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第二章 相交线与平行线（单元测试卷）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版）
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相交线与平行线—单元测试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列作图语句正确的是（ ） A．延长直线AB到C，使AB=BC B．延长射线AB C．过点A作AB//CD//EF D．作∠AOB的平分线OC 【答案】D 【详解】解：A、B、直线和射线无法延长；C、过直线外的一点只能作一条直线的平行线． 故选：D． 【点拨】本题考查了直线，射线，平行线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（ ） A．30° B．60° C．90° D．180° 【答案】B 【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可． 【详解】解：180°−150°＝30°，那么这个角的余角是90°−30°＝60°． 故选B． 【点拨】本题考查互余和互补的概念，和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角． 3．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果AB∥CD，那么（ ） A．∠1＞∠2 B．∠1=∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1+∠2=180° 【答案】B 【详解】如图，∵AB∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2． 故选B． 【点拨】平行线的性质：两直线平行，同位角相等. 4．如图所示，下列判断错误的是（ ） A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线 B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3 C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC D．若∠2＝∠3，则AD∥BC 【答案】B 【详解】A、∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， 又∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线； B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2=∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3； C、∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角 则AD∥BC； D、内错角∠2=∠3，则AD∥BC． 故选：B． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。 5．下列结论正确的是 （ ） A．不相交的直线互相平行 B．不相交的线段互相平行 C．不相交的射线互相平行 D．有公共点的两条直线一定不平行 【答案】D 【分析】根据同一平面内，不相交的直线互相平行，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行，依次判断各项即可． 【详解】A、同一平面内，不相交的直线互相平行，故本选项错误； B、两条线段平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误； C、两条射线平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误； D、有公共点的两条直线一定不平行，本选项正确， 故选D. 【点拨】本题主要考查根据同一平面内，不相交的直线互相平行，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行， 6．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则∠α的度数等于（ ） A．50° B．60° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30°=180°，列方程求解． 【详解】解：∵ADBC， ∴∠2=∠1=30°， ∴2α+30°=180°， ∴α=75°， 故选：C． 【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．关键是明确2∠α与∠2的互补关系． 7．如图所示,下列推理正确的是 ( ) A．因为∠1=∠4,所以BC∥AD B．因为∠2=∠3,所以AB∥CD C．因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180° D．因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）判断即可． 【详解】A、∵∠1=∠4， ∴AB∥CD，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠2=∠3， ∴BC∥AD，故本选项错误，不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠BCD+∠ADC=180°，故本选项正确，不符合题意； D、∵∠1+∠2+∠C=180°， ∴AB∥CD，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的判定定理的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 8．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ） A．32° B．58° C．68° D．60° 【答案】B 【详解】根据题意可知∠1+∠2=90°， 所以∠2=90°-∠1=58°． 故选B 【点拨】本题考查了平行线的性质及互为余角的概念。 9．