第 1 章《 空间向量与立体几何》复习课件+单元测试（含答案解析）-人教版高中数学选修一

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第1章《空间向量与立体几何》复习人教版高中数学选修一01空间向量的概念及运算02利用空间向量证明位置关系03利用空间向量计算距离04利用空间向量求空间角目录05空间中的折叠与探究性问题 教学目录核心导图一、空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.2.向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力.核心考点1(2)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是√√又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，因此D正确，其余两个都不正确.√解析　设P(0,0，z)，则有解得z＝3.(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，二、利用空间向量证明位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.例2 如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.设PA=AD=a,AB=b,则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分别为AB,PC的中点, 利用空间向量证明平行、垂直关系的方法(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量.(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题.(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.跟踪训练2 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有侧棱长及底面边长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.证法三:如图,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都为中点,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.三、利用空间向量计算距离1.空间距离的计算思路2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.例3 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的长;(2)求点C到平面AEC1F的距离.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z). 由题意得AEC1F为平行四边形,向量法求点面距离的步骤 跟踪训练3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点.(1)求证:AD∥平面A1EFD1;(2)求直线AD与平面A1EFD1的距离.又D1A1⊂平面A1EFD1,DA⊄平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.证明:(1)如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cos θ＝|cos〈m，n〉|.2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.四、利用空间向量求空间角例4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.(1)求异面直线A1D与AM所成的角;(2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值.解:以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4). 向量法求线面角、两平面夹角的方法(1)利用空间向量求直线与平面所成的角的两种方法:①分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量,将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,则其余角就是斜线和平面所成的角.(2)利用空间向量求两平面夹角的两种方法:①利用定义,分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得两平面的夹角;②通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则两平面夹角的大小等于(或π-),注意取锐角或直角.跟踪训练4 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,点E是PB的中点.(1)求异面直线AE与CP所成角的余弦值;(2)若点F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求点F的坐标;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解:(1)如图所示建立空间直角坐标系D-xyz.由题意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E为PB的中点,∴E(1,1,1),例5 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求平面ADC1与平面ABC夹角的余弦值;(3)线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.五、空间中的折叠与探究性问题 (1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD,如图.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD.因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解:由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直,以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),(3)解:存在.假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2. 解决存在性问题的基本策略假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.跟踪训练5 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=(1)求证:PD⊥PB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(1)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD于AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB.又∵PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解:如图,取AD中点为O,连接CO,PO.例6 如图①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2 ,E,F分别是CD的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚线AF,BE折起,使得点C和点D重合,记为点P,如图②.(1)求证:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE与平面PAB夹角的余弦值.(1)证明:∵四边形ABCD为等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2 ,E,F是CD的两个三等分点,∴四边形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE⊂平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解:过点P作PO⊥EF于点O,过点O作BE的平行线交AB于点G,则PO⊥平面ABEF,以O为坐标原点,以OG,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 解决与折叠有关问题的方法解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(1)证明:取AD的中点O,连接OB,OP,∵BA=BD,EA=ED,即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD,又OB∩OP=O,∴AD⊥平面BOP,而PB⊂平面BOP,∴PB⊥AD.(2)解:∵OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,∴PO⊥OB,∴OP,OB,OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,高考真题答案:C 解析:作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.3.(2019·全国Ⅰ高考)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4, AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.4.(2019·全国Ⅱ高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.(1)证明:由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.人教版高中数学选修一课程结束