【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型17 5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）

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技法01 分组求和的应用及解题技巧
技法02 裂项相消的应用及解题技巧
技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧
技法04 奇偶并项的应用及解题技巧
技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧
技法01 分组求和的应用及解题技巧
分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中的常考考点，需强加练习
例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
（1）
（2）.
所以的前项和.
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求；
（2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和．
【详解】（1）由数列是首项为1，公差为d的等差数列，可得．
又，，是等比数列的前三项，可得，
即有，解得或，
时，，不能作为等比数列的项，舍去，
所以；
（2）由（1）可得等比数列的前三项为1，2，4，则首项为1公比为2，，
所以，
数列的前n项和
2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）分组求和即可.
【详解】（1）数列为等比数列，
，．
设的公比为，
则，，
，解得或．
由单调递增，得，
故．
（2）由上可知，，
．
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解.
【详解】（1）由题意得．
又因为，所以．
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得．
所以．
所以
.
技法02 裂项相消的应用及解题技巧
裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习
知识迁移 常见的裂项技巧：
例2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（1）的通项公式；
（2）
∴
1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求解；
（2）利用裂项相消法求和，再结合不等式的性质求出的取值范围.
【详解】（1），
∴，，
∴,
∴当时，；
当时，也符合上式，
∴．
（2），
∵
，
∴，
当时，满足，
当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），
使得，则，
∴，不满足条件，
∴．
2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.
（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列的前项和满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，若成等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将替换得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证明即可；
（2）先根据条件求解出的通项公式，然后代入的通项，通过裂项先化简，然后用裂项相消法进行求和.
【详解】（1）由题可知，
因为，
所以时，，
两式相减得，
化简可得，且满足条件，
综上可得，是公差为的等差数列；
（2）因为，故，解得，
所以，
所以，
所以
所以.
4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
技法03 错位相减的应用及解题技巧
错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习
知识迁移 万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
例3．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
（1）．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
也可以用万能公式求出ABC直接求解
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算得到，根据等比数列公式得到，计算得到答案.
（2）确定，则， ，相减计算得到答案.
【详解】（1），是公差为的等差数列，，即，
当时，，满足通项公式，则.
是正项等比数列，设公比为，则，
，而，故，，即.
（2），
， ，
两式相减得到：
故.
2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式；
（2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解.
【详解】（1）由，得，
由，得， ，因为是正项数列，，
；
（2） ，
则当时，，
所以，
两式相减得
，
即，
因为满足，
所以.
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据的关系求通项公式；
（2）利用错位相减法和裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
所以当时，，故；
当时，，
作差，得，
即，此式对也成立，
故数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，，
不妨令，且数列的前n项和，
则，
，
作差，得，
即．
则
，
即数列的前n项和为.
4．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)．
【分析】（1）根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解；
（2）利用错位相减法求和即可得解.
【详解】（1）由，得，
所以．
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
故．
（2）由（1）知．
设的前项和为，
所以，①
，②
①－②得
.
所以．
技法04 奇偶并项的应用及解题技巧
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习
例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
（1）.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
（1）.
（2）由（1）得：，即，
当为奇数时，；当为偶数时，；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接得到的通项公式，由作差得到，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
∵①，
当时，②，
，
，，
∵，
∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，．
（2）由（1）可得，
∴
．
2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；
（2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
3．（天津·统考高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将代入可求出，从而进出，故可求出；再由等差数列的前项和求出，代入可求出，再由等比数列的前项和求出，，进而求出；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求出数列的前项的和.
【详解】（1），解得：
设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为
，，
，则：
又，得：
（2）
数列的前项的和：.
5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
技法05 周期综合的应用及解题技巧
数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习
例5-1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ）
A．2B．3C．D．
依题意，，，所以，，
所以数列是周期为的周期数列，，，
所以数列前项的积为，故选：B
例5-2．（2023下·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240B．1830C．2520D．2760
由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.
故.
故选：D.
例5-3．（2023·安徽模拟）数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A．B．C．D．
由二倍角公式得出，，，
.
故选：A.
1．（2023·河北·校联考模拟预测）在数列中，，则 .
【答案】
【分析】根据题意，推得，得到数列的一个周期为，求得的值，结合，即可求解.
【详解】由，可得，所以，即，
所以，所以数列的一个周期为，
又由，
所以，所以.
故答案为：.
2．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知数列满足，，则 .
【答案】2
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意，，所以，，，，，，
从而是以6为周期的周期数列，
故.
故答案为：2.
3．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知数列满足，，数列满足，，设数列和的前项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由递推关系可得数列和的周期为4，结合条件可得，即得.
【详解】因为，，
所以，，，，
所以数列的周期为4，
同理可得数列的周期为4，且，，，，
所以，又，
所以，又，
所以或(舍去).
故选：A.
4．数列满足，则数列的前项和等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.
【详解】当为正奇数时，由题意可得，，
两式相减得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相加得.
因此，数列的前项和为.
故选:A.
【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
5．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．B．C．180D．240
【答案】D
【分析】分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.
【详解】当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，.
，.
故选：D
6．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则 ；的前40项和为 .
【答案】 0 420
【分析】由和递推式求出，再可求出，再对分别取奇偶数，得到两组等式，利用累加法可求出的前40项和
【详解】因为，，所以，得，
所以，所以，
因为，
所以，，，……，，，①
所以，②
因为，，，……，，③
所以，④
由①③得，所以
②式减去④式得，
所以，
所以，
故答案为：0，420
【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的项与前项的和，解题的关键是对分别取奇偶数，得到两组等式，再由这两组等式作加减运算可得结果，考查数学计算能力，属于较难题.
7．（2022上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）在数列中，，，，则的前2022项和为 .
【答案】1015
【分析】分奇偶项讨论，结合并项求和运算求值.
【详解】∵，令，则，故，
当为偶数时，则，，
∴；
当为奇数时，则，，
∴；
设数列的前n项和，
则
.
故答案为：1015.


指数型
对数型