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2023版新教材高中数学本册综合测试卷新人教B版选择性必修第一册
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这是一份2023版新教材高中数学本册综合测试卷新人教B版选择性必修第一册，共11页。
本册综合测试卷时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，那么下列说法正确的个数为( )①e·m＝0⇔l∥α；②m⊥n⇔α⊥β；③m∥n⇔α∥β；④e∥m⇔l∥α.A．1B．2C．3D．42．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，2eq \r(2))，则双曲线的方程是( )A．eq \f(y2,8)－eq \f(x2,8)＝1B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝13．如图，在棱长均相等的四面体OABC中，点D为AB的中点，CE＝eq \f(1,2)ED，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \o(OE,\s\up6(→))＝( )A．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)cB．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)cC．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b－eq \f(1,3)cD．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(2,3)c4．如图所示，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A．eq \r(2)B．eq \r(3)C．eq \f(3,2)D．eq \f(\r(6),2)5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝06．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )A．[2，6] B．[4，8] C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]7．已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于( )A．2B．3C．4D．68．设椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于( )A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,4)C．eq \f(1,9)D．eq \f(3,5)二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )A．2，eq \f(1,2)B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)C．－3，eq \f(1,2)D．－3，210．下列四个命题中真命题有( )A．直线y＝x－2在y轴上的截距为－2B．经过定点A(0，2)的直线都可以用方程y＝kx＋2表示C．直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－eq \f(7,3)，0)D．已知直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则平行线间的距离是111．已知圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，则( )A．圆M可能过原点B．圆心M在直线x－y＋1＝0上C．圆M与直线x－y－1＝0相切D．圆M被直线x－y＝0截得的弦长等于eq \r(2)12．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0) B．椭圆C的长轴长为4eq \r(2)C．椭圆的离心率为e＝eq \f(\r(2),2)D．直线l的方程为x＋y－3＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．13．已知u＝(3，a，b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，如果l⊥α，则a＋b＝________．14．已知曲线C：mx2＋ny2＝1(其中m，n为非零常数)，若m＋n＝0，则曲线C的离心率e为________．15．若圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离为1，则a＝________.16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则eq \f(b2,a＋1)的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若直线l1：x－y＋2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2).(1)求圆C的方程；(2)求过点P(2，－3)且与圆C相切的直线l2的方程．18．(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0＜p＜2)的焦点为F，M(2，y0)是C上的一点，且|MF|＝eq \f(5,2).(1)求C的方程；(2)直线l交C于A，B两点，kOA·kOB＝－2且△OAB的面积为16，求l的方程．19．(12分)已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；(3)当eq \f(SA,AB)的值为多少时，二面角BSCD的大小为120°？20．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋2eq \r(3).(1)求椭圆C的方程；(2)若∠F1MF2＝60°，求△MF1F2的面积；(3)设P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，判断eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．21．(12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为eq \f(1,3)，求线段CF的长．22．(12分)在①离心率e＝eq \f(1,2)，②椭圆C过点(1，eq \f(3,2))，③△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P，Q两点，已知椭圆C的短轴长为2eq \r(3)，________．(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：eq \f(|PQ|,|NF1|)为定值．本册综合测试卷1．答案：B解析：因为e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，若e·m＝0，则e⊥m，由于不确定直线l是否在平面α内，当直线l不在平面α内，则l∥α，故①错误；若m⊥n，则α⊥β，故②正确；若m∥n，则α∥β，故③正确；若e∥m，即e也是平面α的法向量，所以l⊥α，故④错误．