把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有( ) （1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）∵AE∥BG，∠EFB=32°， ∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小题正确； （2）由翻折可知∠GEF=∠C′EF=32°， ∴∠AEC＝180°-32°-32°＝116°，故本小题正确； （3）∵∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，AC′∥BD′， ∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小题正确； （4）∵∠BGE=64°， ∴∠CGF=∠BGE=64°， ∵DF∥CG， ∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确． 综上可知正确的有4个． 故选D． 【点拨】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 10．如图：AB∥DE，∠B=30°，∠C=110°，∠D的度数为（ ） A．115° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【详解】试题解析：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∵∠B=30°， ∴∠1=30°， ∵∠C=110°， ∴∠2=80°， ∴∠D=180°-∠2=180°-80°=100°． 故选C． 【点拨】本题考查的是平行线的性质 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11．如图，∠1=75°，∠2=120°，∠3=75°，则∠4=_________． 【答案】60° 【详解】∵∠1=75°=∠3， ∴上下两条直线平行， ∴∠4加上∠2的对顶角等于180°， ∴∠4=180°﹣∠2=180°﹣120°=60°， 故答案为：60° 【点拨】本题考查的是平行线的性质。 12．如图，DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=80°，则∠ABD=_____°，∠A=_____°． 【答案】 50°##50度 80°##80度 【详解】解：∵DE∥AB， ∴ ∵ DB平分∠ADE， ∴ ∴ 故答案为 【点拨】本题考查的是平行线的性质及角平分线的性质。 13．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是_________；DE与AC被直线AD所截得的内错角是__________；图中∠4的内错角是________． 【答案】 ∠1和∠3 ∠2和∠4 ∠5和∠2 【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 【详解】结合图形可得AB与BC被AD所截得的内错角是∠1和∠3； DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4； 因为∠4和∠5是直线AB和AD被直线ED所截构成的内错角，∠4和∠2是直线DE和AC被直线AD所截构成的内错角， 所以图中∠4的内错角是∠5和∠2． 故答案为：∠1和∠3；∠2和∠4；∠5和∠2 【点拨】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键． 14．如图,已知AD∥BE,∠1=20°,∠DCE=45°,则∠2的度数为______． 【答案】25° 【分析】先根据平行线的性质得出∠DCE=∠ADC=45°，再由∠1=20°即可得出结论． 【详解】∵AD∥BE，∠DCE=45°， ∴∠DCE=∠ADC=45°． ∵∠1=20°， ∴∠2=∠ADC-∠1=45°-20°=25°． 故答案是：25°． 【点拨】此题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，解题关键是运用了两直线平行，内错角相等． 15．如图所示,∠1和∠2是直线___,__被第三条直线___所截得的___角. 【答案】 AC BD AB 同位 【分析】根据“两直线被第三条直线所截，在被截线的同一方，在截线的同一侧的角是同位角”，∠1与∠2符合定义，是同位角． 【详解】如图所示， ∠1和∠2具有公共边AB，另外两条边分别在直线AC和BD上， 故∠1、∠2是两条直线AC和BD被第三条直线AB所截的同位角． 【点拨】准确掌握同位角的定义是解决本题的关键，学生对几何学习中的概念往往不予重视，造成学习上的困难，导致学习失败，所以要重视概念，重视公理、定理． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16．（6分）如图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试说明AD∥BC．完成推理过程： ∵AB∥DC（已知） ∴∠1=∠CFE（ ） ∵AE平分∠BAD（已知） ∴∠1= ∠2 (角平分线的定义) ∵∠CFE=∠E(已知) ∴∠2= （等量代换） ∴AD∥BC（ ） 【答案】两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行． 【分析】由AB与DC平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由AE为角平分线，得到一对角相等，再根据已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】解：∵AB∥DC（已知） ∴∠1=∠CFE（两直线平行，同位角相等） ∵AE平分∠BAD（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∵∠CFE=∠E（已知） ∴∠2=∠E（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质． 17．（6分）小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生 产了一种如图所示的零件， 工人师傅告诉他：AB∥CD，∠BAE=45°，∠1=60°，小明马上运用已学的数学知识得出∠ECD的度数．你能求出∠ECD的度数吗？如果能，请写出理由． 【答案】∠ECD=15°，理由详见解析. 【分析】首先过点E作EF∥AB，又由AB∥CD可得EF∥AB∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，求得的度数与又由 即可求得的度数． 【详解】解： 理由：如图,过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴ ∴ ∴ 【点拨】本题考查平行线的判定与性质． 18．（6分）按要求作图．不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点P，Q分别在的边OA，OB上，①作直线PQ；②过点P作OB的垂线，垂足为点D；③过点Q作OA的平行线QH． 