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【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值
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这是一份【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值，文件包含题型08手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值原卷版docx、题型08手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
技法01 具体函数的单调性
技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性
技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性
技法04 二阶导函数求函数的单调性
技法05 函数的极值最值
技法01 具体函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点
知识迁移
导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减
例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性
【详解】的定义域为．
由得，，
令，则，当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间
【详解】当a=3时，，．
令解得x=或x=．
当时，
当时．
所以函数的增区间是和，减区间是．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间
5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性
技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点
例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性；
【详解】因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性．
【详解】由题意函数的定义域为．
当时，若，则单调递增；
若，则单调递减．
当时，令，得或．
①当时，，则在上单调递增．
②当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
③当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；
【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：
情形一：当时，有，令，解得，
所以当时，有，此时单调递减，
当时，有，此时单调递增；
所以在单调递减，在单调递增；
情形二：当时，令，解得，
接下来又分三种小情形来讨论的单调性：
情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；
情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；
情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性.
4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间；
5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性
技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点
例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，讨论的单调性；
【详解】定义域为，因为，
所以.
令，则，
所以，
当时，，此时，所以在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，即在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增
例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知，讨论的单调性；
2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数（），讨论的单调性；
3．（2023·广西·模拟预测）已知（）．讨论的单调性；
技法04 二阶导函数求函数的单调性
在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”，因此函数的二阶导数的应用尤为重要。
例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，，若，求函数的单调区间
【详解】，，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
例4-2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．当时，求函数的单调性．
【详解】令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
若，讨论的单调性；
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
当时，讨论单调性；
技法05 函数的极值最值
导数及其应用是中学数学的核心内容,也是每年高考考查的重点和热点,无论是客观题还是解答题，多数情况下处于压轴题的位置，起着“把关定向”的作用.高考数学“成也导数，败也导数”是导数试题重要性的真实写照.极值和最值是函数的两条最重要的性质，用导数研究函数的极值和最值更是高考命题考查的热点
知识迁移
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．求a
【详解】的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若在存在极值，求a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数，求的极值
2．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
证明存在唯一的极值点
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
4．（2023·四川自贡·统考一模）函数的最小值为m.
(1)判断m与2的大小，并说明理由；
(2)求函数的最大值.
增
极大值
减
极小值
增
技法01 具体函数的单调性
技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性
技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性
技法04 二阶导函数求函数的单调性
技法05 函数的极值最值
技法01 具体函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点
知识迁移
导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减
例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性
【详解】的定义域为．
由得，，
令，则，当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间
【详解】当a=3时，，．
令解得x=或x=．
当时，
当时．
所以函数的增区间是和，减区间是．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性
4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间
5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性
技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点
例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性；
【详解】因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性．
【详解】由题意函数的定义域为．
当时，若，则单调递增；
若，则单调递减．
当时，令，得或．
①当时，，则在上单调递增．
②当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
③当时，，则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；
【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：
情形一：当时，有，令，解得，
所以当时，有，此时单调递减，
当时，有，此时单调递增；
所以在单调递减，在单调递增；
情形二：当时，令，解得，
接下来又分三种小情形来讨论的单调性：
情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；
情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；
情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性.
4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间；
5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性
技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点
例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，讨论的单调性；
【详解】定义域为，因为，
所以.
令，则，
所以，
当时，，此时，所以在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，即在上单调递减.
当时，令，则，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增
例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知，讨论的单调性；
2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数（），讨论的单调性；
3．（2023·广西·模拟预测）已知（）．讨论的单调性；
技法04 二阶导函数求函数的单调性
在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”，因此函数的二阶导数的应用尤为重要。
例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，，若，求函数的单调区间
【详解】，，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
例4-2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．当时，求函数的单调性．
【详解】令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
若，讨论的单调性；
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
当时，讨论单调性；
技法05 函数的极值最值
导数及其应用是中学数学的核心内容,也是每年高考考查的重点和热点,无论是客观题还是解答题，多数情况下处于压轴题的位置，起着“把关定向”的作用.高考数学“成也导数，败也导数”是导数试题重要性的真实写照.极值和最值是函数的两条最重要的性质，用导数研究函数的极值和最值更是高考命题考查的热点
知识迁移
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
例5-1．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．求a
【详解】的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
例5-3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若在存在极值，求a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数，求的极值
2．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
证明存在唯一的极值点
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
4．（2023·四川自贡·统考一模）函数的最小值为m.
(1)判断m与2的大小，并说明理由；
(2)求函数的最大值.
增
极大值
减
极小值
增
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