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1.6 平行线几何模型（铅笔头模型） 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)
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专题1.18 平行线几何模型（铅笔头模型）（专项练习） 一、单选题 1．如图，已知，，，则的度数是（ ） A．80° B．120° C．100° D．140° 2．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 3．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 4．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ） A． B． C． D． 5．如图，直线，，则（ ） A．150° B．180° C．210° D．240° 6．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 7．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( ) A．55° B．60° C．65° D．70° 8．如图，两直线、平行，则（ ）． A． B． C． D． 9．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，，，则的度数是_____． 12．如图，在五边形中满足，则图形中的的值是______． 13．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___． 14．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 15．如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°． 16．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____． 17．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______． 三、解答题 18．请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（ ）．（ ） ∵//，//， ∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（ ）．（ ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 19．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝ ； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ． 20．如图1，四边形为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 21．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接． （1）在图（1）中，与有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由） 22．阅读下面材料，完成（1)～（3）题． 数学课上，老师出示了这样—道题： 如图1，已知点分别在上，．求的度数． 同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．” 小华：∵如图4，也能求出的度数．” 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； 请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°； 老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．” 请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题： 如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论． 23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °； 问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 24．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（ ） 所以，（ ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； 在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．C 【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C． 解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【点拨】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．C 解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 3．B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 解：如图，作CF//ED， ∵AB//ED， ∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF， ∴AB//CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 4．C 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可． 解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．C 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可. 解：作直线l平行于直线l1和l2． ， ． ， ． 故选C． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 6．B 【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案． 解：如图，过点B作直线， ∵直线m//n，， ∴， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠B=90°， ∴∠4=90°-50°=40°， ∵， ∴∠1=∠4=40°． 故选：B． 【点拨】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键． 7．C 【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数． 解： 过点A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ， ∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180， ∴∠3=65. 故选：C. 【点拨】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质. 8．D 解：分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点拨】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 9．D 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 【点拨】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论． 10．C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 解：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 11． 【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案． 解：作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键． 12．85 【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可． 解：∵AB∥CD，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−∠C＝120°． ∴（5−2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°． ∴x＝85． 故答案为：85． 【点拨】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键． 13．150°##150度 【分析】延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数． 解：延长AB交l2于E， ∵∠α=∠β， ∴AB∥CD， ∴∠2+∠3=180° ∵l1∥l2， ∴∠3=∠1=30°， ∴∠2=180°-∠3=150°． 故答案为：150°． 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键． 14． 【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数． 解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 15．540 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 解：过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°， 故答案为：540． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键． 16．270° 【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解． 解：过B作BF∥AE， ∵CD∥ AE， 则CD∥BF∥AE， ∴∠BCD+∠1=180°， 又∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF=90°， ∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°． 故答案为：270． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键． 17．540° 【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小． 解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°． 【点拨】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 18．（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）360° 【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED； （2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°． （1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED． ∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°． ∴∠B+∠BED+∠D=360°． 故答案为：360°． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键． 19．（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 20．（1）360；（2）540；（3）720；（4）． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍； （4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 解：（1）过E作EH∥AB（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴AB∥CD， 又∵EH∥AB， ∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH∥AB， ∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵CD∥EH， ∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【点拨】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 21．（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B 【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论． 解：（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º； （2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC， ∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC， 即∠B+∠C=∠A； （3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF， ∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º， 即∠B+∠A+∠C=360º； （4）如图（4），设BE与AC相交于D， ∵与平行， ∴∠C=∠ADE， ∵∠ADE=∠A+∠B， ∴∠A+∠B=∠C； （5）如图（5），设CF与AB相交于D， ∵与平行， ∴∠B=∠ADF， ∵∠ADF=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键． 22．（1）过点作；（2）30；（3）． 【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案； （3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案． 解：（1）由图中虚线可知PQ//AC， ∴小明同学辅助线的做法为过点作， 故答案为：过点作 （2）如图2，过点作， ∵AB//CD， ∴PQ//AB//CD， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵EP⊥FP， ∴∠EPF=∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠1=60°， ∴∠2=30°， 故答案为：30 （3）如图，设，过点作， ∵ ，即． 【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 23．问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见分析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见分析 【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°． （1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°， ∴∠APC＝50°+60°＝110°， 故答案为：110； （1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α； 理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β． 理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 24．（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见分析；（3），理由见分析 【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明； （3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论． （1）解：如图①，过点作，因为， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 所以，（两直线平行，内错角相等）． 所以． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等； （2）证明：如图②，过点作，因为， 所以， 所以，， 由（1）知：． 又， 所以． 因为． 所以， 所以， 因为平分． 所以， 所以， 所以； （3）解：，理由如下： 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 由（2）知：， 所以， 因为， 所以， 所以，， 而， 所以． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
