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2024年辽宁省初中学业水平数学模拟预测题（一）（原卷版+解析版）
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1. 中国古代数学著作九章数术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元，那么元表示（ ）
A. 支出元B. 收入元C. 支出元D. 收入元
【答案】C
【解析】
【分析】根据用负数表示相反意义的量即可求解．
【详解】解：如果收入元记作元，那么元表示支出元．
故选：．
【点睛】本题主要考查负数表示相反意义的量，理解用负数表示相反意义的量的含义，规定收入为正，则支出为负是解题的关键．
2. 由四个大小相同的长方体搭成立体图形的左视图如图所示，则搭法不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体，找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．
【详解】解：A、左视图为2列，从左往右正方形的个数为1，2，符合题意；
B、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
C、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
D、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不合题意；
故选：A．
3. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项，积的乘方，据此相关运算性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
5. 已知m，n是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A. 3B. 1C. ﹣1D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可得出m+n=1、mn=-2，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n=1，mn=-2，
∴m+n﹣mn=1-（-2）=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为，两根之积为是解题的关键．
6. 已知关于x的不等式的解在数轴上表示如图，则a的值为（ ）
A. 2B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴可得不等式的解集，再将变为，结合解集进行求解即可．
【详解】解：∵的解集在数轴上为：，
则，
即，
故 ，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的求解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
7. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（ ），我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）
A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 黄金分割
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割比可得答案．
【详解】解：∵，
∴体现了数学中的黄金分割；
故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为是解本题的关键．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有人，辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设共有人，辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得： 从而可得答案．
【详解】解：设共有人，辆车，则
故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．
9. 如图，函数的图象与函数的图象相交于，，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．只需要找到函数的图象在函数的图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象可知，
当时，函数的图象在函数的图象上方，即此时，
故选：A
10. 如图，四边形是正方形，直线 分别过A，B，C三点，且，若与之间的距离为3，与之间的距离为5，则正方形的面积为（ ）
A. 32B. 25C. 16D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，利用，可以判定和全等，从而可以得到，再根据勾股定理即可求得的长，从而可以计算出正方形的面积．
【详解】解：过点B作的垂线交于点E、F，
由已知可得，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
正方形的面积为，
故选：D．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义和负整数指数幂运算法则化简再合并求解即可．
【详解】原式，
故答案为：5．
【点睛】本题考查算术平方根的定义以及负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝_____
【答案】50°
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
13. 为迎接理化生实验操作考试，某校成立了物理化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取生物小组的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】如图所示：
一共有9种可能，符合题意的有1种，
故小华和小强都抽到生物小组的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，轴于点C，轴交于点D，，，，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合．延长交轴于点，证明，求得点B纵坐标为，得到点B横坐标为，由，构造一元二次方程，求得，根据勾股定理列式，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵， 轴
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
延长交轴于点，则，
∴，
∴，
∴，即点B纵坐标为，
则点B横坐标为，
∵，
∴，
整理得，
解得（舍去），，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴，，
∵，
由勾股定理得，
解得，
故答案为：．
15. 如图，点E是矩形中边上一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，根据平角的定义，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由翻折可知：，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简算术平方根、负整数指数幂以及零次幂，再运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，即可作答．
【详解】解：（1）
（2）
17. 某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料．
（1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？
