浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题6.2 期中期末专项复习之特殊三角形二十大必考点（学生版+教师版）

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专题6.2 特殊三角形二十大必考点 【浙教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2309" 【考点1 利用勾股定理求线段长度】  PAGEREF _Toc2309 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc17696" 【考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积】  PAGEREF _Toc17696 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc4263" 【考点3 勾股定理在网格中的应用】  PAGEREF _Toc4263 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc21115" 【考点4 勾股定理在翻折中的应用】  PAGEREF _Toc21115 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc29689" 【考点5 利用勾股定理求最值】  PAGEREF _Toc29689 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc7679" 【考点6 勾股定理的证明】  PAGEREF _Toc7679 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc27160" 【考点7 判断是否是直角三角形】  PAGEREF _Toc27160 \h 30  HYPERLINK \l "_Toc1598" 【考点8 利用勾股定理构造图形解决实际问题】  PAGEREF _Toc1598 \h 34  HYPERLINK \l "_Toc21423" 【考点9 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】  PAGEREF _Toc21423 \h 37  HYPERLINK \l "_Toc23588" 【考点10 勾股定理中的规律探究】  PAGEREF _Toc23588 \h 42  HYPERLINK \l "_Toc11550" 【考点11 作等腰三角形】  PAGEREF _Toc11550 \h 45  HYPERLINK \l "_Toc1297" 【考点12 利用三线合一求值】  PAGEREF _Toc1297 \h 49  HYPERLINK \l "_Toc16066" 【考点13 利用三线合一证明】  PAGEREF _Toc16066 \h 53  HYPERLINK \l "_Toc9863" 【考点14 利用等角对等边证明边长相等】  PAGEREF _Toc9863 \h 58  HYPERLINK \l "_Toc25691" 【考点15 利用等角对等边证明】  PAGEREF _Toc25691 \h 62  HYPERLINK \l "_Toc28771" 【考点16 等边三角形的判定与性质】  PAGEREF _Toc28771 \h 68  HYPERLINK \l "_Toc19699" 【考点17 垂直平分线的判定与性质】  PAGEREF _Toc19699 \h 78  HYPERLINK \l "_Toc441" 【考点18 等腰三角形中的新定义问题】  PAGEREF _Toc441 \h 87  HYPERLINK \l "_Toc24244" 【考点19 角平分线的判定与性质的综合求值】  PAGEREF _Toc24244 \h 95  HYPERLINK \l "_Toc1490" 【考点20 角平分线的判定与性质的综合证明】  PAGEREF _Toc1490 \h 101  【考点1 利用勾股定理求线段长度】 【例1】（2022·重庆八中八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______． 【答案】 【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的长，再由四边形ABCD的面积求出BC的长，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的长． 【详解】解：∵，，， ∴Rt△ACD中由勾股定理可知：， ∵四边形ABCD的面积为49，且 ∴，代入数据：，，， ∴， 在Rt△ABC中由勾股定理可知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、勾股定理的应用等，本题属于基础题，计算过程中细心即可． 【变式1-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明 ，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题． 【详解】如图，连接，过点作， 设，则矩形中 在与中， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵在等腰直角三角形中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-3】（2022·全国·二模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为6的正方形ABCD可以制作一副如图中图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图中图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_____． 【答案】 【分析】根据题意连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M． ∵正方形ABCD的边长为6， ∴PD=DR=RC=， ∴PR==6，PQ=RQ=3， ∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18， ∴EG＝， ∴EH＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（      ）cm2 A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积． 【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积 = = = = = cm2， 故选：B． 【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算公式和勾股定理的应用，阴影部分可以看作是几个规则图形的面积的和或差，学会把不规则图形转化为规则图形是解题的关键． 【变式2-1】（2022·广东·东莞市南城开心实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据勾股定理列式求解，从而得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得，， ∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2-2】（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据勾股定理得到三角形三边a、b、c的关系，根据等边三角形、半圆形、等腰直角三角形及正方形的面积求法，逐一验证是否成立，即可得出答案． 【详解】由勾股定理得， 第一个图形中，，，，满足； 第二个图形中，，，，满足； 第三个图形中，，，，满足； 第四个图形中，，，满足； 综上所述，满足题意的图形有4个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形、等边三角形、圆和正方形面积求法，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-3】（2022·浙江杭州·八年级期末）已知中，=90°，如图，作三个等腰直角三角形，，，，，为斜边，阴影部分的面积分别为，，，． （1）当=6，=8时， ①求的值； ②求--的值； （2）请写出，，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）① 9；② 9；（2），见解析 【分析】（1）①在等腰直角三角形中，根据勾股定理==即可； ②设，则，利用勾股定理得出，即可求解； （2）设，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则面积为，利用勾股定理得出，则，即，依此即可求解． 