故选B.2．答案：B解析：因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在y轴上，故设双曲线的方程为y2－x2＝λ>0，因为双曲线的一个焦点坐标为F(0，2eq \r(2))，所以c＝2eq \r(2)，则2λ＝c2＝8，即λ＝4，所以双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1.故选B.3．答案：D解析：∵CE＝eq \f(1,2)ED，∴eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up6(→))，∴eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))－\o(OC,\s\up6(→))))＋eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(2,3)c.4．答案：D解析：由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2eq \r(3).因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2eq \r(2)，因此对于双曲线C2有a＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，所以C2的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2).故选D.5．答案：B解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a2＋2a＋2b＋5＝0.故选B.6．答案：A解析：设圆心到直线AB的距离d＝eq \f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2).点P到直线AB的距离为d′.易知d－r≤d′≤d＋r，即eq \r(2)≤d′≤3eq \r(2).又AB＝2eq \r(2)，∴S△ABP＝eq \f(1,2)·|AB|·d′＝eq \r(2)d′，∴2≤S△ABP≤6.故选A.7．答案：B解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3.故选B.8．答案：A解析：由题意知，F1(－2，0)，F2(2，0)，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，,\f(x2,3)－y2＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(9,2)，,y2＝\f(1,2)．))取P点坐标为(eq \f(3\r(2),2)，eq \f(\r(2),2))，eq \o(PF1,\s\up6(→))＝(－2－ eq \f(3\r(2),2)，－ eq \f(\r(2),2))，eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(2－ eq \f(3\r(2),2)，－ eq \f(\r(2),2))，cos∠F1PF2＝eq \f(eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→)),|eq \o(PF1,\s\up6(→))||eq \o(PF2,\s\up6(→))\o(|,\s\up6( )))＝eq \f(（－2－\f(3\r(2),2)）×（2－\f(3\r(2),2)）＋\f(1,2),\r(（－2－\f(3\r(2),2)）2＋\f(1,2))\r(（2－\f(3\r(2),2)）2＋\f(1,2)))＝eq \f(1,3).故选A.9．答案：AC解析：由a∥b，可设b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得μ＝eq \f(1,2)，λ＝－3或2.故选AC.10．答案：AC解析：对于直线方程y＝x－2，令x＝0解得y＝－2，故该直线在y轴上的截距为－2，故A正确；经过点A(0，2)的直线若斜率存在，可用y＝kx＋2表示；若斜率不存在，则无法用y＝kx＋2表示，故B错误；当m≠0时，6x＋my＋14＝0可整理为y＝－eq \f(6,m)(x＋eq \f(7,3))，恒过定点(－eq \f(7,3)，0)；当m＝0时，6x＋my＋14＝0即为x＝－eq \f(7,3)，过点(－eq \f(7,3)，0).故直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－eq \f(7,3)，0)，故C正确；直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则m＝8，此时6x＋my＋14＝0即6x＋8y＋14＝0，也即3x＋4y＋7＝0，则两平行线间的距离d＝eq \f(|9－7|,\r(32＋42))＝eq \f(2,5)，故D错误．故选AC.11．答案：ABD解析：圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，圆心为(a，a＋1)，半径为1，若圆M过原点，则(0－a)2＋(0－a－1)2＝1，解得a＝0或a＝－1，故A正确；因为a－(a＋1)＋1＝0，所以圆心在直线x－y＋1＝0上，故B正确；圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝eq \f(|a－（a＋1）－1|,\r(2))＝eq \r(2)>1，故圆M与直线x－y－1＝0相离，故C错误；圆心到直线x－y＝0的距离d1＝eq \f(|a－（a＋1）|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以圆M被直线x－y＝0截得的弦长l＝2eq \r(12－（\f(\r(2),2)）2)＝eq \r(2)，故D正确．故选ABD.12．答案：BCD解析：由C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4，则a＝2eq \r(2)，b＝2，c＝eq \r(a2－b2)＝2.∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，长轴长为2a＝4eq \r(2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故A错误，BC正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,4)＋eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,8)＝1，eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,4)＋eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,8)＝1，两式作差可得eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,4)＝－eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,8)，∵M(1，2)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(2（x1＋x2）,y1＋y2)＝－eq \f(2×2,4)＝－1，∴直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BCD.13．