（2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）．
【答案】（1）制作1个B种产品需要3千克原材料，制作1个A种产品需要4.8千克原材料
（2）应最多安排120千克原材料制作A种产品
【解析】
【分析】（1）设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料，根据“用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个”列方程，求解，即可
（2）设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品，根据“制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍”列不等式，求解，即可
【小问1详解】
设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料
依题意有：
解得：x＝3
检验：；
故x＝3为原方程的解
制作1个A种产品需要千克原材料为：（1+60%）x＝4.8
答：制作1个B种产品需要3千克原材料，制作1个A种产品需要4.8千克原材料
【小问2详解】
设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品
由题意得：
解得：y≤120
答：应最多安排120千克原材料制作A种产品
【点睛】本题考查分式方程和不等式的实际应用，找到等量关系或不等量关系列方程或不等式是本题解题关键，注意分式方程要检验
18. 某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：
七年级88，94，90，94，84，94，99，94，99，100
八年级84，93，88，94，93，98，93，98，97，99
整理数据，按如下分数段整理样本数据并补全表格：
分析数据，补全下列表格中的统计量：
得出结论：你认为参赛的学生中哪个年级的成绩较为稳定？并说明理由．
【答案】补全表格见解析，八年级的成绩较为稳定，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，方差，熟练掌握中位数，众数和方差的定义是解题的关键．据此相关性质内容进行列式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
先把八年级成绩进行排序，得84，88，93，93，93，94，97，98，98， 99
分析数据：补全下列表格中的统计量：
八年级的成绩较为稳定，
理由：∵七年级的方差，八年级的方差，
∴八年级的成绩较为稳定．
故答案为：1，1，93.5，94．
19. 为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价．
（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润多少？
【答案】（1）；（2）当时，获利最大，最大利润是512元．
【解析】
【分析】（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当x＞20时，设y＝kx+b，由待定系数法求得函数解析式；
（2）设所获利润为w（元），分两种情况：①当0＜x≤20且x为整数时，②当20＜x≤64且x为整数时，分别得出w的表达式，并分别得出w的最大值，然后两者比较即可得出答案．
【详解】解：（1）当且为整数时，；
当时，设，代入和得：
，解得．
∴．
当时，代入，得．
∴且为整数，
综上所述，与之间所满足的函数关系式为．
（2）设所获利润为w（元），
当且x为整数时，y＝40，
∴．
∵22＞0，
∴w随着x的增大而增大，则当x＝20时，w有最大值，最大值为440；
当且x为整数时，，
∴，
∵，
∴当x＝32时，w最大，最大值为512元．
∵，
∴当x＝32时，获利最大，最大利润是512元．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数实际应用问题中的销售问题，利用二次函数的性质求得最值以及数形结合思想是解题的关键．
20. 随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于点，于点，则四边形是矩形，据此可得，解得到，，进而求出，再解得到，则．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影的长为．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【详解】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
为⊙的直径，
∵DE∥BC，
∴∠E＝ 90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．
22. 一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
（1）求抛物线表示的二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C在点O的正上方，且．运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围．
【答案】（1）抛物线表示的二次函数的表达式为
（2）球不能射进球门 （3）的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当时，求出y值，再与比较，即可知球能不能射进球门；
（3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出n，同理把代入函数表达式求出n，进而求得n的取值范围．
【小问1详解】
解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线表示的二次函数的表达式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线表示的二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
球不能射进球门；
【小问3详解】
解：由题意，移动后的抛物线为，
把点代入，得，
解得（舍去），，
把点代入，得，
解得（舍去），，
的取值范围为.
23. 探究性学习
（1）【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．
①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
（2）【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．
（3）【学以致用】
如图，在中，，点D在边上，过B作交延线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．
【答案】（1）选择小辉同学的思路，证明见解析；选择小龙同学的思路，证明见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理是解题的关键．
（1）选择小辉同学的思路：如图：在上截取，连接．先证可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；择小龙同学的思路：如图,过A作交延长线于G，先证可得，再证可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（2）如图:在上截取，连接；先说明为等腰直角三角形可得，再证明可得，再说明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（3）如图：过A作于H，先说明，根据等角对等边可得；再证明可得，进而得到，，最后根据三角形民间公式即可解答．
小问1详解】
解：选择小辉同学的思路，证明如下：
如图：在上截取，连接．
，
，
又，
，
．
，
,
．
选择小龙同学的思路，证明如下：
证明:如图,过A作交延长线于G，
∵，，
∴.
又∵于E,于G,
∴，
又∵,
∴,
∴，
又∵,
∴,
∴，
∴.
