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1.6 平行线几何模型（M模型）（基础篇） 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)
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专题1.15 平行线几何模型（M模型） （基础篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ） A．70° B．65° C．35° D．5° 2．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A．90° B．105° C．120° D．135° 3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ） A．70° B．65° C．35° D．50° 4．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ） A．120° B．130° C．140° D．150° 5．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 6．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ） A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90° 8．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 9．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ） A．101° B．103° C．105° D．107° 11．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 12．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ） A．30° B．150° C．120° D．100° 13．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ） A．100° B．60° C．40° D．20° 14．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 16．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 17．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度． 18．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________． 19．如图，，则____________________． 20．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____． 21．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______． 22．如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________． 23．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °． 24．如图，，平分，，，则__________． 25．如图，已知AB//CD，，，，则____度． 26．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3=___度． 三、解答题 27．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程： 证明：过点，作，如图2 ∴______（_________________） ∵，_______=（已知） ∴（___________） ∴______=_______ ∴_____（________________） ∵ ∴ 28．如图所示，已知，平分，平分，求证： 29．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）； （2）． 30．如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数. 参考答案 1．B 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 2．B 【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案. 解：作直线OE平行于直角三角板的斜边． 可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°， 故∠1的度数是：60°+45°＝105°． 故选B． 【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质. 3．B 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 4．B 【分析】过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数． 解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥AB， ∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5， 又∵∠CAD=90°， ∴∠4=50°， ∴∠5=50°， ∴∠1=180°-50°=130°， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 5．D 【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可． 解：详：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴ ∴ 故选：D． 【点拨】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线． 6．B 【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解． 解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， 又∵∠A＝110°， ∴∠C＝70°， ∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确， ∵∠C+∠D+∠CED＝180°， ∴∠D+∠CED＝110°， ∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确， ∵点E在AC上的任意一点， ∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 7．B 【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答． 解：如图，过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β， ∵∠BCD＝70°， ∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°， ∴∠α+∠β＝70°． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键. 8．C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴∠α+∠β-∠γ=180°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 9．D 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 10．B 【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题． 解：如图，∵直线a∥b， ∴∠AMO=∠2； ∵∠ANM=∠1，∠1=43°， ∴∠ANM=43°， ∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°， ∴∠2=∠AMO=103°． 故选：B． 【点拨】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础． 11．B 【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论． 解：如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°； 又∵∠BED=61°， ∴∠ABE+∠CDE=299°． ∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°， ∵四边形的BFDE的内角和为360°， ∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 12．D 解：过C作CQ∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°−30°=80°， ∴∠E=180°−80°=100°， 故选D. 13．A 解：过点C作CD∥a， ∵a∥b， ∴CD∥a∥b， ∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°， ∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°． 故选A． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质． 14．B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 15．D 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 【点拨】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论． 16．A 【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键． 17．20 【分析】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【点拨】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 18． 【分析】在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数． 解：在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形且． 过点C作交AB于点M，则，如下图所示， ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 19． 【分析】过点作的平行线，利用平行线的性质，即可证明． 解：过点作的平行线 ， 又 又 . 故答案为：． 【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线． 20．38° 【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数． 解：如图，过点B作BD∥a， ∴∠ABD=∠1=22°， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°． 故答案为：38°． 【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 21．y=90°-x+z． 【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可． 解：作CG//AB，DH//EF， ∵AB//EF， ∴AB//CG//HD//EF， ∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z ∵∠BCD＝90° ∴∠1+∠2=90°， ∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2， ∵∠2=90°-∠1=90°-∠x， ∴∠y=∠z+90°-∠x． 即y=90°-x+z． 【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 22．40°或140° 【分析】分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．进而得到结论． 