【答案】见解析 【分析】①以P为端点，过点Q，用直尺画直线PQ即可； ②过点P作OB的垂线，垂足为D，PD即为OB边上的垂线段； ③过点Q作∠HQB=∠O，即可得出OA的平行线． 【详解】解：①直线PQ即为所求； ②直线PD即为所求，要求标出垂足符号； ③直线QH即为所求． 【点拨】此题主要考查了基本作图作直线以及过直线外一点作垂线和做已知直线的平行线等知识，此题难度不大注意灵活的应用相关知识． 19．（6分）已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数． 【答案】90° 【分析】根据角平分得出∠AOF=∠FOE，根据垂直得出∠COE=90°，然后通过角度的转化得出结论． 【详解】解：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF=∠FOE， ∵OE⊥CD， ∴∠COE=90°， ∴∠AOF+∠COF=∠FOE+∠COF=∠COE=90°． 【点拨】题目主要考查利用角平分线及各角之间的关系计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 20．（6分）如图，AB∥CD，直线EF交AB、CD于点G、H．如果GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？为什么？ 【答案】GM∥HN，理由见解析 【分析】首先根据平行线的性质得∠BGH=∠CHG，再根据角平分线的定义，得∠NHG=∠CHG，∠MGH=∠BGH，可得∠NHG=∠MGH，进而根据平行线的判定定理得出答案即可. 【详解】GM∥HN，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BGH=∠CHG． ∵GM平分∠BGF，HN平分∠CHE， ∴∠NHG=∠CHG，∠MGH=∠BGH， ∴∠NHG=∠MGH， ∴GM∥HN． 【点拨】本题主要考查了平行线得性质和判定，灵活选择平行线的性质和判定定理是解题的关键. 21．（8分）如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数． 【答案】20° 【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可． 【详解】∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC， ∴∠ACB＋∠DAC＝180°， ∵∠DAC＝120°， ∴∠ACB＝60°， 又∵∠ACF＝20°， ∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°， ∵CE平分∠BCF， ∴∠BCE＝20°， ∵EF∥BC， ∴∠FEC＝∠ECB， ∴∠FEC＝20°． 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 22．（8分）已知任意三角形ABC， （1）如图1，过点C作DE//AB，求证：∠DCA=∠A； （2）如图1，求证：三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°； （3）如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F； （4）如图3，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F． 【答案】（1）证明见解析（2）三角形的内角和为180°（3）∠AGF=∠AEF+∠F（4）29.5° 【分析】（1）根据平行线的性即可得到结论； （2）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决； （3）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （4）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵DE//BC， ∴∠DCA=∠A； （2）如图1所示，在△ABC中，∵DE//BC， ∴∠A=∠1，∠B=∠2（内错角相等）． ∵∠1+∠BCA+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠BCA=180°． 即三角形的内角和为180°； （3）∵∠AGF+∠FGE=180°，由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°， ∴∠AGF=∠AEF+∠F； （4）∵AB//CD，∠CDE=119°， ∴∠DEB=119°，∠AED=61°， ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=59.5°， ∴∠AEF=120.5°， ∵∠AGF=150°，∠AGF=∠AEF+∠F， ∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°． . 23．（9分）已知平面上有两条直线AB和CD，E是平面上该两直线处一点． （1）如图1，若直线AB∥CD，∠ABE=40°，∠CDE=25°，则∠BED= ； （2）若将E点移至图2所示位置，且∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，则AB与CD的位置关系是 ；请说明理由． （3）探索：如图3，在（1）的基础上，再增加两个拆点，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是 . 【答案】(1)65°；(2) AB∥CD；(3) ∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理可得EF∥CD，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，然后根据∠BED=∠1+∠2计算即可得解； （2）连接BD，根据三角形内角和定理得出∠E+∠EDB+∠EBD=180°，求出∠ABD+∠CDB=180°，根据平行线的判定推出即可； （3）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE， ∴∠BED=∠1+∠2=40°+25°=65°， 故答案为65°； （2）AB∥CD， 理由：连接BD， ∵∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∠E+∠EDB+∠EBD=180°， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴AB∥CD； 故答案为AB∥CD； （3）由（1）的结论得，∠1+∠2+∠4=∠5+∠3， 故答案为∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【点拨】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，利用性质解决问题．