答案：15解析：∵l⊥α，∴n∥u，∴eq \f(3,1)＝eq \f(a,2)＝eq \f(b,3)，解得a＝6，b＝9，∴a＋b＝15.14．答案：eq \r(2)解析：∵曲线C：mx2＋ny2＝1，m＋n＝0，∴曲线C：mx2－my2＝1(其中m，n为非零常数)，即曲线为等轴双曲线，∴e＝eq \r(2).15．答案：±eq \r(3)解析：圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是1，所以圆心到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是圆的半径的一半，即eq \f(|2a－3＋3|,\r(a2＋9))＝1，解得a＝±eq \r(3).16．答案：4解析：由△PQF2的周长为16，得△ABF2的周长为32.因为AB是双曲线的通径，所以|AB|＝eq \f(2b2,a).因为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，可得2|AB|＝eq \f(4b2,a)＝32－4a，所以b2＝a(8－a)，可得a∈(0，8)，则eq \f(b2,a＋1)＝eq \f(8a－a2,a＋1)＝－(a＋1＋eq \f(9,a＋1)－10)≤4，当且仅当a＋1＝eq \f(9,a＋1)，即a＝2时等号成立．即eq \f(b2,a＋1)的最大值为4.17．解析：(1)设圆心到直线l1的距离为d，则r2－d2＝(eq \f(|AB|,2))2，即d2＝r2－2，又d＝eq \f(2,\r(1＋1))＝eq \r(2)，所以r2＝4，故圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线l2斜率不存在时，l2的方程为x＝2，恰好与圆相切，满足题意；当直线l2斜率存在时，设l2的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，则圆心到直线l2的距离为eq \f(|－2k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(5,12)，此时直线l2的方程为y＋3＝－eq \f(5,12)(x－2)，即5x＋12y＋26＝0，综上，直线l2的方程为5x＋12y＋26＝0或x＝2.18．解析：(1)将M(2，y0)代入x2＝2py得y0＝eq \f(2,p)，又|MF|＝y0－(－eq \f(p,2))＝eq \f(2,p)＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,2)，∴p＝1或p＝4(舍)，∴抛物线的方程为x2＝2y.(2)直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b,x2＝2y))得x2－2kx－2b＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b.由kOAkOB＝eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(x1x2,4)＝－eq \f(b,2)＝－2，∴b＝4.∴直线方程为y＝kx＋4，所以直线恒过定点(0，4)，原点O到直线l的距离d＝eq \f(4,\r(1＋k2))，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×d|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(4,\r(1＋k2))·eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(2,\r(1＋k2))eq \r(1＋k2)eq \r(4k2＋32)＝2eq \r(4k2＋32)＝16，∴4k2＋32＝64，解得k＝±2eq \r(2)，所以直线方程为：y＝±2eq \r(2)x＋4.19．解析：(1)证明：由ABCD是正方形，故AC⊥BD，因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则SA⊥BD，又SA∩AC＝A，SA，AC⊂平面SAC，故BD⊥平面SAC，因为BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC.(2)由题设VSABD＝VASBD，而VSABD＝eq \f(1,3)×SA×S△ABD＝eq \f(1,3)×4×eq \f(1,2)×2×2＝eq \f(8,3)，由AB，AD⊂平面ABCD，易知：SA⊥AB，SA⊥AD，故SB＝SD＝2eq \r(5)，又BD＝2eq \r(2)，所以S△SBD＝eq \f(1,2)×BD×eq \r(SB2－（\f(BD,2)）2)＝6，若A到平面SBD的距离为h，则eq \f(1,3)h×6＝eq \f(8,3)，可得h＝eq \f(4,3)，即A到平面SBD的距离为eq \f(4,3)．(3)构建以A为原点，eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AS,\s\up6(→))为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示： 若AB＝a>0，eq \f(SA,AB)＝λ>0时，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，S(0，0，λa)，所以eq \o(SC,\s\up6(→))＝(a，a，－λa)，eq \o(SB,\s\up6(→))＝(a，0，－λa)，eq \o(SD,\s\up6(→))＝(0，a，－λa)，令m＝(x，y，z)为平面SBC的一个法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(SC,\s\up6(→))＝ax＋ay－λaz＝0,m·\o(SB,\s\up6(→))＝ax－λaz＝0))，令x＝λ，即m＝(λ，0，1)，令n＝(α，β，γ)为平面SDC的一个法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(SC,\s\up6(→))＝aα＋aβ－λaγ＝0,n·\o(SD,\s\up6(→))＝aβ－λaγ＝0))，令β＝λ，即n＝(0，λ，1)，所以|cos〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(1,1＋λ2)＝|cos120°|＝eq \f(1,2)，可得λ＝±1.因为λ>0，所以λ＝1，所以当eq \f(SA,AB)＝1时，二面角BSCD的大小为120°.20．解析：(1)依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2),2a＋2c＝4＋2\r(3),a2＝b2＋c2))，解得a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)根据椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝16 ①，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos60°，即12＝|MF1|2＋|MF2|2－|MF1|·|MF2| ②，由①②得|MF1|·|MF2|＝eq \f(4,3)，所以＝eq \f(1,2)·|MF1|·|MF2|·sin60°＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3).