解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB， ∴EG∥FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥FH∥AB∥CD， 如图， ∵EG∥AB∥CD， ∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG， ∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°， ∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F， ∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE， ∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°， ∵FH∥AB∥CD， ∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF， ∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°， 如图， ∵EG∥AB∥CD， ∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG， ∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°， ∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280° ∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F， ∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE， ∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°， ∵FH∥AB∥CD， ∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF， ∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°． 综上所述：∠MFN的度数为40°或140°． 故答案为：40°或140°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 23． 【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是． 解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM ∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°， ∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°； ∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）． 故答案为： 【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 24． 【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解． 解：过E点作EM∥AB， ∴∠B=∠BEM， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MED=∠D， ∴∠BED=∠B+∠D， ∵EF平分∠BED， ∴∠DEF=∠BED， ∵∠DEF+∠D=66°， ∴∠BED+∠D=66°， ∴∠BED+2∠D=132°， 即∠B+3∠D=132°， ∵∠B-∠D=28°， ∴∠B=54°，∠D=26°， ∴∠BED=80°． 故答案为：80°． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键． 25．90 解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD， ∴，， ，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即：， ∴． 故答案为：90． 【点拨】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键． 26．63 【分析】如图，易知∠3＝∠2－∠1，计算即可. 解：如图所示， 根据平行线的性质易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°. 【点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 27．BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程． 解：过点，作，如图2， （两直线平行 内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， ， （内错角相等 两直线平行）， ， ． 故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 28．见分析 【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论． 解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC． ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC． ∵∠3是三角形的外角， ∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1， ， 即∠E＋∠C＝∠C＋∠A， ∴∠E＝（∠A＋∠C）． 【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键． 29．（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可； （2）根据平行线的性质即可得证； 解：（1）过点作， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ，， ． （2） ， ， 又∵∠BED=∠BEF+∠DEF， ． 【点拨】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 30．. 【分析】先设，.由题意的 ，，又因为的余角等于的补角，所以，最终求得. 解：设，. 由基本图形HABCG知， 由基本图形HAFCG知， 因为的余角等于的补角， 所以，解得， 所以 【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线、余角和补角，解题的关键是设，，由题意得到有关x，y有关的等式.
专题1.15 平行线几何模型（M模型） （基础篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ） A．70° B．65° C．35° D．5° 2．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A．90° B．105° C．120° D．135° 3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ） A．70° B．65° C．35° D．50° 4．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ） A．120° B．130° C．140° D．150° 5．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 6．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ） A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90° 8．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 9．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ） A．101° B．103° C．105° D．107° 11．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 12．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ） A．30° B．150° C．120° D．100° 13．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ） A．100° B．60° C．40° D．20° 14．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 16．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 17．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度． 18．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________． 19．如图，，则____________________． 20．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____． 21．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______． 22．如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________． 23．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °． 24．如图，，平分，，，则__________． 25．如图，已知AB//CD，，，，则____度． 26．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3=___度． 三、解答题 27．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程： 证明：过点，作，如图2 ∴______（_________________） ∵，_______=（已知） ∴（___________） ∴______=_______ ∴_____（________________） ∵ ∴ 28．如图所示，已知，平分，平分，求证： 29．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）； （2）． 30．如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数. 参考答案 1．B 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 2．B 【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案. 解：作直线OE平行于直角三角板的斜边． 可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°， 故∠1的度数是：60°+45°＝105°． 故选B． 【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质. 3．B 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 4．B 【分析】过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数． 解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥AB， ∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5， 又∵∠CAD=90°， ∴∠4=50°， ∴∠5=50°， ∴∠1=180°-50°=130°， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 5．D 【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可． 解：详：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴ ∴ 故选：D． 【点拨】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线． 6．B 【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解． 解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， 又∵∠A＝110°， ∴∠C＝70°， ∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确， ∵∠C+∠D+∠CED＝180°， ∴∠D+∠CED＝110°， ∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确， ∵点E在AC上的任意一点， ∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 7．