2024年浙江省杭州市初中学业水平考试数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】按顺序先计算乘方，再计算减法即可．
【详解】．
故选：B．
【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
3. 已知，请计算代数式的值为（ ）
A. 2022B. 2023C. ﹣4044D. ﹣4045
【答案】D
【解析】
【分析】先对因式分解，然后再将代入计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确运用平方差公式进行因式分解是解答本题的关键．
4. 如图，矩形的对角线，则的长为（ ）

A. 4B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：四边形是矩形，，
，
，
，
为等边三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由，，，，可得线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，则，，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：点坐标平移，左减右加，上加下减．
6. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC．
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cs∠OBC=cs30°= ．
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7. 如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据题意可得，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，，，
∴四个选项中，只有D选项结论成立，符合题意；
故选：D．
8. 已知二次函数在时有最小值，则( )
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数对称轴为直线，
当时，
在时有最小值，
当时，，
；
当时，
在时有最小值，
当时，，
；
综上所述，或，
故选：B．
9. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2
C. 平均数是3，方差是2D. 平均数是3，众数是2
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．
10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】设，，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 计算的结果是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】首先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握计算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
12. 如图，直线，现将一块三角尺的顶点A放在直线n上，则的度数为 ________．

【答案】##70度
【解析】
【分析】延长交直线n于点D，根据三角形的外角性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：延长交直线n于点D，

∵是的一个外角，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有_______个．
【答案】10
【解析】
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为求出x的值即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
14. 如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，根据即可．
【详解】解：连接，，，

∵四边形是圆内接正四边形，，
是圆的直径，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形，利用圆内接正多边形的性质求出正方形的边长是解题的关键．
15. 在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________．

【答案】5
【解析】
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答．
【详解】解：设过，则有：
，解得：，则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
16. 如图，矩形中，，点E是上的一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是______
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长．过点E作于点P，易证四边形和四边形为矩形，得出，，易证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，在中，，进行求解即可．
【详解】解：过点E作于点P，
在矩形中
，
∴四边形和四边形为矩形，
又，，
∴，
∵G是的中点，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
令，则，
又，
∴，
∴，
中，，
∴
解得．
故答案为：7．
三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）
17. 设关于x的一元二次方程，在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程：①；②；③；④．
【答案】选②，，；选③，，
【解析】
【分析】方程有两个不相等的实数根，则，分别验证四组数值，确定满足条件的b，c后，解方程即可．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
当时，，故①不合题意；
当时，，故②符合题意；
当时，，故③符合题意；
当时，，故④不合题意；
②③均可．
当选②时，这个方程为，
因式分解得，
即或，
解得，；
当选③时，这个方程为，
因式分解得，
即或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18. 晴明中学为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，特开设了A农业园艺、B家禽饲养、C营养烹饪、D家电维修等四项特色劳动课程，学校要求每名学生必须选修且只能选修一项课程．为保证课程的有效实施，学校随机对部分学生选择课程情况进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学校这次调查共抽取__________人，补全条形统计图；
（2）该校有1000名学生，请你估计选择“A”课程的学生有多少名；
（3）在劳动课程中表现优异的明明和兰兰两位同学被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，求明明和兰兰两人恰好分在同一组的概率．
【答案】（1）200，图见解析；
（2）320人； （3）；
【解析】
【分析】（1）根据C组的人数和百分比求得调查总人数，再由D组人数的百分比求得D组人数即可解答；
（2）根据样本中A组人数的百分比估计总体中的数量即可；
（3）利用树状图列出所有的组合，再由概率公式计算求值即可；
【小问1详解】
解：由C组的人数和百分比可得：调查总人数=（人），
D组的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：估计全校选A课程的人数=（人），
∴选择“A”课程的学生大约有320人；
【小问3详解】
解：画树状图如图（3个小组记为A，B，C）：
可得一共有9种可能，明明和兰兰两人恰好分在同一组有3种，
∴明明和兰兰两人恰好分在同一组的概率为；
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的联合求值，由样本的百分比估计总体的数量，利用树状图求概率；掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
19. 如图，E，F是的对角线AC上两点，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）首先得到，然后由平行四边形的性质得到，，然后证明出，即可证明四边形为平行四边形；
（2）过点C作交的延长线于点G，根据含角直角三角形的性质得到，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
如图所示，过点C作交的延长线于点G
∵，
∴
∵
∴的面积．
20. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为；
【小问2详解】
解：对于，
当时，
∴点D的坐标为，
由，解得或，
∴点B的坐标为，
∴的面积；
【小问3详解】
解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
21. 根据已知图形解答下列问题
问题发现：如图①， A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．易证：BP＝AQ．
类比探究：如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．
（1）求的值．
（2）DQ的最大值为_____．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设AQ交BP于O．证明△ADQ≌△BAP（AAS）可得结论；
（2）①证明△ADQ∽△BAP，推出；②当P与D重合时，BP最长，则AQ有最大值，此时DQ最大．由勾股定理可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图1中，设AQ交BP于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAP＝90°，AD＝AB，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
∵AQ⊥BP，
∴∠AOP＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴∠AQD＝∠APB，
∴△ADQ≌△BAP（AAS），
∴AQ＝BP；
【小问2详解】
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAP＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
∵AQ⊥BP，
∴∠AMP＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴∠AQD＝∠APB，
∴△ADQ∽△BAP，
∵AB=2，AD=3，
∴；
②在①已证明有：△ADQ∽△BAP，
∴，
∴，
∴当P与D重合时，AP最长，即DQ最大．
如图2：
由（2）可知，，
∵AB＝2，AD＝3，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
22. 设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
（2）若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
（3）设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．
【小问1详解】
由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式．
∴ 图像的对称轴是直线．
【小问2详解】
由题意，得，
∵，
∴b=-4h，c=
∴，
∴当时，的最小值是．
【小问3详解】
由题意，得
因为函数y的图像经过点，
所以，
所以，或．
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．
23. 已知：四边形内接于，对角线交于点E，且．

（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，若为的直径．
①求证：；
②已知，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）①详见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得到，由同弧或等弧所对圆周角相等即可得到，即可得到结论；
（2）①由为的直径得到，由（1）可知，则是等腰直角三角形，则，，证明，则，即，则，即可得到结论；
②解：由①知，求出，则，，证明，则，由，解得或（不合题意，舍去），由得到，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
即平分；
【小问2详解】
①证明：∵为的直径，
∴，
由（1）可知，
∴是等腰直角三角形，
则，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则；
②解：由①知，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
又∵，
即，
解得．
【点睛】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．