(3)圆的方程为x2＋y2＝5，椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，注意到(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2，－1)是圆上的点，过上述四个点中的任意一个作椭圆C的切线，则两条切线垂直，即eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝0.当P(x0，y0)是圆x2＋y2＝5上除去上述四个点外的任意一点时，切线PA和切线PB的斜率存在且不为零，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－y0＝k（x－x0）,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y并化简得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4[(y0－kx0)2－1]＝0，令Δ＝64k2(y0－kx0)2－4×(1＋4k2)×4[(y0－kx0)2－1]＝0，整理得(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －4)k2－2x0y0k＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1＝0，所以kPA·kPB＝eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －4)，由于x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝5，所以kPA·kPB＝eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －4)＝－1，即eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝0.综上所述，eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))是定值，且定值为0.21.解析：(1)证明：依题意，以A为坐标原点，分别以eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AE,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h).依题意知，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又eq \o(BF,\s\up6(→))＝(0，2，h)，可得eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0，因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.(2)依题意，eq \o(BD,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \o(BE,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq \o(CE,\s\up6(→))＝(－1，－2，2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))·n＝0，,\o(BE,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋2z＝0，))不妨令z＝1，可得n＝(2，2，1).因此有cos〈eq \o(CE,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\o(CE,\s\up6(→))·n,|\o(CE,\s\up6(→))||n|)＝－eq \f(4,9)，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为eq \f(4,9).(3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))·m＝0，,\o(BF,\s\up6(→))·m＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x1＋y1＝0，,2y1＋hz1＝0，))不妨令y1＝1，可得m＝(1，1，－eq \f(2,h)).由题意得|cos〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4－\f(2,h))),3\r(2＋\f(4,h2)))＝eq \f(1,3)，解得h＝eq \f(8,7).经检验，符合题意，所以线段CF的长为eq \f(8,7).22．解析：(1)选①，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，，,b＝\r(3)，,c＝1，))所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.选②，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,2b＝2\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.选③，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2c×b＝\r(3)，,2b＝2\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)证明：(ⅰ)当k＝0时，|PQ|＝2a＝4，|NF1|＝c＝1，所以eq \f(|PQ|,|NF1|)＝eq \f(2a,c)＝4.(ⅱ)当k≠0时，由题意可得，F1(－1，0).设直线PF1的方程为y＝k(x＋1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0，且x1＋x2＝－eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，所以|PQ|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（\f(－8k2,3＋4k2)）2－4·\f(4k2－12,3＋4k2))＝eq \f(12＋12k2,3＋4k2)，所以y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝eq \f(－8k3,3＋4k2)＋2k＝eq \f(6k,3＋4k2)，所以线段PQ的中点M(－eq \f(4k2,3＋4k2)，eq \f(3k,3＋4k2))，则线段PQ的中垂线方程为y－eq \f(3k,3＋4k2)＝－eq \f(1,k)(x＋eq \f(4k2,3＋4k2)).令y＝0，可得x＝－eq \f(k2,3＋4k2)，即N(－eq \f(k2,3＋4k2)，0)，又F1(－1，0)，所以|NF1|＝－eq \f(k2,3＋4k2)＋1＝eq \f(3k2＋3,3＋4k2)，所以eq \f(|PQ|,|NF1|)＝eq \f(\f(12＋12k2,3＋4k2),\f(3k2＋3,3＋4k2))＝4，综上eq \f(|PQ|,|NF1|)＝4.
