人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计

这是一份人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计，共10页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。

1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.1.1 一元一次方程，内容包括：方程、一元一次方程的定义以及解的概念.
2.内容解析
从《课程标准》看，一元一次方程是“数与代数”领域中一块重要的内容，它是所有代数方程的基础. 一元一次方程也是中学数学的主要内容之一，在初中数学中有重要地位.通过一元一次方程的学习，可以对已学过的实数、整式方程等知识加以巩固，同时又是今后学习一次函数、一元二次方程等知识的基础.
一元一次方程是人教版《义务教育课程标准试验教科书 数学·七年级(上)》第三章第一节的内容.本节是第一课时，是一元一次方程的导入课，主要内容是培养学生将实际问题转化成数学问题的能力，归纳出一元一次方程的概念，为进一步学习一元一次方程的解法及应用起到了铺垫作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：一元一次方程的概念，正确列出一元一次方程.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某个数值是不是一元一次方程的解.
(2)初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.
2.目标解析
掌握方程、一元一次方程的定义，知道什么是方程的解.体会字母表示数的好处，会根据实际问题的条件列方程，能检验出一个数值是否是方程的解.通过将实际问题抽象成数学问题，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透数学建模的思想，认识到从算式到方程是数学的一种进步.通过具 体情境贴近学生生活，在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化，会利用一元一次方程的知识解决一些实际问题.通过具体情境的探索、交流等数学活动培养学生的团体合作精神和积极参与、勤于思考的意识.激发学生的求知欲和学习数学的热情，培养独立思考和合作交流的能力，让他们享受成功的喜悦.经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决问题的创新意识，增强用数学的意识，体会数学的应用价值.
三、教学问题诊断分析
七年级学生具有活泼、好动、好奇的特点，所以教师在教学过程中通过一些有趣的情节，构建积极和谐的教学情绪场.又由于七年级学生的认知特点，认识问题不能全面周到，所以在教学中注意引导和启发学生，并注意培养他们的数学表达能力和归纳能力.学生是课堂上的主人，只有了解了学生才能有针对性的进行教学.七年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的时期，对身边的事物充满好奇心，具有强烈的探索兴趣.根据学生这一心理特征，我采用的是“自学+专练”的教学模式，并辅以“观察-探究-发现”的方法，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的发生、发展过程，以充分调动学生学习的积极性、主动性.为了发挥学生的主体地位，我通过设置问题情境，把自主探索与合作交流相结合，引导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：对于实际问题如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.
四、教学过程设计
（一）自学导航
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？
(1)上述问题中涉及到了哪些量？
路程：AB之间的路程
速度：客车70km/h，卡车60km/h------客车每小时比卡车多走10km
时间：客车比卡车早1h到达B地------相同的时间，客车比卡车多走60km
你会用算术法解决这个问题吗?列算式试试。
算式：60÷(70-60)×70=420(km)
(2)如果设A，B两地相距xkm，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗?
客车从A地到B地的行驶时间：x70h
卡车从A地到B地的行驶时间：x60h
因为客车比卡车早1h经过B地，所以x60h比x70h小1，即x60-x70=1
思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系?
解：设客车从A地到B地的时间为xh，则卡车从A到B的所用时间为(x+1)h.
由A到B的路程为定值可列方程：
70x=60(x+1)
【点睛】列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式方程.
比较：列算式和列方程
列算式：列出的算式表示解题的计算过程， 只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难.
列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.
从算式到方程是数学的进步！
（二）考点解析
例1.下列式子中，是方程的有( )
①7-1=6； ②3x+y=10； ③x-1； ④1x-1y=1； ⑤x＞3； ⑥x=1； ⑦a2-1=0； ⑧b2≠-1.
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【迁移应用】
1.下列各式中，是方程的是( )
A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t=-5 D.a-6＜3
2.下列各式中，不是方程的是___________.(填序号)
①3x+1=4； ②4-3=1； ③3x+1； ④x＞0； ⑤x2+2x+1=0； ⑥x-1=0； ⑦1a=a+1.
（三）自学导航
思考：下列方程有什么共同特点？
【归纳】一元一次方程：
上面各方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
（四）考点解析
例2.下列方程中，是一元一次方程的是_______.
12x+y=1； ②x2=3； ③x2-2x-1=0； ④2x+1=3； ⑤2x2+5-2(x2+x)=3.
【迁移应用】
1.下列不是一元一次方程的是( )
A.5x+3=3x+7 B.2x+1=3 C.x3+7x=7 D.x=4
2.下列方程：①23x=x+5；②x+2y=1；③x-1x=2；④0.2x=1；⑤x2-3x=18.其中一元一次方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如果方程(m-1)x+3=0是关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是________.
4.若方程2xm+1=0是关于x的一元一次方程，则m的值为______.
例3.若(3-m)x|m|-2-8=0是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A.-3 B.3 C.±3 D.1
解析：因为(3-m)x|m|-2-8=0是关于x的一元一次方程，
所以|m|-2=1，且3-m≠0.
由|m|-2=1，得m=3或m=-3.
因为3-m≠0，所以m=3不合题意.
所以m=-3.