相交线与平行线—单元测试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列作图语句正确的是（ ） A．延长直线AB到C，使AB=BC B．延长射线AB C．过点A作AB//CD//EF D．作∠AOB的平分线OC 【答案】D 【详解】解：A、B、直线和射线无法延长；C、过直线外的一点只能作一条直线的平行线． 故选：D． 【点拨】本题考查了直线，射线，平行线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（ ） A．30° B．60° C．90° D．180° 【答案】B 【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可． 【详解】解：180°−150°＝30°，那么这个角的余角是90°−30°＝60°． 故选B． 【点拨】本题考查互余和互补的概念，和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角． 3．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果AB∥CD，那么（ ） A．∠1＞∠2 B．∠1=∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1+∠2=180° 【答案】B 【详解】如图，∵AB∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2． 故选B． 【点拨】平行线的性质：两直线平行，同位角相等. 4．如图所示，下列判断错误的是（ ） A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线 B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3 C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC D．若∠2＝∠3，则AD∥BC 【答案】B 【详解】A、∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， 又∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线； B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2=∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3； C、∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角 则AD∥BC； D、内错角∠2=∠3，则AD∥BC． 故选：B． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。 5．下列结论正确的是 （ ） A．不相交的直线互相平行 B．不相交的线段互相平行 C．不相交的射线互相平行 D．有公共点的两条直线一定不平行 【答案】D 【分析】根据同一平面内，不相交的直线互相平行，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行，依次判断各项即可． 【详解】A、同一平面内，不相交的直线互相平行，故本选项错误； B、两条线段平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误； C、两条射线平行是指它们所在的直线平行，故本选项错误； D、有公共点的两条直线一定不平行，本选项正确， 故选D. 【点拨】本题主要考查根据同一平面内，不相交的直线互相平行，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行， 6．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则∠α的度数等于（ ） A．50° B．60° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30°=180°，列方程求解． 【详解】解：∵ADBC， ∴∠2=∠1=30°， ∴2α+30°=180°， ∴α=75°， 故选：C． 【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．关键是明确2∠α与∠2的互补关系． 7．如图所示,下列推理正确的是 ( ) A．因为∠1=∠4,所以BC∥AD B．因为∠2=∠3,所以AB∥CD C．因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180° D．因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）判断即可． 【详解】A、∵∠1=∠4， ∴AB∥CD，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠2=∠3， ∴BC∥AD，故本选项错误，不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠BCD+∠ADC=180°，故本选项正确，不符合题意； D、∵∠1+∠2+∠C=180°， ∴AB∥CD，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的判定定理的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 8．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ） A．32° B．58° C．68° D．60° 【答案】B 【详解】根据题意可知∠1+∠2=90°， 所以∠2=90°-∠1=58°． 故选B 【点拨】本题考查了平行线的性质及互为余角的概念。 9．把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°则下列结论正确的有( ) （1）∠C′EF=32°；（2）∠AEC=116°；（3）∠BGE=64°；（4）∠BFD=116°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）∵AE∥BG，∠EFB=32°， ∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小题正确； （2）由翻折可知∠GEF=∠C′EF=32°， ∴∠AEC＝180°-32°-32°＝116°，故本小题正确； （3）∵∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，AC′∥BD′， ∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小题正确； （4）∵∠BGE=64°， ∴∠CGF=∠BGE=64°， ∵DF∥CG， ∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确． 