本册综合测试卷时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，那么下列说法正确的个数为( )①e·m＝0⇔l∥α；②m⊥n⇔α⊥β；③m∥n⇔α∥β；④e∥m⇔l∥α.A．1B．2C．3D．42．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，2eq \r(2))，则双曲线的方程是( )A．eq \f(y2,8)－eq \f(x2,8)＝1B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝13．如图，在棱长均相等的四面体OABC中，点D为AB的中点，CE＝eq \f(1,2)ED，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \o(OE,\s\up6(→))＝( )A．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)cB．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)cC．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b－eq \f(1,3)cD．eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(2,3)c4．如图所示，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A．eq \r(2)B．eq \r(3)C．eq \f(3,2)D．eq \f(\r(6),2)5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝06．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )A．[2，6] B．[4，8] C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]7．已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于( )A．2B．3C．4D．68．设椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于( )A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,4)C．eq \f(1,9)D．eq \f(3,5)二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )A．2，eq \f(1,2)B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)C．－3，eq \f(1,2)D．－3，210．下列四个命题中真命题有( )A．直线y＝x－2在y轴上的截距为－2B．经过定点A(0，2)的直线都可以用方程y＝kx＋2表示C．直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－eq \f(7,3)，0)D．已知直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则平行线间的距离是111．已知圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，则( )A．圆M可能过原点B．圆心M在直线x－y＋1＝0上C．圆M与直线x－y－1＝0相切D．圆M被直线x－y＝0截得的弦长等于eq \r(2)12．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0) B．椭圆C的长轴长为4eq \r(2)C．椭圆的离心率为e＝eq \f(\r(2),2)D．直线l的方程为x＋y－3＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．13．已知u＝(3，a，b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，如果l⊥α，则a＋b＝________．14．已知曲线C：mx2＋ny2＝1(其中m，n为非零常数)，若m＋n＝0，则曲线C的离心率e为________．15．若圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离为1，则a＝________.16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则eq \f(b2,a＋1)的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若直线l1：x－y＋2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2).(1)求圆C的方程；(2)求过点P(2，－3)且与圆C相切的直线l2的方程．18．(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0＜p＜2)的焦点为F，M(2，y0)是C上的一点，且|MF|＝eq \f(5,2).(1)求C的方程；(2)直线l交C于A，B两点，kOA·kOB＝－2且△OAB的面积为16，求l的方程．19．(12分)已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；(3)当eq \f(SA,AB)的值为多少时，二面角BSCD的大小为120°？20．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋2eq \r(3).(1)求椭圆C的方程；(2)若∠F1MF2＝60°，求△MF1F2的面积；(3)设P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，判断eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．21．(12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为eq \f(1,3)，求线段CF的长．22．(12分)在①离心率e＝eq \f(1,2)，②椭圆C过点(1，eq \f(3,2))，③△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P，Q两点，已知椭圆C的短轴长为2eq \r(3)，________．(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：eq \f(|PQ|,|NF1|)为定值．本册综合测试卷1．答案：B解析：因为e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，若e·m＝0，则e⊥m，由于不确定直线l是否在平面α内，当直线l不在平面α内，则l∥α，故①错误；若m⊥n，则α⊥β，故②正确；若m∥n，则α∥β，故③正确；若e∥m，即e也是平面α的法向量，所以l⊥α，故④错误．故选B.2．