2022高考数学选填经典题型汇编 题型49 （一元二次）不等式整数解的个数

题型49   （一元二次）不等式整数解的个数

【方法点拨】

不等式（一般是一元二次不等式）的整数解的个数问题，一般采用“分离函数”的方法转化为两函数图象间的位置关系较简单，分离函数的的一般策略是“一动一静，一直一曲，动直定曲”.

【典型题示例】

例1    若关于的不等式的解集中整数恰有3个，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析一】原不等式转化为，

则，即

而的解为，

由得：，则，

解之得：.

【解析二】易知，则原不等式可化为，

令，

问题转化为两函数、图象问题，当的图象在的图象的下方时的横坐标为整数点有且仅有三个，如下图

则，，解之得

故实数的取值范围是.

.

【解析三】仿解法二，易知，则原不等式可化为，

令 ，，下同解法二利用图象

则，即，解之得

故实数的取值范围是.

点评：

     解法一是直接利用“数”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为对应的一元二次方程的解之间恰有三个整数，先将其中一个根的范围进行缩定，然后推测其另一个根的范围，利用之布列不等式求解.解法难度较大，不建议使用.

而解法二、三，其关键是利用“形”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为满足不等关系的函数图象间的横坐标恰有三个整数，从两种解法可以看出，解法三更简单，可谓实现“秒杀”，这对学生的转化能力提出更高的要求.该方法的重中之重在于“分离函数”的能力，一般遵循“一动一静，一直一曲，动直定曲”的原则进行.

例2    已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，其中.若在区间内存在唯一整数，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】利用导数的几何意义，不难得出是方程的两个根，分离函数，问题转化为两函数的交点横坐标间存在唯一整数，利用“形”，易知该整数为1，故只需，解之得.

【巩固训练】

1.（多选题）若关于的不等式组的整数解的集合为，则整数k的值可以是_________.

A.－3；    B. 0；        C. 1；     D. 2 .

2.若关于的不等式的解集中至多包含2个整数，则实数的取值范围是_________.

A.(－3,5)；    B. (－3,2)；        C. [－3,5]；     D. [－2,4] .

3.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（   ）

A．          B．  C．       D．

4.设0＜b＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（   ）            

A．   B．   C．   D．

5.已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是_________.

6. 若关于x 的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是            .            

7. 若关于的不等式只有两个整数解1和2，则实数的值是_______．

【答案与提示】

1.【答案】ABC

【提示】由得，，故，即.

2.【答案】C

【提示】由结合数轴立得.

3.【答案】B．

【解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，选B.

4.【答案】C

【解析】由题得不等式，设，，利用函数图象转化为其在点处的函数值大小关系.

5.【答案】

6.【答案】

【解析】分离变量，不等式x2ax+2a<0可转化为x2<a（x2），构造函数f(x)=x2，g(x)= a（x2）.

如图一，当a>0，利用导数易求出切点P（4,16），欲使不等式x2ax+2a<0的解集中恰有两个整数，其解集中必要整数4，则另一解必为3或5，比较过这两点的直线的斜率，可得；如图二，当a<0，欲使不等式x2ax+2a<0的解集中恰有两个整数，其解集中必要整数0，则另一解必为1或-1，比较过这两点的直线的斜率，可得；

综上可得，实数a的取值范围是：或.

7.【答案】0

【分析】先解出不等式，然后根据整数解确定的值．

【解析】原不等式化为，所以，

因为整数中只有1，2是不等式的解，0和3都是不是解，则，所以．

时，不等式的解为满足题意．

故答案为：0．