【详解】解：（1）① 是等腰直角三角形，=6， ==， ； ② =90°，=6，=8， =10， 和是等腰直角三角形， ，， 设 ； （2）设， 如图，等腰直角三角形的面积公式 ， ∵等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用． 【考点3 勾股定理在网格中的应用】 【例3】（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形变成都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为，，3. (2)求方格图中所画的△ABC的面积 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）分别画出三边长为，，3的线段，顺次连线即可； （2）利用三角形面积公式计算即可． （1） 解：如图， ∵，，BC=3， ∴△ABC即为所求； （2） △ABC的面积=． 【点睛】此题考查了勾股定理作图，计算网格中图形的面积，正确掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积； （3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可； （2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积； （3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积． 【详解】（1）的面积， 所以，的面积为5； （2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长， 作图如下： 的面积； （3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长， 格点三角形OPQ如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式3-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为3，2，（在图①中画一个即可）； (2)使三角形为钝角三角形，且面积为6（在图②中画一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段BC＝3，然后根据勾股定理找出点A的位置； （2）先在正方形网格中取EF＝2；然后由三角形的面积公式入手，求得EF边上的高线的长度，最后根据钝角三角形的定义确定点D的位置． （1） 解：如图所示，BC＝3，AB＝，AC＝， △ABC即为所求； （2） 解：如图所示：根据三角形的面积公式知， ，即， 解得． △DEF是符合题意的钝角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，作图﹣﹣应用与设计作图．此题属于开放题，答案不唯一，利用培养发散思维能力． 【变式3-3】（2022·江西赣州·八年级期末）在8×8的网格中，每个小正方形的边长都是1，仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留必要的作图痕迹）． (1)在图1中，画一个面积为5的正方形． (2)在图2中，画一个面积为的正方形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据题意以及格点和勾股定理找到为的线段作为正方形的边长即可求解． （2）同理找到长为的线段，即可求解． （1） 如图面积为5的正方形 ， 正方形的边长为， 正方形的面积为5 （2） 如图，面积为的正方形 根据格点可得边长为，则正方形的面积为 【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图，勾股定理与网格，利用网格和勾股定理构造长为以及的线段是解题的关键． 【考点4 勾股定理在翻折中的应用】 【例4】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称， ∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°， 在Rt△ABC中， ， ∴AB＝10， BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x， 在Rt△DEB中，由勾股定理，得， 解得x＝3， 即CD＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式4-1】（2022·江苏镇江·八年级期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由第一次折叠得：，， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，， 由第二次折叠可知，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 【变式4-2】（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____． 【答案】## 【分析】根据勾股定理列方程可求解 【详解】根据折叠知， , 设 ，则 ． 根据勾股定理，得： 解得， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的应用，利用折叠的性质，发现对应边、对应角的关系为关键． 【变式4-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____． 【答案】或 【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1， 由折叠性质得PC＝PH，DC＝DH， ∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6， ∴BC＝10， ∵CD＝BC， ∴， ∵DE⊥AC，DE＝2 ∴， ∴DH＝CD＝， ∴EH＝ED+DH＝2+＝， 设PC＝x，则PH＝x，PE＝x-， ∵， ∴ ， 解得，x＝， 即CP＝； 当P点在E点右边时，如图2， 由折叠知，DH＝DC＝， ∴EH＝DH﹣DE＝， 设PC＝a，则PE＝CE-PC＝-a，PH＝a， ∵ ， ∴， 解得，a＝， 即PC＝； 综上，PC＝或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键． 【考点5 利用勾股定理求最值】 【例5】（2022·全国·八年级专题练习）如图，等边的边长为2，是边上的中线，是上的动点，是边上的中点，若，求的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先连接BM，再根据MB=MC，将EM+CM转化为EM+BM，最后根据两点之间线段最短，求得BE的长，即为EM+CM的最小值． 【详解】解：连接BM， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC ∴MB=MC 当B、M、E三点共线时，EM+CM=EM+BM=BE ∵等边△ABC中，E是AC边的中点 ∴直角三角形ABE中，BE= 即的最小值 故选D. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 【变式5-1】（2022·广东湛江·八年级期末）如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______． 【答案】##2.4## 【分析】过作于，由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，由勾股定理可得出，再由，即可得出答案． 