答案：B解析：因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在y轴上，故设双曲线的方程为y2－x2＝λ>0，因为双曲线的一个焦点坐标为F(0，2eq \r(2))，所以c＝2eq \r(2)，则2λ＝c2＝8，即λ＝4，所以双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1.故选B.3．答案：D解析：∵CE＝eq \f(1,2)ED，∴eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up6(→))，∴eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))－\o(OC,\s\up6(→))))＋eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(2,3)c.4．答案：D解析：由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2eq \r(3).因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2eq \r(2)，因此对于双曲线C2有a＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，所以C2的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2).故选D.5．答案：B解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a2＋2a＋2b＋5＝0.故选B.6．答案：A解析：设圆心到直线AB的距离d＝eq \f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2).点P到直线AB的距离为d′.易知d－r≤d′≤d＋r，即eq \r(2)≤d′≤3eq \r(2).又AB＝2eq \r(2)，∴S△ABP＝eq \f(1,2)·|AB|·d′＝eq \r(2)d′，∴2≤S△ABP≤6.故选A.7．答案：B解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3.故选B.8．答案：A解析：由题意知，F1(－2，0)，F2(2，0)，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，,\f(x2,3)－y2＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(9,2)，,y2＝\f(1,2)．))取P点坐标为(eq \f(3\r(2),2)，eq \f(\r(2),2))，eq \o(PF1,\s\up6(→))＝(－2－ eq \f(3\r(2),2)，－ eq \f(\r(2),2))，eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(2－ eq \f(3\r(2),2)，－ eq \f(\r(2),2))，cos∠F1PF2＝eq \f(eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→)),|eq \o(PF1,\s\up6(→))||eq \o(PF2,\s\up6(→))\o(|,\s\up6( )))＝eq \f(（－2－\f(3\r(2),2)）×（2－\f(3\r(2),2)）＋\f(1,2),\r(（－2－\f(3\r(2),2)）2＋\f(1,2))\r(（2－\f(3\r(2),2)）2＋\f(1,2)))＝eq \f(1,3).故选A.9．答案：AC解析：由a∥b，可设b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得μ＝eq \f(1,2)，λ＝－3或2.故选AC.10．答案：AC解析：对于直线方程y＝x－2，令x＝0解得y＝－2，故该直线在y轴上的截距为－2，故A正确；经过点A(0，2)的直线若斜率存在，可用y＝kx＋2表示；若斜率不存在，则无法用y＝kx＋2表示，故B错误；当m≠0时，6x＋my＋14＝0可整理为y＝－eq \f(6,m)(x＋eq \f(7,3))，恒过定点(－eq \f(7,3)，0)；当m＝0时，6x＋my＋14＝0即为x＝－eq \f(7,3)，过点(－eq \f(7,3)，0).故直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－eq \f(7,3)，0)，故C正确；直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则m＝8，此时6x＋my＋14＝0即6x＋8y＋14＝0，也即3x＋4y＋7＝0，则两平行线间的距离d＝eq \f(|9－7|,\r(32＋42))＝eq \f(2,5)，故D错误．故选AC.11．答案：ABD解析：圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，圆心为(a，a＋1)，半径为1，若圆M过原点，则(0－a)2＋(0－a－1)2＝1，解得a＝0或a＝－1，故A正确；因为a－(a＋1)＋1＝0，所以圆心在直线x－y＋1＝0上，故B正确；圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝eq \f(|a－（a＋1）－1|,\r(2))＝eq \r(2)>1，故圆M与直线x－y－1＝0相离，故C错误；圆心到直线x－y＝0的距离d1＝eq \f(|a－（a＋1）|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以圆M被直线x－y＝0截得的弦长l＝2eq \r(12－（\f(\r(2),2)）2)＝eq \r(2)，故D正确．故选ABD.12．答案：BCD解析：由C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4，则a＝2eq \r(2)，b＝2，c＝eq \r(a2－b2)＝2.∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，长轴长为2a＝4eq \r(2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故A错误，BC正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,4)＋eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,8)＝1，eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,4)＋eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,8)＝1，两式作差可得eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,4)＝－eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,8)，∵M(1，2)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(2（x1＋x2）,y1＋y2)＝－eq \f(2×2,4)＝－1，∴直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BCD.13．