B 【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答． 解：如图，过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β， ∵∠BCD＝70°， ∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°， ∴∠α+∠β＝70°． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键. 8．C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴∠α+∠β-∠γ=180°， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 9．D 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 10．B 【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题． 解：如图，∵直线a∥b， ∴∠AMO=∠2； ∵∠ANM=∠1，∠1=43°， ∴∠ANM=43°， ∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°， ∴∠2=∠AMO=103°． 故选：B． 【点拨】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础． 11．B 【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论． 解：如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°； 又∵∠BED=61°， ∴∠ABE+∠CDE=299°． ∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°， ∵四边形的BFDE的内角和为360°， ∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°． 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 12．D 解：过C作CQ∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°−30°=80°， ∴∠E=180°−80°=100°， 故选D. 13．A 解：过点C作CD∥a， ∵a∥b， ∴CD∥a∥b， ∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°， ∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°． 故选A． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质． 14．B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 15．D 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 【点拨】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论． 16．A 【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键． 17．20 【分析】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【点拨】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 18． 【分析】在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数． 解：在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形且． 过点C作交AB于点M，则，如下图所示， ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 19． 【分析】过点作的平行线，利用平行线的性质，即可证明． 解：过点作的平行线 ， 又 又 . 故答案为：． 【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线． 20．38° 【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数． 解：如图，过点B作BD∥a， ∴∠ABD=∠1=22°， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°． 故答案为：38°． 【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 21．y=90°-x+z． 【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可． 解：作CG//AB，DH//EF， ∵AB//EF， ∴AB//CG//HD//EF， ∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z ∵∠BCD＝90° ∴∠1+∠2=90°， ∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2， ∵∠2=90°-∠1=90°-∠x， ∴∠y=∠z+90°-∠x． 即y=90°-x+z． 【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 22．40°或140° 【分析】分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．进而得到结论． 解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB， ∴EG∥FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥FH∥AB∥CD， 如图， ∵EG∥AB∥CD， ∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG， ∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°， ∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F， ∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE， ∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°， ∵FH∥AB∥CD， ∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF， ∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°， 如图， ∵EG∥AB∥CD， ∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG， ∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°， ∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280° ∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F， ∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE， ∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°， ∵FH∥AB∥CD， ∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF， ∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°． 综上所述：∠MFN的度数为40°或140°． 故答案为：40°或140°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 23． 【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是． 解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM ∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°， ∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°； ∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）． 故答案为： 【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 24． 【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解． 解：过E点作EM∥AB， ∴∠B=∠BEM， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MED=∠D， ∴∠BED=∠B+∠D， ∵EF平分∠BED， ∴∠DEF=∠BED， ∵∠DEF+∠D=66°， ∴∠BED+∠D=66°， ∴∠BED+2∠D=132°， 即∠B+3∠D=132°， ∵∠B-∠D=28°， ∴∠B=54°，∠D=26°， ∴∠BED=80°． 故答案为：80°． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键． 25．90 解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD， ∴，， ，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即：， ∴． 故答案为：90． 【点拨】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键． 26．63 【分析】如图，易知∠3＝∠2－∠1，计算即可. 解：如图所示， 根据平行线的性质易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°. 【点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 27．BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程． 解：过点，作，如图2， （两直线平行 内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， ， （内错角相等 两直线平行）， ， ． 故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 28．见分析 【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论． 解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC． ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC． ∵∠3是三角形的外角， ∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1， ， 即∠E＋∠C＝∠C＋∠A， ∴∠E＝（∠A＋∠C）． 【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键． 29．（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可； （2）根据平行线的性质即可得证； 解：（1）过点作， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ，， ． （2） ， ， 又∵∠BED=∠BEF+∠DEF， ． 【点拨】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 30．. 【分析】先设，.由题意的 ，，又因为的余角等于的补角，所以，最终求得. 解：设，. 由基本图形HABCG知， 由基本图形HAFCG知， 因为的余角等于的补角， 所以，解得， 所以 【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线、余角和补角，解题的关键是设，，由题意得到有关x，y有关的等式.
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