2022高考数学选填经典题型汇编 题型10 以分段函数为背景的解不等式

题型10   以分段函数为背景的解不等式

【方法点拨】

1. 遇绝对值往往直接转化为分段函数解决.
2. 以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）.

【典型题示例】

例1    (2021·全国乙卷·理23改编)已知函数．（1）当时，不等式的解集是            ;（2）若，则实数a的取值范围是           ．

【答案】（1）.（2）.

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，,故，

所以或，

解得.

点评：

解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.

例2    已知函数,则不等式的解集是        ．

【答案】.

【分析】在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出．

【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【巩固训练】

1.已知函数，则关于x的不等式的解集为      ．

2.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(0，＋∞)

C．(－1,0)   D．(－∞，0)

3.已知f (x)＝(x＋1) |x|－3x．若对于任意x∈R，总有f (x)≤f (x＋a)恒成立，则常数a的最小值是______．

4.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是              .

5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为              ．

6.已知函数，则不等式的解集为__________.

7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为            ．

【答案与提示】

1.【答案】

【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当

即时，，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故,

所以不等式的解集为.

2.【答案】　D

【解析】　法一：分类讨论法

①当即x≤－1时，

f(x＋1)<f(2x)，即为2－(x＋1)<2－2x，

即－(x＋1)<－2x，解得x<1.

因此不等式的解集为(－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1<x≤0时，

f(x＋1)<f(2x)，即为1<2－2x，解得x<0.

因此不等式的解集为(－1,0)．

④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．

综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0)．

法二：数形结合法

∵f(x)＝

∴函数f(x)的图象如图所示．

结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)，

则需或

∴x<0，故选D.

3.【答案】3＋．

【提示】f (x)＝，作出函数f (x)的图象得：

作平行于x轴的直线l与f(x)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M，N，如图所示，则a的最小值即为线段MN长的最大值．设直线l的方程为y＝t，

可得MN＝3＋＋＝3＋＝3＋

≤3＋＝3＋

  所以，a的最小值是3＋

【说明】

1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a的最小值即为线段MN长的最大值．

2.本题也可使用导数知识解决.

4.【答案】

【解析】设，则对任意的恒成立，意即将图象上的每一点向左平移个单位后，所得到的图象不可能在的上方.

因为

如图，由图象得，，又因为，故.

5.【答案】

【提示】利用奇函数，求出时，，代入分段求出，或直接使用图象，数形结合求出.

6.【答案】

【提示】去绝对值，分段求出，或直接使用图象，数形结合求出.

7.【答案】[－，].