答案：15解析：∵l⊥α，∴n∥u，∴eq \f(3,1)＝eq \f(a,2)＝eq \f(b,3)，解得a＝6，b＝9，∴a＋b＝15.14．答案：eq \r(2)解析：∵曲线C：mx2＋ny2＝1，m＋n＝0，∴曲线C：mx2－my2＝1(其中m，n为非零常数)，即曲线为等轴双曲线，∴e＝eq \r(2).15．答案：±eq \r(3)解析：圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是1，所以圆心到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是圆的半径的一半，即eq \f(|2a－3＋3|,\r(a2＋9))＝1，解得a＝±eq \r(3).16．答案：4解析：由△PQF2的周长为16，得△ABF2的周长为32.因为AB是双曲线的通径，所以|AB|＝eq \f(2b2,a).因为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，可得2|AB|＝eq \f(4b2,a)＝32－4a，所以b2＝a(8－a)，可得a∈(0，8)，则eq \f(b2,a＋1)＝eq \f(8a－a2,a＋1)＝－(a＋1＋eq \f(9,a＋1)－10)≤4，当且仅当a＋1＝eq \f(9,a＋1)，即a＝2时等号成立．即eq \f(b2,a＋1)的最大值为4.17．解析：(1)设圆心到直线l1的距离为d，则r2－d2＝(eq \f(|AB|,2))2，即d2＝r2－2，又d＝eq \f(2,\r(1＋1))＝eq \r(2)，所以r2＝4，故圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线l2斜率不存在时，l2的方程为x＝2，恰好与圆相切，满足题意；当直线l2斜率存在时，设l2的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，则圆心到直线l2的距离为eq \f(|－2k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(5,12)，此时直线l2的方程为y＋3＝－eq \f(5,12)(x－2)，即5x＋12y＋26＝0，综上，直线l2的方程为5x＋12y＋26＝0或x＝2.18．解析：(1)将M(2，y0)代入x2＝2py得y0＝eq \f(2,p)，又|MF|＝y0－(－eq \f(p,2))＝eq \f(2,p)＋eq \f(p,2)＝eq \f(5,2)，∴p＝1或p＝4(舍)，∴抛物线的方程为x2＝2y.(2)直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b,x2＝2y))得x2－2kx－2b＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b.由kOAkOB＝eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(x1x2,4)＝－eq \f(b,2)＝－2，∴b＝4.∴直线方程为y＝kx＋4，所以直线恒过定点(0，4)，原点O到直线l的距离d＝eq \f(4,\r(1＋k2))，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×d|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(4,\r(1＋k2))·eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(2,\r(1＋k2))eq \r(1＋k2)eq \r(4k2＋32)＝2eq \r(4k2＋32)＝16，∴4k2＋32＝64，解得k＝±2eq \r(2)，所以直线方程为：y＝±2eq \r(2)x＋4.19．解析：(1)证明：由ABCD是正方形，故AC⊥BD，因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则SA⊥BD，又SA∩AC＝A，SA，AC⊂平面SAC，故BD⊥平面SAC，因为BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC.(2)由题设VSABD＝VASBD，而VSABD＝eq \f(1,3)×SA×S△ABD＝eq \f(1,3)×4×eq \f(1,2)×2×2＝eq \f(8,3)，由AB，AD⊂平面ABCD，易知：SA⊥AB，SA⊥AD，故SB＝SD＝2eq \r(5)，又BD＝2eq \r(2)，所以S△SBD＝eq \f(1,2)×BD×eq \r(SB2－（\f(BD,2)）2)＝6，若A到平面SBD的距离为h，则eq \f(1,3)h×6＝eq \f(8,3)，可得h＝eq \f(4,3)，即A到平面SBD的距离为eq \f(4,3)．(3)构建以A为原点，eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AS,\s\up6(→))为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示： 若AB＝a>0，eq \f(SA,AB)＝λ>0时，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，S(0，0，λa)，所以eq \o(SC,\s\up6(→))＝(a，a，－λa)，eq \o(SB,\s\up6(→))＝(a，0，－λa)，eq \o(SD,\s\up6(→))＝(0，a，－λa)，令m＝(x，y，z)为平面SBC的一个法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(SC,\s\up6(→))＝ax＋ay－λaz＝0,m·\o(SB,\s\up6(→))＝ax－λaz＝0))，令x＝λ，即m＝(λ，0，1)，令n＝(α，β，γ)为平面SDC的一个法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(SC,\s\up6(→))＝aα＋aβ－λaγ＝0,n·\o(SD,\s\up6(→))＝aβ－λaγ＝0))，令β＝λ，即n＝(0，λ，1)，所以|cos〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(1,1＋λ2)＝|cos120°|＝eq \f(1,2)，可得λ＝±1.因为λ>0，所以λ＝1，所以当eq \f(SA,AB)＝1时，二面角BSCD的大小为120°.20．解析：(1)依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2),2a＋2c＝4＋2\r(3),a2＝b2＋c2))，解得a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)根据椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝16 ①，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos60°，即12＝|MF1|2＋|MF2|2－|MF1|·|MF2| ②，由①②得|MF1|·|MF2|＝eq \f(4,3)，所以＝eq \f(1,2)·|MF1|·|MF2|·sin60°＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3).