综上可知正确的有4个． 故选D． 【点拨】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 10．如图：AB∥DE，∠B=30°，∠C=110°，∠D的度数为（ ） A．115° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【详解】试题解析：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∵∠B=30°， ∴∠1=30°， ∵∠C=110°， ∴∠2=80°， ∴∠D=180°-∠2=180°-80°=100°． 故选C． 【点拨】本题考查的是平行线的性质 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11．如图，∠1=75°，∠2=120°，∠3=75°，则∠4=_________． 【答案】60° 【详解】∵∠1=75°=∠3， ∴上下两条直线平行， ∴∠4加上∠2的对顶角等于180°， ∴∠4=180°﹣∠2=180°﹣120°=60°， 故答案为：60° 【点拨】本题考查的是平行线的性质。 12．如图，DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=80°，则∠ABD=_____°，∠A=_____°． 【答案】 50°##50度 80°##80度 【详解】解：∵DE∥AB， ∴ ∵ DB平分∠ADE， ∴ ∴ 故答案为 【点拨】本题考查的是平行线的性质及角平分线的性质。 13．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是_________；DE与AC被直线AD所截得的内错角是__________；图中∠4的内错角是________． 【答案】 ∠1和∠3 ∠2和∠4 ∠5和∠2 【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 【详解】结合图形可得AB与BC被AD所截得的内错角是∠1和∠3； DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4； 因为∠4和∠5是直线AB和AD被直线ED所截构成的内错角，∠4和∠2是直线DE和AC被直线AD所截构成的内错角， 所以图中∠4的内错角是∠5和∠2． 故答案为：∠1和∠3；∠2和∠4；∠5和∠2 【点拨】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键． 14．如图,已知AD∥BE,∠1=20°,∠DCE=45°,则∠2的度数为______． 【答案】25° 【分析】先根据平行线的性质得出∠DCE=∠ADC=45°，再由∠1=20°即可得出结论． 【详解】∵AD∥BE，∠DCE=45°， ∴∠DCE=∠ADC=45°． ∵∠1=20°， ∴∠2=∠ADC-∠1=45°-20°=25°． 故答案是：25°． 【点拨】此题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，解题关键是运用了两直线平行，内错角相等． 15．如图所示,∠1和∠2是直线___,__被第三条直线___所截得的___角. 【答案】 AC BD AB 同位 【分析】根据“两直线被第三条直线所截，在被截线的同一方，在截线的同一侧的角是同位角”，∠1与∠2符合定义，是同位角． 【详解】如图所示， ∠1和∠2具有公共边AB，另外两条边分别在直线AC和BD上， 故∠1、∠2是两条直线AC和BD被第三条直线AB所截的同位角． 【点拨】准确掌握同位角的定义是解决本题的关键，学生对几何学习中的概念往往不予重视，造成学习上的困难，导致学习失败，所以要重视概念，重视公理、定理． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16．（6分）如图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试说明AD∥BC．完成推理过程： ∵AB∥DC（已知） ∴∠1=∠CFE（ ） ∵AE平分∠BAD（已知） ∴∠1= ∠2 (角平分线的定义) ∵∠CFE=∠E(已知) ∴∠2= （等量代换） ∴AD∥BC（ ） 【答案】两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行． 【分析】由AB与DC平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由AE为角平分线，得到一对角相等，再根据已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】解：∵AB∥DC（已知） ∴∠1=∠CFE（两直线平行，同位角相等） ∵AE平分∠BAD（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∵∠CFE=∠E（已知） ∴∠2=∠E（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质． 17．（6分）小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生 产了一种如图所示的零件， 工人师傅告诉他：AB∥CD，∠BAE=45°，∠1=60°，小明马上运用已学的数学知识得出∠ECD的度数．你能求出∠ECD的度数吗？如果能，请写出理由． 【答案】∠ECD=15°，理由详见解析. 【分析】首先过点E作EF∥AB，又由AB∥CD可得EF∥AB∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，求得的度数与又由 即可求得的度数． 【详解】解： 理由：如图,过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴ ∴ ∴ 【点拨】本题考查平行线的判定与性质． 18．（6分）按要求作图．不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点P，Q分别在的边OA，OB上，①作直线PQ；②过点P作OB的垂线，垂足为点D；③过点Q作OA的平行线QH． 【答案】见解析 【分析】①以P为端点，过点Q，用直尺画直线PQ即可； ②过点P作OB的垂线，垂足为D，PD即为OB边上的垂线段； ③过点Q作∠HQB=∠O，即可得出OA的平行线． 【详解】解：①直线PQ即为所求； ②直线PD即为所求，要求标出垂足符号； ③直线QH即为所求． 