专题1.18 平行线几何模型（铅笔头模型）（专项练习） 一、单选题 1．如图，已知，，，则的度数是（ ） A．80° B．120° C．100° D．140° 2．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 3．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 4．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ） A． B． C． D． 5．如图，直线，，则（ ） A．150° B．180° C．210° D．240° 6．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 7．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( ) A．55° B．60° C．65° D．70° 8．如图，两直线、平行，则（ ）． A． B． C． D． 9．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，，，则的度数是_____． 12．如图，在五边形中满足，则图形中的的值是______． 13．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___． 14．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 15．如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°． 16．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____． 17．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______． 三、解答题 18．请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（ ）．（ ） ∵//，//， ∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（ ）．（ ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 19．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝ ； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ． 20．如图1，四边形为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 21．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接． （1）在图（1）中，与有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由） 22．阅读下面材料，完成（1)～（3）题． 数学课上，老师出示了这样—道题： 如图1，已知点分别在上，．求的度数． 同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．” 小华：∵如图4，也能求出的度数．” 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； 请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°； 老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．” 请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题： 如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论． 23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °； 问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 24．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（ ） 所以，（ ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； 在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．C 【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C． 解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【点拨】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．C 解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 3．B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 解：如图，作CF//ED， ∵AB//ED， ∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF， ∴AB//CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 4．C 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可． 解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．C 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可. 解：作直线l平行于直线l1和l2． ， ． ， ． 故选C． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 6．B 【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案． 解：如图，过点B作直线， ∵直线m//n，， ∴， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠B=90°， ∴∠4=90°-50°=40°， ∵， ∴∠1=∠4=40°． 故选：B． 【点拨】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键． 7．C 【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数． 解： 过点A作AB∥l1， ∵l1∥l2， ∴AB∥l1∥l2， ∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180， ∵∠1=105,∠2=140 ， ∴∠4=75,∠5=40， ∵∠4+∠5+∠3=180， ∴∠3=65. 故选：C. 【点拨】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质. 8．D 解：分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点拨】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 9．D 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 【点拨】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论． 10．C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 解：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 11． 【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案． 解：作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键． 12．85 【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可． 解：∵AB∥CD，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−∠C＝120°． ∴（5−2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°． ∴x＝85． 故答案为：85． 【点拨】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键． 13．150°##150度 【分析】延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数． 解：延长AB交l2于E， ∵∠α=∠β， ∴AB∥CD， ∴∠2+∠3=180° ∵l1∥l2， ∴∠3=∠1=30°， ∴∠2=180°-∠3=150°． 故答案为：150°． 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键． 14． 【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数． 解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 15．540 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 解：过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°， 故答案为：540． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键． 16．270° 【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解． 解：过B作BF∥AE， ∵CD∥ AE， 则CD∥BF∥AE， ∴∠BCD+∠1=180°， 又∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF=90°， ∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°． 故答案为：270． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键． 17．540° 【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小． 解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°． 【点拨】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 18．（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）360° 【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED； （2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°． （1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED． ∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°． ∴∠B+∠BED+∠D=360°． 故答案为：360°． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键． 19．（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 20．（1）360；（2）540；（3）720；（4）． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍； （4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 解：（1）过E作EH∥AB（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴AB∥CD， 又∵EH∥AB， ∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH∥AB， ∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵CD∥EH， ∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【点拨】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 21．（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B 【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论． 解：（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º； （2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC， ∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC， 即∠B+∠C=∠A； （3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF， ∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º， 即∠B+∠A+∠C=360º； （4）如图（4），设BE与AC相交于D， ∵与平行， ∴∠C=∠ADE， ∵∠ADE=∠A+∠B， ∴∠A+∠B=∠C； （5）如图（5），设CF与AB相交于D， ∵与平行， ∴∠B=∠ADF， ∵∠ADF=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键． 22．（1）过点作；（2）30；（3）． 【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案； （3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案． 解：（1）由图中虚线可知PQ//AC， ∴小明同学辅助线的做法为过点作， 故答案为：过点作 （2）如图2，过点作， ∵AB//CD， ∴PQ//AB//CD， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵EP⊥FP， ∴∠EPF=∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠1=60°， ∴∠2=30°， 故答案为：30 （3）如图，设，过点作， ∵ ，即． 【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 23．问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见分析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见分析 【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°． （1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°， ∴∠APC＝50°+60°＝110°， 故答案为：110； （1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α； 理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β． 理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 24．（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见分析；（3），理由见分析 【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明； （3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论． （1）解：如图①，过点作，因为， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 所以，（两直线平行，内错角相等）． 所以． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等； （2）证明：如图②，过点作，因为， 所以， 所以，， 由（1）知：． 又， 所以． 因为． 所以， 所以， 因为平分． 所以， 所以， 所以； （3）解：，理由如下： 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 由（2）知：， 所以， 因为， 所以， 所以，， 而， 所以． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
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