(3)圆的方程为x2＋y2＝5，椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，注意到(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2，－1)是圆上的点，过上述四个点中的任意一个作椭圆C的切线，则两条切线垂直，即eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝0.当P(x0，y0)是圆x2＋y2＝5上除去上述四个点外的任意一点时，切线PA和切线PB的斜率存在且不为零，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－y0＝k（x－x0）,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y并化简得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4[(y0－kx0)2－1]＝0，令Δ＝64k2(y0－kx0)2－4×(1＋4k2)×4[(y0－kx0)2－1]＝0，整理得(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －4)k2－2x0y0k＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1＝0，所以kPA·kPB＝eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －4)，由于x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＝5，所以kPA·kPB＝eq \f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －1,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －4)＝－1，即eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＝0.综上所述，eq \o(PA,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))是定值，且定值为0.21.解析：(1)证明：依题意，以A为坐标原点，分别以eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AE,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h).依题意知，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又eq \o(BF,\s\up6(→))＝(0，2，h)，可得eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0，因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.(2)依题意，eq \o(BD,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \o(BE,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq \o(CE,\s\up6(→))＝(－1，－2，2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))·n＝0，,\o(BE,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋2z＝0，))不妨令z＝1，可得n＝(2，2，1).因此有cos〈eq \o(CE,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\o(CE,\s\up6(→))·n,|\o(CE,\s\up6(→))||n|)＝－eq \f(4,9)，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为eq \f(4,9).(3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→))·m＝0，,\o(BF,\s\up6(→))·m＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x1＋y1＝0，,2y1＋hz1＝0，))不妨令y1＝1，可得m＝(1，1，－eq \f(2,h)).由题意得|cos〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4－\f(2,h))),3\r(2＋\f(4,h2)))＝eq \f(1,3)，解得h＝eq \f(8,7).经检验，符合题意，所以线段CF的长为eq \f(8,7).22．解析：(1)选①，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，，,b＝\r(3)，,c＝1，))所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.选②，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,2b＝2\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.选③，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2c×b＝\r(3)，,2b＝2\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)证明：(ⅰ)当k＝0时，|PQ|＝2a＝4，|NF1|＝c＝1，所以eq \f(|PQ|,|NF1|)＝eq \f(2a,c)＝4.(ⅱ)当k≠0时，由题意可得，F1(－1，0).设直线PF1的方程为y＝k(x＋1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0，且x1＋x2＝－eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，所以|PQ|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（\f(－8k2,3＋4k2)）2－4·\f(4k2－12,3＋4k2))＝eq \f(12＋12k2,3＋4k2)，所以y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝eq \f(－8k3,3＋4k2)＋2k＝eq \f(6k,3＋4k2)，所以线段PQ的中点M(－eq \f(4k2,3＋4k2)，eq \f(3k,3＋4k2))，则线段PQ的中垂线方程为y－eq \f(3k,3＋4k2)＝－eq \f(1,k)(x＋eq \f(4k2,3＋4k2)).令y＝0，可得x＝－eq \f(k2,3＋4k2)，即N(－eq \f(k2,3＋4k2)，0)，又F1(－1，0)，所以|NF1|＝－eq \f(k2,3＋4k2)＋1＝eq \f(3k2＋3,3＋4k2)，所以eq \f(|PQ|,|NF1|)＝eq \f(\f(12＋12k2,3＋4k2),\f(3k2＋3,3＋4k2))＝4，综上eq \f(|PQ|,|NF1|)＝4.
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