【迁移应用】
1.若(m+2)ym2−3-3m=2是关于y的一元一次方程，则m的值是( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.4
2.若方程(m2-1)x2-mx-x+2=0是关于x的一元一次方程，则|m-1|的值为( )
A.0 B.2 C.0或2 D.-2
3.已知(m-2)x|m-1|-6=0是关于x的一元一次方程，则m的值是______.
4.若(2-k)x|k|-1-3=0是关于x的一元一次方程，则k2-2k+1的值为_____.
（五）自学导航
思考：怎样将一个实际问题转化为方程问题？
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数.
可以发现，当x=6时， 4x的值是24, 这时方程4x=24等号左右两边相等.x=6叫做方程4x=24的解.这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6.
同样地，当x=5时，1700+150x 的值是2450，这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等. x=5叫做方程1700+150x=2450的解.这就是说，方程1700+ 150x=2450中未知数x的值应是5.
【归纳】解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.
思考：x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80的解？
解：当x=1000时，方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40，右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解.
当x=2000时，方程左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80，右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.
【点睛】判断一个数值是不是方程的解的步骤：1.将数值代入方程左边进行计算；2.将数值代入方程右边进行计算；3.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
（六）考点解析
例4.检验下列各数是否为方程6x+1=4x-3的解：
(1)x=-1； (2)x=-2.
解：(1)当x=-1时，左边=6×(-1)+1=-5，右边=4×(-1)-3=-7，
因为左边≠右边，
所以x=-1不是方程6x+1 =4x-3的解.
(2)当x=-2时，左边=6×(-2)+1=-11，右边=4×(-2)-3=-11，
因为左边=右边，
所以x=-2是方程6x+1=4x-3的解.
【迁移应用】
1.下列方程的解是x=2的是( )
A.3x+6=0 B.12x=4 C.32x-3=0 D.1-2x=5
2.在x=3，x=5，x=10中，________是方程x-x+42=3的解.
3.若x=3是方程x-a=7的解，则a=______.
4.检验下列各数是否为方程2x-3=5(x-3)的解：
(1)x=4；(2)x=6.
解：(1)当x=4时，左边=2×4-3=5，右边=5×(4-3)=5，
左边=右边，
所以x=4是方程2x-3=5(x-3)的解.
(2)当x=6时，左边=2×6-3=9，右边=5×(6-3)=15，
左边≠右边，
所以x=6不是方程2x-3=5(x-3)的解.
例5.已知x=-2是方程5x+12=12x-a的解，则a2-a-6的值为( )
A.0 B.6 C.-6 D.-18
解析：把x=-2代入方程5x+12=12-a，得5×(-2)+12=−22-a，即2=-1-a，所以a=-3.所以a2-a-6=(-3)2-(-3)-6=6.
【迁移应用】
1.若x=1是关于x的方程ax+b=c的解，则(a+b-c)2=______.
2.方程-5x+▲=4x，“▲”处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=-1，那么“▲”处的常数是______.
3.若x=1是关于x的方程-2mx+n=1的解，求2025+n-2m的值.
解：将x=1代入方程-2mx+n=1，得-2m+n=1，即n-2m=1，
所以2025+n-2m=2025+1=2026.
例6.【建模思想】根据下列问题，设未知数，列出方程：
(1)用一根长为52cm的铁丝围成一个正方形，求正方形的边长；
(2)某数的一半比这个数小8，求这个数；
(3)20名同学在植树节这天共种了52棵树苗，男生每人种3棵，女生每人种2棵，求男生的人数.
解：(1)设正方形的边长为xcm，则可列方程4x=52.
(2)设这个数为x，则可列方程12x=x-8.
(3)设男生有x人，则可列方程3x+2(20-x)=52.
例7.根据实际问题列出方程：已知甲粮仓有粮食729t，乙粮仓有粮食384t.为了使甲粮仓粮食储量是乙粮仓粮食储量的2倍，需要从乙粮仓运送多少吨粮食到甲粮仓?
解：设需要从乙粮仓运送xt粮食到甲粮仓，那么运完后乙粮仓粮食储量为(384-x)t，甲粮仓粮食储量为(729+x)t.
根据题意列方程，得729+x=2(384-x).
【迁移应用】
1.“某数与2的和的3倍是9”，若设该数是x，则所列方程是( )
A.x+2×3=9 B.3(x+2)=9 C.3x+2=9 D.2x+3=9
2.用一根长为48cm的铁丝围成一个长方形，其中长方形的长为15cm，求长方形的宽.设宽为xcm，则可列方程_________________.
3.某校男生占全体学生数的48%，比女生少80人，这个学校的学生总数是多少?设这个学校的学生总数为x，则可列方程为( )
(1-0.48)x=80 B.(1-0.48)x-0.48x=80
(1+0.48)x=80 D.(1+0.48)x-0.48x=80
4.根据下列问题，设未知数，列出方程：
(1)甲书每本5元，乙书每本4元，元元用70元买了两种图书共15本，求他买的甲书的本数.
(2)小明和小刚从相距16.2km的两地同时相向而行，小明行走的速度为4km/h，2h后两人相遇，求小刚行走的速度.
解：(1)设他买的甲书的本数是x，则可列方程为5x+4(15-x)=70.
(2)设小刚行走的速度为xkm/h，则可列方程为2(x+4)=16.2.
（七）小结梳理
1. 一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 方程的解：
使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.
五、教学反思