝﹣16＜0，不合题意，
n＝﹣4时，2m﹣4＝0，m＝2，2m﹣3n＝2×2﹣3×（﹣4）＝16＞0，
∵16的平方根是±4，
∴2m﹣3n的平方根是±4．
答：2m﹣3n的平方根是±4．
【点评】本题考查平移，实数与数轴，正方形的面积、非负数的性质、平方根等知识，解题的关键是掌握数轴上平移左移减，右移加的原则，并熟练掌握一元一次方程的解法．
26．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 1＜AD＜5 ；
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长．
【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
（2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论．
解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝GC＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
【点评】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例4如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED．
证明∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），
BD＝CD（已知），
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
例4如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED．
证明∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），
BD＝CD（已知），
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．