【点拨】此题主要考查了基本作图作直线以及过直线外一点作垂线和做已知直线的平行线等知识，此题难度不大注意灵活的应用相关知识． 19．（6分）已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数． 【答案】90° 【分析】根据角平分得出∠AOF=∠FOE，根据垂直得出∠COE=90°，然后通过角度的转化得出结论． 【详解】解：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF=∠FOE， ∵OE⊥CD， ∴∠COE=90°， ∴∠AOF+∠COF=∠FOE+∠COF=∠COE=90°． 【点拨】题目主要考查利用角平分线及各角之间的关系计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 20．（6分）如图，AB∥CD，直线EF交AB、CD于点G、H．如果GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？为什么？ 【答案】GM∥HN，理由见解析 【分析】首先根据平行线的性质得∠BGH=∠CHG，再根据角平分线的定义，得∠NHG=∠CHG，∠MGH=∠BGH，可得∠NHG=∠MGH，进而根据平行线的判定定理得出答案即可. 【详解】GM∥HN，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BGH=∠CHG． ∵GM平分∠BGF，HN平分∠CHE， ∴∠NHG=∠CHG，∠MGH=∠BGH， ∴∠NHG=∠MGH， ∴GM∥HN． 【点拨】本题主要考查了平行线得性质和判定，灵活选择平行线的性质和判定定理是解题的关键. 21．（8分）如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数． 【答案】20° 【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可． 【详解】∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC， ∴∠ACB＋∠DAC＝180°， ∵∠DAC＝120°， ∴∠ACB＝60°， 又∵∠ACF＝20°， ∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°， ∵CE平分∠BCF， ∴∠BCE＝20°， ∵EF∥BC， ∴∠FEC＝∠ECB， ∴∠FEC＝20°． 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 22．（8分）已知任意三角形ABC， （1）如图1，过点C作DE//AB，求证：∠DCA=∠A； （2）如图1，求证：三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°； （3）如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F； （4）如图3，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F． 【答案】（1）证明见解析（2）三角形的内角和为180°（3）∠AGF=∠AEF+∠F（4）29.5° 【分析】（1）根据平行线的性即可得到结论； （2）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决； （3）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （4）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵DE//BC， ∴∠DCA=∠A； （2）如图1所示，在△ABC中，∵DE//BC， ∴∠A=∠1，∠B=∠2（内错角相等）． ∵∠1+∠BCA+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠BCA=180°． 即三角形的内角和为180°； （3）∵∠AGF+∠FGE=180°，由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°， ∴∠AGF=∠AEF+∠F； （4）∵AB//CD，∠CDE=119°， ∴∠DEB=119°，∠AED=61°， ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=59.5°， ∴∠AEF=120.5°， ∵∠AGF=150°，∠AGF=∠AEF+∠F， ∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°． . 23．（9分）已知平面上有两条直线AB和CD，E是平面上该两直线处一点． （1）如图1，若直线AB∥CD，∠ABE=40°，∠CDE=25°，则∠BED= ； （2）若将E点移至图2所示位置，且∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，则AB与CD的位置关系是 ；请说明理由． （3）探索：如图3，在（1）的基础上，再增加两个拆点，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是 . 【答案】(1)65°；(2) AB∥CD；(3) ∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理可得EF∥CD，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，然后根据∠BED=∠1+∠2计算即可得解； （2）连接BD，根据三角形内角和定理得出∠E+∠EDB+∠EBD=180°，求出∠ABD+∠CDB=180°，根据平行线的判定推出即可； （3）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE， ∴∠BED=∠1+∠2=40°+25°=65°， 故答案为65°； （2）AB∥CD， 理由：连接BD， ∵∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∠E+∠EDB+∠EBD=180°， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴AB∥CD； 故答案为AB∥CD； （3）由（1）的结论得，∠1+∠2+∠4=∠5+∠3， 故答案为∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【点拨】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，利用性质解决问题．
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