【小问2详解】
证明：如图:在上截取，连接，
为等边三角形，
，即为等腰直角三角形，
∴，
，，．
又，
，
．
是边上的中线，
平分，
，
∴是等边三角形，
．
【小问3详解】
解：如图：过A作于H
，
，
，
于E,
，
,
．
于，
，
，
，
又，
，
．
，
又，
，
．
，
，
．
．成绩/分
七年级
1
1
5
3
八年级
4
4
平均数
中位数
众数
方差
七年级
94
94
23.64
八年级
93.7
93
七年级
1
1
5
3
八年级
1
1
4
4
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93.6
94
94
24.2
八年级
93.7
93.5
93
20.4
1. 中国古代数学著作九章数术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元，那么元表示（ ）
A. 支出元B. 收入元C. 支出元D. 收入元
【答案】C
【解析】
【分析】根据用负数表示相反意义的量即可求解．
【详解】解：如果收入元记作元，那么元表示支出元．
故选：．
【点睛】本题主要考查负数表示相反意义的量，理解用负数表示相反意义的量的含义，规定收入为正，则支出为负是解题的关键．
2. 由四个大小相同的长方体搭成立体图形的左视图如图所示，则搭法不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体，找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．
【详解】解：A、左视图为2列，从左往右正方形的个数为1，2，符合题意；
B、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
C、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意；
D、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不合题意；
故选：A．
3. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项，积的乘方，据此相关运算性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
5. 已知m，n是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A. 3B. 1C. ﹣1D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可得出m+n=1、mn=-2，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n=1，mn=-2，
∴m+n﹣mn=1-（-2）=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为，两根之积为是解题的关键．
6. 已知关于x的不等式的解在数轴上表示如图，则a的值为（ ）
A. 2B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴可得不等式的解集，再将变为，结合解集进行求解即可．
【详解】解：∵的解集在数轴上为：，
则，
即，
故 ，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的求解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
7. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（ ），我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）
A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 黄金分割
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割比可得答案．
【详解】解：∵，
∴体现了数学中的黄金分割；
故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为是解本题的关键．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有人，辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设共有人，辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得： 从而可得答案．
【详解】解：设共有人，辆车，则
故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．
9. 如图，函数的图象与函数的图象相交于，，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．只需要找到函数的图象在函数的图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象可知，
当时，函数的图象在函数的图象上方，即此时，
故选：A
10. 如图，四边形是正方形，直线 分别过A，B，C三点，且，若与之间的距离为3，与之间的距离为5，则正方形的面积为（ ）
A. 32B. 25C. 16D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，利用，可以判定和全等，从而可以得到，再根据勾股定理即可求得的长，从而可以计算出正方形的面积．
【详解】解：过点B作的垂线交于点E、F，
由已知可得，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
正方形的面积为，
故选：D．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义和负整数指数幂运算法则化简再合并求解即可．
【详解】原式，
故答案为：5．
【点睛】本题考查算术平方根的定义以及负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝_____
【答案】50°
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
13. 为迎接理化生实验操作考试，某校成立了物理化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取生物小组的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】如图所示：
一共有9种可能，符合题意的有1种，
故小华和小强都抽到生物小组的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，轴于点C，轴交于点D，，，，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合．延长交轴于点，证明，求得点B纵坐标为，得到点B横坐标为，由，构造一元二次方程，求得，根据勾股定理列式，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵， 轴
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
延长交轴于点，则，
∴，
∴，
∴，即点B纵坐标为，
则点B横坐标为，
∵，
∴，
整理得，
解得（舍去），，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴，，
∵，
由勾股定理得，
解得，
故答案为：．
15. 如图，点E是矩形中边上一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，根据平角的定义，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由翻折可知：，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简算术平方根、负整数指数幂以及零次幂，再运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，即可作答．
【详解】解：（1）
（2）
17. 某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料．
（1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？
（2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）．
【答案】（1）制作1个B种产品需要3千克原材料，制作1个A种产品需要4.8千克原材料
