2024年吉林省初中学业水平考试数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 2024的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：2024的绝对值是2024．
故选：A．
2. 年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大量数据测算，哈尔滨元旦3天旅游总收入亿元．亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿即5914000000，
．
故选：B．
3. 若单项式与是同类项，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵与是同类项，
∴m=3，n=2，
∴mn=32=9．
故选：A．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )
A. 2πB. 10π
C. 20πD. 4π
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，圆锥的底面直径为4，高为3，根据勾股定理可得圆锥的底母线长，根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解.
【详解】由三视图知，此几何体为圆锥,底面直径为4,高为3,则圆锥的底面半径为4÷2=2,由勾股定理可得圆锥的母线长为：，
故这个几何体的侧面积为π×2×=2π.
故选A.
【点睛】考查了由三视图判断几何体,圆锥侧面积的求法;关键是得到该几何体的形状，并熟练掌握圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长.
5. 如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等边三角形性质得到∠ADC = 90°，∠CAD= 30°，再设CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理计算即可．
【详解】∵等边△ABC中，AD⊥BC，
∴∠ADC= 90°
∠CAD=∠BAD= 60°÷2= 30° ，
AB= AC，
设CD=x，则AC= 2x，
在Rt△ACD中，

解得：x=±1(舍负)，
∴AB= AC= 2．
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟练应用等边三角形的性质．
6. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm2．
A. 6B. 8C. 16D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】试题解析：阴影部分的面积=S△ADC=S正方形ABCD=×42=8（cm2）．
故选B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接应用平方差公式即可．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
8. 若数据的平均数为5，则中位数是__________；众数是__________．
【答案】 ①. 5 ②. 5
【解析】
【分析】由题意根据题目中数据，可以得到的值，从而可以得到这组数据的众数和中位数．
【详解】解：数据的平均数为5，
则有，
数据由小到大进行排列为：1，4，5，5，6，9，
所以这组数据的中位数是，众数是5，
故答案为：5；5．
【点睛】本题考查众数和平均数以及中位数，解题的关键是明确它们各自的求法并得出a的值．
9. 在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是____________
【答案】
【解析】
【详解】解：=12π．
故答案为：．
10. 如图，已知直线，若，则_____．
‍
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，由可得出，进而可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
故答案为：．
11. 如图，已知，要使，只需添加一个条件是_____（只需添加一个你认为合适的条件）．
‍
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了添加一个条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法解题即可．
【详解】解：由已知条件可知：，，
当时，则，
当时，则，
当时，则．
故答案为：（答案不唯一）．
12. ，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以，即可求解；
【详解】根据绝对值的意义得，，
；
故答案；
【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
13. 不等式组的解集为____．
【答案】3＜x≤5
【解析】
【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出它们的解的公共部分，即可．
【详解】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：3＜x≤5，
故答案是：3＜x≤5．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
14. 如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，使点落在边上的点处，折痕为；②把纸片展开并铺平；③点在边上，把翻折，使点落在线段上的点处，折痕为，与交于点．若是等腰三角形，，则_____．
‍
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和折叠的性质，分三种情况讨论：①当时，连结，由题意可得，可得，证得，即，，即可求得，②当时，，可得点与点重合，则有；③当时，，不合题意．
【详解】①当时，连结，
由题意可得．
，
，
，，
．
，
，
，．
②当时，，则，
∵
∴点与点重合，如图，
‍
则．
③当时，，不合题意，舍去．
故答案为：或．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先算乘方以及绝对值以及指数幂，再算加减法，即可求解．
【详解】解：原式
．
16. 盒子中有4个球，每个球上写有1～4中的一个数字，不同的球上数字不同．
（1）若从盒中取三个球，以球上所标数字为线段的长，则能构成三角形的概率是多少？
（2）若小明从盒中取出一个球，放回后再取出一个球，然后让小华猜两球上的数字之和，你认为小华猜和为多少时，猜中的可能性大．请说明理由．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】(1)、首先写出取三个球的所有情况，然后根据概率的计算法则求出概率；
(2)、首先得出所有的和的情况，然后看那个数字出现的次数最多，然后得出这个数的概率.
【详解】(1)从盒子中取三个球，共有1、2、3；1、2、4；1、3、4；2、3、4四种情况，其中能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故P（构成三角形）=
(2)由题意得：小华猜和为5时，猜中的可能性大，
因为和为5出现的概率最大，为．
17. 如图，在平行四边形中，点在上，点在上，且，点在上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，从而得，进而可证明△CFG≌△AEH，从而得GF=HE，GF∥HE，进而即可求证．
【详解】证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GCF＝∠HAE，
∵DG＝BH，
∴GC＝AH，
在△CFG与△AEH中，
，
∴△CFG≌△AEH（SAS），
∴GF=HE，∠CFG＝∠AEH，
∴∠GFE＝∠HEF，
∴GF∥HE，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
18. 列方程解应用题：为缓解交通拥堵问题，小李将上班方式由自驾车改为骑电动车．他从家到达上班地点，自驾车要走的路程为10千米，骑电动车要走的路程为8千米，已知小李自驾车的速度是骑电动车速度的1.5倍，他由自驾车改为骑电动车后，时间多用了6分钟.求小李自驾车和骑电动车的速度分别是多少?
【答案】小李骑电动车的速度为每小时千米，则自驾车的速度为每小时20千米
【解析】
【分析】首先设小李骑电动车的速度为每小时x千米，根据题意可得等量关系：骑电动车所用的时间-自驾车所用的时间=，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【详解】设小李骑电动车的速度为每小时x千米，则自驾车的速度为每小时1.5x千米，
根据题意列方程：
解得x=．
经检验：x=是方程的解，且符合题意 ．
所以= 20 ．
答：小李骑电动车的速度为每小时千米，则自驾车的速度为每小时20千米．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）线段AB的长为______；
（2）若三角形ABC是直角三角形，且边BC的长度为5，请在图中确定点C的位置，并补全三角形ABC．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据A、B、C三点均在网格点上，即可判断出三角形的斜边为BC，据此画图即可．
【小问1详解】
解：利用勾股定理有：，
故答案为：；
【小问2详解】
当AC为斜边时，，
即，
∵30无法表示成两个整数的平方和，
∴此时无法满足C点在网格点上，故舍去；
当BC为斜边时，，
即，
此时C点可在网格点上，
作图如下：
【点睛】本题考查了网格图和勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
20. 如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【答案】(1)k=12；(2).
【解析】
【分析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
详解】解：
(1)过点作交轴于点，交于点.


