浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】（学生版+教师版）

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专题6.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】 【浙教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc12026" 【题型1 线段中的整体思想】  PAGEREF _Toc12026 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3943" 【题型2 线段中的方程思想】  PAGEREF _Toc3943 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc2143" 【题型3 线段中的分类讨论思想】  PAGEREF _Toc2143 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc18096" 【题型4 线段中的数形结合思想】  PAGEREF _Toc18096 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc26690" 【题型5 角中的整体思想】  PAGEREF _Toc26690 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc9576" 【题型6 角中的方程思想】  PAGEREF _Toc9576 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc8726" 【题型7 角中的分类讨论思想】  PAGEREF _Toc8726 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc669" 【题型8 角中的数形结合思想】  PAGEREF _Toc669 \h 11  【题型1 线段中的整体思想】 【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点C在线段AB上，且，． (1)若，，求线段MN的长． (2)若C为线段AB上任意一点，且满足，其他条件不变，求线段MN的长． 【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．    (1)若AB=10cm，求线段MN的长； (2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长． 【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且． (1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段； (2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）； (3)若，，求MN的长度． 【题型2 线段中的方程思想】 【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，，，，四点在同一条直线上． (1)若， ①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”） ②若，且，则的长为______cm； (2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长． 【变式2-1】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，点A、B在线段上，点M、N分别是线段、的中点，，若，求线段的长． 【变式2-2】（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12． (1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值． (3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长． 【变式2-3】（2022·山西晋城·七年级期末）如图，数轴上点A、B对应着数10、15．C、D两点同时从点A、原点O出发分别以和的速度沿数轴向右运动．设运动时间为． (1)当时，请说明； (2)当，且时，求t的值； (3)取线段的中点M，当时，求t的值． 【题型3 线段中的分类讨论思想】 【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段上有两点C、D，使得，M是线段的中点，点N是线段上的点，且满足，，求的长． 【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【变式3-3】（2022·江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上A点表示的数是a，B点表示的数是b，且a，b满足式子． (1)写出______，______． (2)将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数． 【题型4 线段中的数形结合思想】 【例4】（2022·广东东莞·七年级期末）如图，C是线段AB上一点，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts． (1)当t＝1s时，CP＝　 　cm，QB＝　 　cm； (2)当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？ (3)当运动时间为多少时，BQ＝AP？ 【变式4-1】（2022·山东德州·七年级期末）已知，线段，是线段的中点，是线段上任意一点，是线段的中点． （1）当是线段的中点时，求线段的长； （2）当线段时，求线段的长； （3）若点在线段的延长线上，猜想线段与线段的数量关系，并画图加以证明． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点． (1)求线段AB，CD的长； (2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； (3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；… (1)请完成下列表格数据． (2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简： 因为， 所以 ． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式． (3)类比猜想：__________，_________________，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是__________． 【题型5 角中的整体思想】 【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目． 将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出，的平分线，，然后提出问题：求的度数． 小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答： 特殊情况，探索思路 将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，和仍然是和的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是，，在同一直线上．按图3方式摆放时，和相等． （1）请你直接写出计算结果：图2中的度数为______，图3中的度数为______； 特例启发，解答题目 （2）请你完成李老师出示的题目的解答过程； 拓展结论，设计新题 （3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出，的平分线，”改为“分别作出射线，，使，”，请你直接写出的度数． 【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC． （1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？ （2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示） （3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示） 【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知＝，、是过点的射线，射线、分别平分和． （1）如图①，若、是的三等分线，求的度数； （2）如图②，若＝，，则＝________； （3）如图③，在内，若＝，则＝________． 【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM，ON分别平分∠AOD、∠COB． (1)求∠MON的度数； (2)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图②的位置，求∠MON的度数； (3)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图③的位置，猜想∠MON的度数，并说明理由． 【题型6 角中的方程思想】 【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处． (1)如图①，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC=40°，则∠AOC=________． (2)如图②，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由． (3)若∠CON=50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC=∠AOM，则∠BON=________．（可用备用图．） 【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知是的平分线，若，求的度数． 【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分． (1)当时，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知，三角形COD是含有角的三角板，，OE平分． (1)如图1，当时，_____________； (2)如图2，当时，_____________； (3)如图3，当（）时，求的度数（用表示）； (4)由前三步的计算，当时，请直接写出与的数量关系为_______________________________________． 【题型7 角中的分类讨论思想】 【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值． ②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G. (1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= ° (2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °； (3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示) (4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°<<90°) ，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示) 【变式7-2】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，，，，分别是，的平分线． (1)如图1，当在左侧，且时，的度数是_________； (2)当的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究的大小与的数量关系； (3)当的度数为时，请直接写出的度数． 【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线” （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值． 【题型8 角中的数形结合思想】 【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2． (1)求∠AOC，∠BOC的度数； (2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使∠BON=70°，补全图形， 并求出∠MON的度数； (3)若存在射线OD，使∠AOD=4∠BOD，请直接写出所有可能的∠COD的度数． 【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）已知、，射线平分； (1)如图1，已知、，若，求的度数； (2)、的位置如图2，已知，求的值． 【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数． (1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程． (2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC的度数为x°，我们就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程． (3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数． 【变式8-3】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化． 【A组研究】 在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动． （1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________； （2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由． 【B组研究】 在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动． （3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________； （4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由． 次数Pi-1Pi线段OPi的长第1次第2次第3次第4次第5次………