（2）应最多安排120千克原材料制作A种产品
【解析】
【分析】（1）设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料，根据“用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个”列方程，求解，即可
（2）设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品，根据“制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍”列不等式，求解，即可
【小问1详解】
设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料
依题意有：
解得：x＝3
检验：；
故x＝3为原方程的解
制作1个A种产品需要千克原材料为：（1+60%）x＝4.8
答：制作1个B种产品需要3千克原材料，制作1个A种产品需要4.8千克原材料
【小问2详解】
设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品
由题意得：
解得：y≤120
答：应最多安排120千克原材料制作A种产品
【点睛】本题考查分式方程和不等式的实际应用，找到等量关系或不等量关系列方程或不等式是本题解题关键，注意分式方程要检验
18. 某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：
七年级88，94，90，94，84，94，99，94，99，100
八年级84，93，88，94，93，98，93，98，97，99
整理数据，按如下分数段整理样本数据并补全表格：
分析数据，补全下列表格中的统计量：
得出结论：你认为参赛的学生中哪个年级的成绩较为稳定？并说明理由．
【答案】补全表格见解析，八年级的成绩较为稳定，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，方差，熟练掌握中位数，众数和方差的定义是解题的关键．据此相关性质内容进行列式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
先把八年级成绩进行排序，得84，88，93，93，93，94，97，98，98， 99
分析数据：补全下列表格中的统计量：
八年级的成绩较为稳定，
理由：∵七年级的方差，八年级的方差，
∴八年级的成绩较为稳定．
故答案为：1，1，93.5，94．
19. 为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价．
（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润多少？
【答案】（1）；（2）当时，获利最大，最大利润是512元．
【解析】
【分析】（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当x＞20时，设y＝kx+b，由待定系数法求得函数解析式；
（2）设所获利润为w（元），分两种情况：①当0＜x≤20且x为整数时，②当20＜x≤64且x为整数时，分别得出w的表达式，并分别得出w的最大值，然后两者比较即可得出答案．
【详解】解：（1）当且为整数时，；
当时，设，代入和得：
，解得．
∴．
当时，代入，得．
∴且为整数，
综上所述，与之间所满足的函数关系式为．
（2）设所获利润为w（元），
当且x为整数时，y＝40，
∴．
∵22＞0，
∴w随着x的增大而增大，则当x＝20时，w有最大值，最大值为440；
当且x为整数时，，
∴，
∵，
∴当x＝32时，w最大，最大值为512元．
∵，
∴当x＝32时，获利最大，最大利润是512元．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数实际应用问题中的销售问题，利用二次函数的性质求得最值以及数形结合思想是解题的关键．
20. 随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于点，于点，则四边形是矩形，据此可得，解得到，，进而求出，再解得到，则．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影的长为．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【详解】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
为⊙的直径，
∵DE∥BC，
∴∠E＝ 90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．
22. 一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
（1）求抛物线表示的二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C在点O的正上方，且．运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围．
【答案】（1）抛物线表示的二次函数的表达式为
（2）球不能射进球门 （3）的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当时，求出y值，再与比较，即可知球能不能射进球门；
（3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出n，同理把代入函数表达式求出n，进而求得n的取值范围．
【小问1详解】
解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线表示的二次函数的表达式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线表示的二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
球不能射进球门；
【小问3详解】
解：由题意，移动后的抛物线为，
把点代入，得，
解得（舍去），，
把点代入，得，
解得（舍去），，
的取值范围为.
23. 探究性学习
（1）【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．
①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
（2）【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．
（3）【学以致用】
如图，在中，，点D在边上，过B作交延线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．
【答案】（1）选择小辉同学的思路，证明见解析；选择小龙同学的思路，证明见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理是解题的关键．
（1）选择小辉同学的思路：如图：在上截取，连接．先证可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；择小龙同学的思路：如图,过A作交延长线于G，先证可得，再证可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（2）如图:在上截取，连接；先说明为等腰直角三角形可得，再证明可得，再说明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（3）如图：过A作于H，先说明，根据等角对等边可得；再证明可得，进而得到，，最后根据三角形民间公式即可解答．
小问1详解】
解：选择小辉同学的思路，证明如下：
如图：在上截取，连接．
，
，
又，
，
．
，
,
．
选择小龙同学的思路，证明如下：
证明:如图,过A作交延长线于G，
∵，，
∴.
又∵于E,于G,
∴，
又∵,
∴,
∴，
又∵,
∴,
∴，
∴.
【小问2详解】
证明：如图:在上截取，连接，
为等边三角形，
，即为等腰直角三角形，
∴，
，，．
又，
，
．
是边上的中线，
平分，
，
∴是等边三角形，
．
【小问3详解】
解：如图：过A作于H
，
，
，
于E,
，
,
．
于，
，
，
，
又，
，
．
，
又，
，
．
，
，
．
．成绩/分
七年级
1
1
5
3
八年级
4
4
平均数
中位数
众数
方差
七年级
94
94
23.64
八年级
93.7
93
七年级
1
1
5
3
八年级
1
1
4
4
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93.6
94
94
24.2
八年级
93.7
93.5
93
20.4
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