【详解】解：过作于， 由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴则线段CP的最小值是:， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂线段最短，等面积法求高，掌握勾股定理和垂线段最短是解题的关键． 【变式5-2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，铁路上、两站相距8km，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析， 【分析】根据轴对称求最短路线作出C点对称点C′，连接C′D即可得出P点位置，再利用勾股定理得出C′D即为中转站P到C、D两村庄的距离和最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，连接与的交点就是点 过作的延长线于点 则， ∴ 在中     ∴ ∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P点位置是解题关键． 【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，请回答下列问题： （1）求线段DE的长度； （2）若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP，则线段BP+FP的最小值是 　 　． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）由折叠知AF＝AD＝10，设DE＝EF＝x，则EC＝DC−DE＝8−x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程即可得出答案； （2）由折叠知：D、F关于AE对称，得PF＝PD，则BP＋PF＝BP＋PD≥BD，最小值即为BD的长．利用勾股定理求出其长度即可． 【详解】解：（1）长方形纸片ABCD中，折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处， 则AF＝AD＝BC＝10， BF＝， FC＝BC−BF＝10−6＝4， ∵折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE， ∴DE＝EF， 设DE＝EF＝x， 则EC＝DC−DE＝8−x， 又∵△EFC为直角三角形， ∴FC2＋EC2＝FE2， 即42＋（8−x）2＝x2， ∴x＝5， ∴DE＝5； （2）连接BP，PF，PD，BD， ∵折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE， ∴D、F关于AE对称， ∴PF＝PD， 则BP＋PF＝BP＋PD≥BD， ∴BP＋PF最小为BD， BD＝， ∴BP＋PF最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理的应用等知识，明确点D、F关于AE对称是解题的关键． 【考点6 勾股定理的证明】 【例6】（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积 从而得数学等式：　 　；（用含字母a、b、c的式子表示） 化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2 【初步运用】 （1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为　 　； 【迁移运用】 如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 知识补充：如图4，含60°的直角三角形，已知． 【答案】【探索新知】a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；【初步运用】（1）5：9；（2）28；【迁移运用】a2＋b2＋ab＝c2，理由见解析 【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题； 【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积-2个直角三角形的面积计算即可． 【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a＋b）2＝c2＋4×ab， ∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2， 故答案为：a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab； [初步运用]（1）由题意：b＝2a， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故故答案为5：9． （2）由题意得：空白部分的面积＝小正方形的面积-2个直角三角形的面积 ∴空白部分的面积为． 故答案为28． [迁移运用]结论：a2＋b2＋ab＝c2． 理由：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，过点G作GH⊥EM于H，过点E作EF⊥AB于F， 由题意：，， ∵大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积 ∴， ∴（a＋b）2＝3ab＋c2， ∴a2＋b2＋ab＝c2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题的关键． 【变式6-1】（2022·江苏·八年级单元测试）（1）【阅读】 公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”． （2）【验证】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面的证明过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c． 求证： 证明：由图可知 ∵，________，正方形FCHG边长为________， 即． （3）【操作】 如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E． 求证：CE＝BC＋DE． （4）【发现】聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾股定理．请你帮聪聪完成证明过程． （5）【拓展】 如图3．将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）斜边的平方；（2）ab，(a﹣b)；（3）见解析；（4）见解析；（5）飞镖状图案的面积＝24 【分析】（1）由勾股定理内容可知； （2）根据图形可得； （3）证明Rt△ABC≌Rt△DAE，可得BC=AE，AC=DE，转化线段即可； （4）运用等面积法表示梯形BCED的面积，变形即可； （5）首先求出AB=5，可知OB=3，OA=4，可求飞镖图形的面积． 【详解】（1）斜边的平方． （2）S△ABC＝ab，正方形FCHG边长为（a﹣b）． （3）解：在等腰直角三角板ABD中 由已知得AD＝AB，∠BAD＝90° ∴∠BAC＋∠DAE＝90° 又∵BC⊥l，DE⊥l ∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90° ∴∠DAE＝∠ABC ∴Rt△ABC≌Rt△DAE（AAS） ∴BC＝AE，AC＝DE 又∵CE＝AC＋AE ∴CE＝BC＋DE． （4）解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b ∴S梯形BCED＝(BC＋DE)×CE＝(a＋b)2＝a2＋ab＋b2 又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝ab＋c2＋ab ∴a2＋ab＋b2＝ab＋c2＋ab 整理得a2＋b2＝c2 （5）解：∵飞镖模型的周长为24，观察可知4（AB+AC）=24 ∴AB+AC=6 ∵OB=OC ∴AB=5，OB=3，OA=4 ∴飞镖状图案的面积＝4S△ABO＝4××3×4＝24． 【点睛】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． 【变式6-2】（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a， b （a