(2)




【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
21. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（参考数据：，，，）．

（1）求改造前坡顶与地面的距离的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米）
【答案】（1）改造前坡顶与地面的距离的长为米；
（2）至少是米；
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度的含义是解本题的关键；
（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可；
（2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可．
【小问1详解】
解：斜坡的坡比为，
，
设，则，
由勾股定理得， ，
即，
解得，，
则，
答：改造前坡顶与地面的距离的长为米；
【小问2详解】
作于，则，，
∴，
∴，
答：至少是米．
22. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【答案】（1）90人，见解析；（2）800人
【解析】
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；
（2）用该校的总人数乘以在线阅读所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90，
在线听课的人数为：90−24−18−12＝36，
补全的条形统计图如图所示：
；
（2）3000×＝800（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图①所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶，图②是客车、货车离C站的距离（千米），（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：A、B两地相距________千米；
（2）求两小时后，货车离C站的距离与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇？
【答案】（1）420 （2）
（3）客、货两车经过小时相遇
【解析】
【分析】（1）由题意可知：B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，两段距离相加即可；
（2）根据货车两小时到达C站，求得货车速度，进一步求得到达A站的时间，设两小时后，货车距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式，利用待定系数法进行求解即可；
（3）根据两函数图象相交，可知辆车相遇，求得的函数关系式，再与（2）中的函数关系式联立，可得方程组，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，
（千米），
∴A、B两地相距420千米，
故答案为：420．
【小问2详解】
解：设2小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数表达式为，根据题意得：
货车的速度为：，
，，
∴点P的坐标为，
∵点D的坐标为：，
∴将、代入，
可得，
解得，
．
【小问3详解】
解：设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数表达式为，由题意可得：
，
解得：，
，
将两个函数关系式联立可得：，解得，
答：客、货两车经过小时相遇．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用、解二元一次方程组，根据题意并结合图象，理解其图象表示的意义是解题的关键．
24.
综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析；
【解析】
【分析】（1）证明，可得，从而可得结论；
（2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=,
【解析】
【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；
（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t方程，解之即可；
（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；
（4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴即：，
解得：CM=，
要使点在线段的垂直平分线上，
只需QM=CM=，
∴t=；
（2）如图，∵，，，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cs∠PAH=，sin∠EFB=，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=，
在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，
在Rt△QNF中，QF=10-t-=，
∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，
四边形为矩形，
∴PH=QN，
∴=，
解得：t=3；
（3）如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN=，AH=AP·cs∠PAH=，
∴BH=GC=8-，
∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，
∴
=
=
=，
∴S与t的函数关系式为：；
（4）存在，t=．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BF,BC=BF, ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90º，
∴∠BAC+∠EFB=90º，
∴∠ATE=90º即PT⊥EF，
要使点在的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，
CT=CE·sin∠BEF =，
PT=10+-2t=，又PH=，
=，
解得：t=．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型．
26. 如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【解析】
【详解】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x=，
∴M2（，﹣）.
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．